За изкълчване при огъване прътът при промяна на равновесието е огънат в една главна равнина.
Но има и такива случаи на устойчивост, при които прътът, респ. гредата, при промяна на равновесието не само се огъват, но и се усукват (фиг. 60a). При носачите това явление се нарича странично изкривяване, а при натиснати пръти, които при изкривяване са подложени също и на торзия, се говори за изкривяване при торзия.
За двете явления е от решаващо значение величината на усукващата коравина C, респ. съпротивлението на изкривяване C*. Следователно върху промяната на равновесието, свързана с торзията, може най-напред да се влияе с мерки, които увеличават коравината срещу усукване (подходяща форма на сечението, напречни рамки, странично подпиране и т.н.). От друга страна, прътите във вид на лента с отворено сечение са особено чувствителни към изкълчване при торзия.
Диференциално уравнение за странично изкълчване
Фиг. 1a
Нека права греда има постоянни моменти на инерция с много неравни величини Ix >> Iy. Натоварването лежи в равнината y-z- така че гредата ще бъде огъната в тази главна равнина (u=ϑ=0). Опитът, както и теорията, показват, че това равновесно положение първоначално е стабилно, но при по-големи натоварвания става лабилно. Това второ равновесно положение е свързано с напречно огъване в u и с усукване ϑ.
По-долу ще бъде изведено диференциалното уравнение за странично изкривяване. Уравненията за u и ϑ са хомогенни. Ако и граничните условия са хомогенни, тогава страничното изкривяване на гредата е възможно само за собствените стойности на задачата, т.е. u и ϑ остават първо нула при гореописаната греда без смущение. Условието за странично изкривяване се получава – подобно на изкривяването на прът – ако се постави детерминантата на коефициентите на хомогенните условни уравнения за интеграционните константи да е равна на нула. Ще видим, че и при страничното изкривяване съществува истинска точка на разклонение на еластичното равновесие.
Фиг. 1b
На сл. 1b е представен елемент на греда с дължина dz. Резултантите на напреженията N1, Q1, M1, както и кривината κ__1 зависят от натоварването и са крайни величини. Q, M, MD са нула в първоначалното равновесно положение и ще се различават от нула едва когато настъпи странично изкълчване. Крайните величини, които се отнасят до началото на страничното изкълчване, са безкрайно малки, както и съответните деформации κ и d__ϑ/dz.
И двата крайни среза на елемента dz лежат в нормалната равнина към двойно извивената ос на пръта и ще бъдат усукани в тези нормални равнини.
Тъй като — както и при изкривяването на прът — на първо място ни интересува величината на критичното натоварване, т.е. началото на страничното изкривяване, а по-малко величината на деформациите, можем да пренебрегнем произведенията на величините Q, M, MD с κ или ϑ’ като малки величини от втори ред. Затова за по-нататъшно опростяване ще приемем и главната кривина κ1 за безкрайно малка и тя ще се третира като κ и ϑ’.
Забележка: Влиянието на κ__1 трябва да се прецени и теоретично в един прост специален случай (постоянен огъващ момент M като натоварване). В повечето случаи на строителната техника κ__1 може да се пренебрегне. Може например да си представим, че гредата за съответния случай на натоварване е така „надвишена“, че за критичното натоварване точно κ__1=0.
От равновесието на компонентите на силите в направленията ξ, η, ζ и от моментните условия спрямо същите оси се получава след споменатите пренебрегвания
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
От уравн. (1c, d i b) се получава
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Чрез елиминиране на Q1 от уравн. (1a) се получава
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
От урав. (1e) по този начин ще бъде елиминирано Q, след това u ’’ чрез u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
За да се получи диференциалното уравнение за ϑ, ще се въведат следните зависимости между моментите и деформациите
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
където означава B1=EIx и B=EIy коравината при огъване на гредата, C коравината при усукване, а C* съпротивата на изкривяване. В по-нататъшните ни изчисления ще пропуснем членовете с C* с цел опростяване. Ако уравненията трябва да се приложат например към I-профили, тогава е необходимо да се допълнят по съответния начин. Пренебрегването на члена v’’ означава същото като предположението B1=∞.
Ако M и MD се елиминират с помощта на ур. 4, се получава диференциалното уравнение за странично изкълчване на греда с постоянен напречен разрез
Диференциалното уравнение (5) е хомогенно и от четвърти ред по ϑ. M1 е известна функция на z в зависимост от натоварването.
Греда с постоянен момент на огъване
Нека бъде p=N1=0, освен това Mx=ɱ=const. Сечението е без фланец (компактно) и гредата е дълга спрямо размерите на напречното сечение, така че можем да приемем C*=0. Тогава урав. (5) се опростява, поради M1=ɱ, и е:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
или със съкращението λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Греда с вилкообразна опора в двата края
Фиг. 2
Опората при z=0 и z=l е във вид на вилки (фиг. 2), които позволяват огъванията u и v, но възпрепятстват завъртането на крайните сечения; ϑ=0. Понеже в посока x няма защипване (т.е. M=0, или по уравн. (4) също u’’=0), от уравн. за u’’ следва: MD’_=0 и така от уравн. (4c) като второ гранично условие ϑ’’=0.
Общото решение на уравн. (6a) е
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
От контурните условия се получава
Тази хомогенна система уравнения има:
- Тривиално решение A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, на което съответства ϑ=0, u’’=0 или u=0, при което гредата не се извива странично.
- Собствени решения по Δ=0 или sin λ__l=0. Корените на това условие за странично изкълчване са λ__l=n__π (с n=1,2,3,∙∙∙) и съответните критични моментни натоварвания
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Най-малък момент на странично изкълчване
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
възниква при n=1. Съответното решение се получава чрез прилагане на уравн. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Други случаи на странично изкривяване
c) Странично изкривяване вследствие на огъващ момент и притискаща сила
За примера, показан на фиг. 3, е N1=-D (натиск), p=0, след това е поставено C*=0. Тогава диференциалното уравнение (5) се опростява и гласи
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
където е λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Решението на диференциалното уравнение (9) е дадено отново с уравн. (8), само че λ означава друга стойност.
Фиг. 3
За примера на сл. 3 важат, както и за а), контурните условия ϑ=0 и ϑ’’=0 за z=0 и z=l. Следователно и условните уравнения за A1 са формално еднакви, както и условието за странично изкривяване Δ=sin λl=0. Критичното натоварване удовлетворява отношението λl=nπ (n=1,2,3) и най-малката стойност е
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
За D=0 се получава оттам момент на странично изкълчване според уравн. (8c) и за чисто натисково натоварване (ɱ=0) Euler-овата сила на изкълчване _DK=B(π/l)_2.
На фиг. 3 представеният случай трябва да се означи като ексцентрично огъване в равнината y-z. Разгледаният по-рано случай на устойчивост е, следователно, изкривяване извън равнината на огъване, свързано с странично огъване u и торзия ϑ.
Ако двата края са защипани (ϑ=0 и ϑ’=0), тогава от контурните условия, чрез Δ=0, се получава условието за странично изкълчване
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
с корени λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) и сили на странично изкълчване
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.