För knäckning vid böjning är stången vid jämviktsändring böjd i ett huvudplan.
Men det finns också sådana stabilitetsfall där en stång, respektive en balk, vid jämviktsändring inte bara böjs utan också vrids (fig. 60a). För bärverk kallas detta fenomen sidoinstabilitet, för tryckta stänger, som vid knäckning också utsätts för torsion, talar man om knäckning vid torsion.
För båda fenomenen är storleken på vridstyvheten C, respektive motståndet mot böjning C*, av avgörande betydelse. På förändringen av jämvikten i samband med torsion kan man därför i första hand påverka genom åtgärder som ökar vridstyvheten (lämplig tvärsnittsform, tvärbalkar, sidostöd osv.). Å andra sidan är stavar i form av remsor med öppet tvärsnitt särskilt känsliga för knäckning vid torsion.
Differentialekvationen för lateral buckling
Fig. 1a
Anta att en rak balk har konstanta tröghetsmoment av mycket olika storlek Ix >> Iy. Lasten ligger i y-z-planet så att balken kommer att böjas i detta huvudplan (u=ϑ=0). Erfarenhet såväl som teori visar att detta jämviktsläge först är stabilt, men att det vid större laster blir instabilt. Detta andra jämviktsläge är förbundet med tvärböjning i u och med torsion ϑ.
Nedan härleds differentialekvationen för sidobuckling. Ekvationerna för u och ϑ är homogena. Om även randvillkoren är homogena, är balkens sidobuckling möjlig endast för problemets egenvärden, dvs. u och ϑ förblir först noll för den ovan beskrivna obelastade balken. Villkoret för sidobuckling erhålls – på samma sätt som för stångbuckling – genom att sätta determinanten för koefficienterna i de homogena villkorsekvationerna för integrationskonstanterna lika med noll. Vi kommer att se att även vid sidobuckling finns en verklig bifurkationspunkt för den elastiska jämvikten.
Fig. 1b
I fig. 1b visas ett balkelement med längden dz. Spänningsresultanterna N1, Q1, M1, liksom krökningen κ__1 beror på belastningen och är ändliga storheter. Q, M, MD är noll i det ursprungliga jämviktsläget, och avviker från noll först när sidoutböjning inträffar. De ändliga storheter som avser början av sidoutböjningen är oändligt små, liksom de motsvarande deformationerna κ och d__ϑ/dz.
Båda ändsektionerna av elementet dz ligger i ett normalplan till den dubbelt krökta axeln hos stången och kommer att vridas i dessa normalplan.
Eftersom det – liksom vid knäckning av en stång – i första hand är storleken på den kritiska lasten som intresserar oss, alltså början av den laterala knäckningen, och i mindre grad storleken på deformationerna, kan vi försumma produkterna av storheterna Q, M, MD med κ eller ϑ’ som små av andra ordningen. För att ytterligare förenkla kommer vi därför också att anta huvudkrökningen κ1 som oändligt liten och den kommer att behandlas som κ och ϑ’.
Anmärkning: Inverkan av κ__1 ska även teoretiskt bedömas i det enkla specialfallet (konstant böjmoment M som belastning). I de flesta fall inom byggnadstekniken kan κ__1 försummas. Man kan exempelvis tänka sig att balken för det aktuella belastningsfallet är så ”överhöjd” att den för kritisk belastning just κ__1=0.
Av jämvikten för kraftkomponenterna i riktningarna ξ, η, ζ och av momentvillkoren med avseende på samma axlar erhålls efter de nämnda försummelserna
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Ur ekv. (1c, d och b) erhålls
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Genom att eliminera Q1 ur ekv. (1a) erhålls
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Ur ekv. (1e) kommer därigenom Q att elimineras, därefter u ’’ genom u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
För att erhålla differentialekvationen för ϑ införs följande samband mellan moment och deformationer
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
där B1=EIx och B=EIy betecknar balkens böjstyvhet, C vridstyvhet och C* motstånd mot krökning. I våra fortsatta beräkningar kommer vi att utelämna termerna med C* för enkelhetens skull. Om ekvationerna ska tillämpas t.ex. på I-profiler, måste de kompletteras på lämpligt sätt. Att bortse från termen v’’ betyder detsamma som att anta B1=∞.
Om M och MD elimineras med hjälp av ekv. 4 erhålls den differentialekvation för sidoräckning hos en balk med konstant tvärsnitt
Differentialekvationen (5) är homogen och av fjärde ordningen med avseende på ϑ. M1 är en känd funktion av z beroende på belastningen.
Balk med konstant böjmoment
Låt p=N1=0, dessutom Mx=ɱ=const. Tvärsnittet är utan fläns (massivt) och balken är lång i förhållande till tvärsnittets dimensioner, så att vi kan sätta C*=0. Då förenklas ekv. (5), på grund av M1=ɱ, och blir:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
eller med förkortningen λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Balk med gaffellager i båda ändar
Fig. 2
Upplaget vid z=0 och vid z=l är utfört som gafflar (fig. 2), vilka medger nedböjningar u och v, men hindrar ändsektionernas vridning; ϑ=0. Eftersom det i riktningen x inte finns någon inspänning (dvs. M=0, eller enligt ekv. (4) även u’’=0), följer av ekvationen för u’’: MD’=0 och därmed ur ekv. (4c) som andra randvillkor ϑ’’=0.
Den allmänna lösningen till ekv. (6a) är
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Ur randvillkoren erhålls
Detta homogena ekvationssystem har:
- Trivial lösning A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, vilket motsvarar ϑ=0, u’’=0 eller u=0, varvid balken inte knäcker sidledes.
- Egenlösningar enligt Δ=0 eller sin λ__l=0. Rötterna till detta sidknäckningsvillkor är λ__l=n__π (med n=1,2,3,∙∙∙) och motsvarande kritiska momentlaster
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Minsta sidobucklingsmoment
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
uppstår vid n=1. Den motsvarande lösningen fås genom tillämpning av ekv. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Övriga fall av lateral buckling
c) Sidoinstabilitet på grund av böjmoment och tryckkraft
För exemplet visat i fig. 3 är N1=-D (tryck), p=0, därefter sattes C*=0. Då förenklas differentialekv. (5) och lyder
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
där λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Lösningen till differentialekvationen (9) ges åter av ekv. (8), men nu betecknar λ ett annat värde.
Fig. 3
För exemplet i fig. 3 gäller liksom för a) konturvillkoren ϑ=0 och ϑ’’=0 för z=0 och z=l. Därmed är även villkorsekvationerna för A1 formellt desamma och likaså villkoret för sidoutknäckning Δ=sin λl=0. Den kritiska belastningen uppfyller sambandet λl=nπ (n=1,2,3) och det minsta värdet är
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
För D=0 erhålls därav vridmomentet för sidoutböjning enligt ekv. (8c) och för ren tryckbelastning (ɱ=0) Euler-s bucklingskraft _DK=B(π/l)_2.
I fig. 3 ska det visade fallet betecknas som excentrisk böjning i planet y-z. Det tidigare betraktade stabilitetsfallet är alltså knäckning ur böjningsplanet förenad med sidoböjning u och torsion ϑ.
Om båda ändarna är inspända (ϑ=0 och ϑ’=0) så erhålls, från randvillkoren och med hjälp av Δ=0, villkoret för sidobuckling
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
med rötterna λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) och sidoräckningskrafter
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.