Untuk tekuk akibat lentur, batang pada perubahan keseimbangan dibengkokkan dalam satu bidang utama.
Namun ada juga kasus kestabilan seperti itu, di mana batang, yaitu balok, ketika keseimbangan berubah bukan hanya melengkung tetapi juga terpuntir (gambar 60a). Pada elemen penyangga, fenomena ini disebut tekuk lateral, sedangkan pada batang tekan yang pada saat tekuk juga mengalami torsi, disebut tekuk akibat torsi.
Untuk kedua gejala tersebut, besarnya kekakuan terhadap torsi C, atau resistansi terhadap pelengkungan C*, sangat menentukan. Perubahan keseimbangan yang terkait dengan torsi karena itu terutama dapat dipengaruhi dengan langkah-langkah yang meningkatkan kekakuan terhadap puntiran (bentuk penampang yang sesuai, rangka transversal, penopang samping, dan sebagainya). Di sisi lain, batang berbentuk pita dengan penampang terbuka sangat peka terhadap tekuk akibat torsi.
Persamaan diferensial untuk tekuk lateral
Gbr. 1a
Misalkan sebuah balok lurus mempunyai momen inersia konstan dengan perbedaan yang sangat besar Ix >> Iy. Beban terletak pada bidang y-z- sehingga balok akan melentur dalam bidang utama ini (u=ϑ=0). Pengalaman maupun teori menunjukkan bahwa posisi keseimbangan ini mula-mula stabil, tetapi untuk beban yang lebih besar menjadi labil. Posisi keseimbangan kedua ini berkaitan dengan lentur melintang u dan dengan torsi ϑ.
Di bawah ini akan diturunkan persamaan diferensial untuk tekuk lateral. Persamaan untuk u dan ϑ bersifat homogen. Jika kondisi batas juga homogen maka tekuk lateral balok hanya mungkin untuk nilai eigen dari masalah, yaitu u dan ϑ tetap pertama nol pada balok tanpa gangguan yang dijelaskan di atas. Syarat tekuk lateral diperoleh – serupa dengan pada tekuk batang – jika determinan koefisien dari persamaan syarat homogen untuk konstanta integrasi dibuat sama dengan nol. Kita akan melihat bahwa pada tekuk lateral juga terdapat titik percabangan nyata dari keseimbangan elastis.
Gbr. 1b
Pada gambar 1b ditampilkan elemen balok dengan panjang dz. Resultan tegangan N1, Q1, M1, serta kelengkungan κ__1 bergantung pada pembebanan dan merupakan besaran hingga. Q, M, MD bernilai nol pada posisi keseimbangan awal, dan baru akan berbeda dari nol ketika terjadi tekuk lateral. Besaran-besaran pada awal tekuk lateral adalah sangat kecil, demikian pula deformasi yang bersesuaian κ dan d__ϑ/dz.
Kedua penampang ujung elemen dz terletak pada bidang normal terhadap sumbu batang yang berkelengkungan ganda dan akan dipuntir dalam bidang-bidang normal ini.
Karena yang terutama kita minati — seperti pada tekuk batang — adalah besarnya beban kritis, yaitu awal tekuk lateral, dan bukan besarnya deformasi, maka hasil kali besaran Q, M, MD dengan κ atau ϑ’ dapat kita abaikan sebagai besaran orde kedua yang kecil. Oleh karena itu, untuk penyederhanaan lebih lanjut, kelengkungan utama κ1 juga akan kita anggap sangat kecil dan akan diperlakukan sebagai κ dan ϑ’.
Catatan: Pengaruh dari κ__1 juga harus dinilai secara teoritis dalam kasus khusus yang sederhana (momen lentur konstan M sebagai beban). Dalam sebagian besar kebutuhan teknik sipil, κ__1 dapat diabaikan. Kita dapat, misalnya, membayangkan seolah-olah balok untuk kasus pembebanan tersebut sedemikian “ditinggikan” sehingga untuk beban kritis justru κ__1=0.
Dari keseimbangan komponen-komponen gaya dalam arah ξ, η, ζ dan dari syarat momen terhadap sumbu-sumbu yang sama diperoleh, setelah pengabaian-pengabaian yang disebutkan
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Dari pers. (1c, d dan b) diperoleh
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Dengan mengeliminasi Q1 dari pers. (1a) diperoleh
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Dari pers. (1e) dengan demikian Q akan dieliminasi, kemudian u ’’ melalui u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Untuk memperoleh persamaan diferensial bagi ϑ akan diperkenalkan hubungan-hubungan berikut antara momen dan deformasi
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
di mana menandakan B1=EIx dan B=EIy kekakuan terhadap pembengkokan balok, C kekakuan terhadap puntiran, sedangkan C* tahanan terhadap kelengkungan. Dalam perhitungan selanjutnya, suku-suku dengan C* akan dihilangkan untuk penyederhanaan. Jika persamaan hendak diterapkan, misalnya pada profil I, maka perlu dilengkapi dengan cara yang sesuai. Mengabaikan suku v’’ berarti sama dengan asumsi B1=∞.
Jika M dan MD dieliminasi dengan bantuan pers. 4 diperoleh persamaan diferensial untuk tekuk lateral balok dengan penampang konstan
Persamaan diferensial (5) bersifat homogen dan orde keempat terhadap ϑ. M1 adalah fungsi yang diketahui dari z bergantung pada beban.
Balok dengan momen lentur konstan
Misalkan p=N1=0, selain itu Mx=ɱ=konst. Penampang tanpa flens (padat) dan balok panjang dibandingkan dengan dimensi penampang, sehingga dapat kita tetapkan bahwa C*=0. Maka pers. (5) menjadi lebih sederhana, karena M1=ɱ, maka:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
atau dengan singkatan λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Balok dengan tumpuan sendi di kedua ujung
Gbr. 2
Penopangan pada z=0 dan z=l berbentuk garpu (gbr. 2), yang memungkinkan lendutan u dan v, tetapi mencegah perputaran penampang ujung; ϑ=0. Karena pada arah x tidak ada penjepitan (yaitu M=0, atau menurut pers. (4) juga u’’=0), maka dari pers. untuk u’’: MD’=0 dan karenanya dari pers. (4c) sebagai syarat batas kedua ϑ’’=0.
Solusi umum pers. (6a) adalah
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Dari kondisi batas diperoleh
Sistem persamaan homogen ini memiliki:
- Penyelesaian trivial A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, yang bersesuaian dengan ϑ=0, u’’=0 atau u=0, di mana balok tidak melendut ke samping.
- Solusi eigen menurut Δ=0 atau sin λ__l=0. Akar dari syarat tekuk lateral ini adalah λ__l=n__π (dengan n=1,2,3,∙∙∙) dan momen kritis yang sesuai
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Momen lentur lateral minimum
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
terjadi pada n=1. Penyelesaian yang sesuai diperoleh dengan penerapan pers. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Kasus-kasus lain tekuk lateral
c) Tekuk lateral akibat momen lentur dan gaya tekan
Untuk contoh yang ditunjukkan pada gbr. 3 adalah N1=-D (tekanan), p=0, kemudian ditetapkan C*=0. Maka persamaan diferensial (5) disederhanakan dan berbunyi
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
di mana λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Penyelesaian persamaan diferensial (9) diberikan lagi oleh pers. (8), hanya sekarang λ menandakan nilai yang lain.
Gbr. 3
Untuk contoh pada gbr. 3 berlaku pula, seperti pada a), syarat kontur ϑ=0 dan ϑ’’=0 untuk z=0 dan z=l. Karena itu persamaan syarat untuk A1 juga secara formal sama, demikian pula syarat tekuk samping Δ=sin λl=0. Beban kritis memenuhi hubungan λl=nπ (n=1,2,3) dan nilai terkecil adalah
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Untuk D=0 diperoleh dari sana momen tekuk samping menurut pers. (8c) dan untuk beban tekan murni (ɱ=0) gaya tekuk Euler- _DK=B(π/l)_2.
Pada gambar 3 kasus yang diperlihatkan harus dinyatakan sebagai pembengkokan eksentris dalam bidang y-z. Kasus kestabilan yang dibahas sebelumnya, dengan demikian, adalah tekuk di luar bidang pembengkokan yang terkait dengan pembengkokan samping u dan torsi ϑ.
Jika kedua ujung dijepit (ϑ=0 dan ϑ’=0) maka dari syarat batas, dengan bantuan Δ=0, diperoleh syarat tekuk lateral
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
dengan akar λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) dan gaya tekuk lateral
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.