Կողային կորացում և ոլորման ժամանակ կորացում

Ծռումից բկում դեպքում ձողը հավասարակշռության փոփոխության ժամանակ ծռվում է մեկ հիմնական հարթության մեջ։

Սակայն կան նաև կայունության այնպիսի դեպքեր, երբ ձողը, այսինքն՝ գերանը, հավասարակշռության փոփոխության ժամանակ ոչ միայն ծռվում է, այլև ոլորվում (նկ. 60ա)։ Հենարանների դեպքում այս երևույթը կոչվում է կողային ծռում, իսկ սեղմված ձողերի դեպքում, որոնք ծռվելիս ենթարկվում են նաև ոլորման, խոսվում է ոլորմամբ ծռման մասին։

Երկու երևույթների համար էլ որոշիչ նշանակություն ունի ոլորման նկատմամբ կոշտության մեծությունը C, համապատասխանաբար՝ ծռման նկատմամբ դիմադրությունը C*։ Հետևաբար ոլորման հետ կապված հավասարակշռության փոփոխության վրա առաջին հերթին կարելի է ազդել ոլորման նկատմամբ կոշտությունը մեծացնող միջոցներով (հատվածի համապատասխան ձև, խաչաձև շրջանակներ, կողային հենավորում և այլն)։ Մյուս կողմից, բաց հատվածով ժապավենաձև ձողերը հատկապես զգայուն են ոլորման ժամանակ ծռման նկատմամբ։

Կողային ծռման դիֆերենցիալ հավասարումը

Նկ. 1ա

Ենթադրենք՝ ուղիղ ձողն ունի հաստատուն իներցիայի մոմենտներ՝ մեծ տարբերությամբ Ix >> Iy։ Բեռը գտնվում է y-z-հարթությունում, այնպես որ ձողը կծռվի այս գլխավոր հարթությունում (u=ϑ=0)։ Փորձը, ինչպես նաև տեսությունը ցույց են տալիս, որ այս հավասարակշռության դիրքը սկզբում կայուն է, սակայն ավելի մեծ բեռների դեպքում դառնում է լաբիլ։ Այս երկրորդ հավասարակշռության դիրքը կապված է լայնական ծռման u-ի և ոլորման ϑ-ի հետ։

Ստորև կստացվի կողային ծռման դիֆերենցիալ հավասարումը։ u-ի և ϑ-ի հավասարումները համասեռ են։ Եթե նաև սահմանային պայմանները համասեռ են, ապա ճառագայթի կողային ծռումը հնարավոր է միայն խնդրի սեփական արժեքների համար, այսինքն՝ վերը նկարագրված անխանգար ճառագայթի դեպքում u-ն և ϑ-ն նախ մնում են զրո։ Կողային ծռման պայմանը ստացվում է՝ ինչպես ձողի ծռման դեպքում, եթե ընդունվի, որ համասեռ պայմանական հավասարումների գործակցային որոշիչը ինտեգրման հաստատունների համար հավասար է զրոյի։ Կտեսնենք, որ նաև կողային ծռման դեպքում գոյություն ունի առաձգական հավասարակշռության իրական ճյուղավորման կետ։

Նկ. 1b

Նկ. 1b-ում ներկայացված է dz երկարությամբ ճառագայթի տարրը։ Լարումների արդյունքները N1, Q1, M1, ինչպես նաև կորությունը κ__1 կախված են բեռնվածությունից և ունեն վերջավոր արժեքներ։ Q, M, MD-ն զրո են նախնական հավասարակշռության դիրքում, և միայն կողային կորացման առաջացման դեպքում են տարբերվելու զրոյից։ Վերջավոր մեծությունները, որոնք վերաբերում են կողային կորացման սկզբին, անվերջ փոքր են, ինչպես նաև համապատասխան դեֆորմացիաները κ և d__ϑ/dz։

Տարրի dz երկու ծայրային հատույթներն էլ գտնվում են ձողի երկակի կորություն ունեցող առանցքին նորմալ հարթության մեջ և կծվեն այս նորմալ հարթություններում։

Քանի որ մեզ՝ ինչպես ձողի ձկնվածքի դեպքում, առաջին հերթին հետաքրքրում է կրիտիկական բեռնվածքի մեծությունը, այսինքն՝ կողային ճկման սկիզբը, իսկ ավելի քիչ՝ դեֆորմացիաների մեծությունը, ապա Q, M, MD մեծությունների արտադրյալները κ կամ ϑ’ հետ կարող ենք անտեսել որպես երկրորդ կարգի փոքր մեծություններ։ Ուստի հետագա պարզեցման համար նաև հիմնական կորությունը κ1 կընկալենք որպես անսահմանափակ փոքր և այն կդիտարկվի ինչպես κ և ϑ’։

Նշում. κ__1-ի ազդեցությունը կարելի է նաև տեսականորեն գնահատել պարզ հատուկ դեպքում (որպես բեռ՝ մշտական ճկման մոմենտ M)։ Շինարարական տեխնիկայի մեծ մասի կարիքների համար կարելի է անտեսել κ__1։ Կարելի է, օրինակ, պատկերացնել, թե տվյալ բեռնման դեպքում հեծանը այնքան է «գերբարձրացված», որ կրիտիկական բեռի համար հենց κ__1=0։

Ուժերի բաղադրիչների հավասարակշռությունից ξ, η, ζ ուղղություններով և նույն այդ առանցքների նկատմամբ մոմենտային պայմաններից՝ վերոնշյալ անտեսումներից հետո ստացվում է

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

Հավասարումներից (1c, d և b) ստացվում է

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

Q1-ը հանելով հավասարումից (1a)՝ ստացվում է

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

Հավասարումից (1e) այդպիսով կվերացվի Q-ն, ապա u ’’-ն՝ u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ միջոցով

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

ϑ-ի համար դիֆերենցիալ հավասարում ստանալու համար կկիրառվեն հետևյալ հարաբերությունները մոմենտների և դեֆորմացիաների միջև

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

որտեղ նշում է B1=EIx և B=EIy՝ ճկման նկատմամբ գերանի կոշտությունները, C՝ ոլորման նկատմամբ կոշտությունը, իսկ C*՝ կորացման դիմադրությունը։ Մեր հետագա հաշվարկներում պարզեցման համար C* պարունակող անդամները կբացառենք։ Եթե հավասարումները պետք է կիրառվեն, օրինակ, I-պրոֆիլների վրա, ապա անհրաժեշտ է դրանք համապատասխանաբար լրացնել։ v’’ անդամի անտեսումը նույնն է, ինչ B1=∞ ենթադրությունը։

Եթե M-ն և MD-ն վերացվեն հ. 4 օգնությամբ, ստացվում է մշտական հատույթով ձողի կողային ծռման դիֆերենցիալ հավասարումը

Դիֆերենցիալ հավասարումը (5) համասեռ է և չորրորդ կարգի՝ ըստ ϑ-ի։ M1-ը z-ի հայտնի ֆունկցիա է՝ կախված բեռնվածությունից։

Մշտական ծռման մոմենտով հեծան

Թող լինի p=N1=0, բացի այդ Mx=ɱ=const. Հատույթը առանց փլանժի է (խտացված) և գերանը երկար է լայնական հատույթի չափերի համեմատ, այնպես որ կարող ենք դնել C*=0։ Այն դեպքում պարզեցվում է հավ. (5), M1=ɱ պատճառով, և ապա՝

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

կամ կրճատումով λ2_=ɱ__2/BC_

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

ա) Երկու ծայրերում վիլյուշկանման հենարանով գերան

Նկ. 2

Հենումը z=0 և z=l դեպքում կատարվում է պատառաքաղների տեսքով (նկ. 2), որոնք թույլ են տալիս u և v թեքումները, բայց կանխում են ծայրային հատույթների պտտումը; ϑ=0. Քանի որ x ուղղությամբ սեղմակավորում չկա (այսինքն՝ M=0, կամ ըստ հավաս. (4) նաև u’’=0), u’’-ի համար հավասարումից ստացվում է. MD’_=0 և այսպիսով հավաս. (4c)-ից՝ որպես երկրորդ սահմանային պայման ϑ’’=0.

Հավասարման ընդհանուր լուծումը (6ա) է

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

Կոնտուրային պայմաններից ստացվում է

Այս համասեռ հավասարումների համակարգն ունի՝

• Անշարժ լուծումը A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, որին համապատասխանում է ϑ=0, u’’=0 կամ u=0, ընդ որում ճառագայթը կողային չի բկվում։
• Սեփական լուծումները ըստ Δ=0 կամ sin λ__l=0. Այս կողային ծռման պայմանի արմատներն են λ__l=n__π (որտեղ n=1,2,3,∙∙∙) և համապատասխան կրիտիկական մոմենտային բեռները

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

Կողային ոլորման նվազագույն մոմենտը

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

ստացվում է n=1։ Համապատասխան լուծումը ստացվում է հավասարումը կիրառելով (1f):

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) Կողային ծռման այլ դեպքեր

c) Կողային կորացում՝ ծռման մոմենտի և սեղմող ուժի հետևանքով

Նկարում ցույց տրված օրինակի համար 3 է N1=-D (սեղմում), p=0, ապա դրված է C*=0։ Այնուհետև դիֆերենցիալ հավասարումը (5) պարզեցվում է և ստացվում է

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

որտեղ λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը (9) կրկին տրված է հավաս. (8), միայն թե հիմա λ-ն նշում է այլ արժեք։

Սլ.3

Օրինակ, նկ. 3-ի համար, ինչպես նաև ա) դեպքում, գործում են կոնտուրային պայմանները ϑ=0 և ϑ’’=0՝ z=0 և z=l համար։ Հետևաբար A1-ի պայմանական հավասարումներն էլ ֆորմալ առումով նույնն են, ինչպես նաև կողային ծռման պայմանը Δ=sin λl=0։ Քրիտիկական բեռը բավարարում է հարաբերությունը λl=nπ (n=1,2,3) և նվազագույն արժեքն է

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

D=0-ի համար ստացվում է կողային ծռման մոմենտը՝ ըստ հավաս. (8c), իսկ մաքուր սեղմող ծանրաբեռնվածության համար (ɱ=0) Էյլեր-ի ծռման ուժը _DK=B(π/l)_2։

Նկ. 3-ում ներկայացված դեպքը պետք է նշվի որպես էքսցենտրիկ ծռում y-z հարթությունում։ Այսպիսով, նախ դիտարկված կայունության դեպքը ծռման հարթությունից դուրս ծռումն է՝ կապված կողային ծռման u և ոլորման ϑ հետ։

Եթե երկու ծայրերն էլ սեղմված են (ϑ=0 և ϑ’=0), ապա կոնտուրային պայմաններից՝ Δ=0-ի միջոցով, ստացվում է կողային ծռման պայմանը

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) արմատներով և կողային ծռման ուժերով

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.