Fún ìfàyà-pẹ̀lú fífi já, ọ̀pá náà nígbà ìyípadà ìdọ́gba ń tẹ̀ ní pákó pàtàkì kan.
Ṣùgbọ́n àwọn ọ̀ràn ìdúróṣinṣin bẹ́ẹ̀ tún wà, nínú èyí tí ọ̀pá, tàbí ìgì nígbà tí ìwọ̀ntúnwọ̀nsì bá yí padà, kò kàn tẹ̀ nìkan ṣùgbọ́n tún ń yí ká (àwòrán 60a). Ní ọ̀dọ̀ àwọn agbára rù ẹrù, ìṣẹ̀lẹ̀ yìí ni a ń pè ní bočno izvijanje, ní ọ̀dọ̀ àwọn ọ̀pá tí a tẹ̀ sílẹ̀, tí wọ́n tún ń fara da yíyí nígbà ìyípo, a máa ń sọ̀rọ̀ nípa izvijanje pri torziji.
Fún ìṣẹ̀lẹ̀ méjèèjì, ìwọn líle lòdì sí torṣọnì C, tàbí ìfarada sí yíyọ̀ C*, ni pàtàkì jù. Nítorí náà, a lè ní ipa lórí ìyípadà ìwọ̀ntúnwọ̀nsì tó ní í ṣe pẹ̀lú torṣọnì ní ìbẹ̀rẹ̀ pẹ̀lú àwọn ìgbésẹ̀ tó ń mú líle lòdì sí yíyí pọ̀ si i (irisi apá tó yẹ, àwọn fireemu àgbàláyé, ìtìlẹ́yìn lẹ́gbẹ̀ẹ́, bẹ́ẹ̀ bẹ́ẹ̀ lọ). Ní ọwọ́ kejì, àwọn ọ̀pá tó dà bí teepu pẹ̀lú apá tí ó ṣí sílẹ̀ jẹ́ aláìlera púpọ̀ sí ìyọ̀kúrò nígbà torṣọnì.
Idogba iyatọ̀ fún ìyípadà sí ẹgbẹ̀
Àwòrán 1a
Jẹ́ kí àmúgbádùn taara kan ní àwọn ìṣòro ìfaradà tó dúró ṣinṣin tí ó yàtọ̀ gan-an ní ìwọn Ix >> Iy. Ẹrù náà wà nínú pápá y-z-níbi tí àmúgbádùn náà yóò ṣe rọ̀ ní pápá àkọ́kọ́ yìí (u=ϑ=0). Ìrírí àti ẹ̀kọ́ fi hàn pé ipò ìdọ̀gbadọ̀gba yìí kọ́kọ́ dúró ṣinṣin, ṣùgbọ́n fún ẹrù tó pọ̀ sí i ó ń di aláìdúró. Ipò ìdọ̀gbadọ̀gba kejì yìí ní ìbáṣepọ̀ pẹ̀lú ìyíyí kọjá-sí-ẹgbẹ̀ nínú u àti pẹ̀lú ìtaǹsiọnù ϑ.
Lẹ́yìn náà ni a óò yọ ìdọ̀tí oníruru sílẹ̀ fún ìyípo tẹ̀jáde ẹgbẹ̀. Àwọn ìdọ̀tí fún u àti ϑ jẹ́ onídàpọ̀. Bí àwọn ipo àyíká náà bá tún jẹ́ onídàpọ̀, nígbà náà ìyípo ẹgbẹ̀ ti àwo lè ṣeé ṣe fún àwọn iye tirẹ̀ ṣoṣo ti ìṣòro náà, ìyẹn ni pé u àti ϑ máa ń jẹ́ odo ní kìíní fún àwo tí kò ní ìdààmú tí a ṣàpèjúwe lókè. A máa rí ipo ìyípo ẹgbẹ̀ náà — ní bíi ti ìyípo ọ̀pá — bí a bá sọ pé determinant tó jẹ́ olùsọdipúpọ̀ ti àwọn ìdọ̀tí ipo onídàpọ̀ fún àwọn onírúurú ìṣọ̀kan jẹ́ odo. A óò rí i pé, pàápàá jùlọ nínú ìyípo ẹgbẹ̀, ojú-ọ̀nà gidi ti ẹ̀ka ìdọ̀gbadọ̀gba elástíkì wà.
Àw. 1b
Ní sl. 1b, a fi eroja ìgbá kan hàn tí ó ní ipari dz. Àwọn abajade ìdààmú N1, Q1, M1, pẹ̀lú ìríran κ__1 da lórí ẹrù, wọ́n sì jẹ́ iye tó parí. Q, M, MD jẹ́ òfo ní ipò ìwontunwonsi àkọ́kọ́, wọ́n sì máa di kóò sí òfo nígbà tí ìṣíkílọ̀ ẹgbẹ́ bá bẹ̀rẹ̀ nìkan. Àwọn iye tó kẹ́yìn, tí ó ní í ṣe pẹ̀lú ìbẹ̀rẹ̀ ìṣíkílọ̀ ẹgbẹ́, kere lọ́pọ̀lọpọ̀, gẹ́gẹ́ bí àwọn ìyípadà tó yẹ κ àti d__ϑ/dz.
Àwọn apakan ìparí mejeeji ti ẹ̀yà dz wà nínú pẹ́ńsìn tó wà pẹ̀lú ìtòsí sí ìlà deede lórí àǹfààní oníìlà-mejì ti ọ̀pá náà, a ó sì yí wọn ká nínú àwọn pẹ́ńsìn deede wọ̀nyí.
Nítorí pé - gẹ́gẹ́ bí ó ti rí nínú bí ọ̀pá ṣe ń yí tẹ̀ - ohun tó ṣe pàtàkì jù lọ fún wa ní ìlà àkọ́kọ́ ni ìwọ̀n ẹrù amúnisẹ́lẹ̀, ìyẹn ni ìbẹ̀rẹ̀ yíyí tí ó lọ sí ẹ̀gbẹ́, kì í ṣe púpọ̀ nípa ìwọ̀n ìyípadà, a lè fi àwọn ọja ìyókù ti iye Q, M, MD pọ̀ mọ́ κ tàbí ϑ’ sílẹ̀ gẹ́gẹ́ bí àwọn iye kékeré ti ìpele kejì. Nítorí náà, fún ìrọ̀rùn síi, a ó tún gbà pé ìyí tẹ̀ pàtàkì κ1 jẹ́ kékeré gan-an, a ó sì tọju rẹ̀ gẹ́gẹ́ bí κ àti ϑ’.
Àkíyèsí: Ipa láti κ__1 tún gbọ́dọ̀ jẹ́ kí a ṣe ìṣírò rẹ̀ ní ti ẹ̀rọ nínú ọ̀ràn àkànṣe tí ó rọrùn (momentù fífiwọ̀n M títí láéláé gẹ́gẹ́ bí ẹrù). Nínú ọ̀pọ̀ ìbéèrè ti imọ̀ ẹrọ ìkọ́lé, a lè fiyè sílẹ̀ κ__1. A lè ṣe àfihàn, fún àpẹẹrẹ, bí ẹni pé ẹ̀rùkù fún ọ̀ràn ẹrù yìí ti “gbé soke” tó bẹ́ẹ̀ tí fún ẹrù kùrùkùrù tó ṣe pàtàkì gan-an, κ__1=0.
Látinú dọ́gbadọ́gba àwọn paati agbára nínú àwọn ìtọ́sọ́nà ξ, η, ζ àti àwọn ipo mómẹ́ńtì sí àwọn àáké wọ̀nyẹn, a gba lẹ́yìn àwọn ìfagilé tí a mẹ́nuba
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Látinú ìdọ́gba. (1c, d i b) a ń rí
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Nípa yíyọ Q1 kúrò nínú ìṣ. (1a), a gba
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Láti inú ìṣirò (1e) ni a ó ti yọ Q kúrò, lẹ́yìn náà u ’’ nípasẹ̀ u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Láti lè gba ìdọ̀tí alákọ̀ọ́sẹ̀ fún ϑ, a ó ṣàfikún àwọn ìbáṣepọ̀ yìí láàárín àwọn mómẹ́ǹtì àti àwọn ìyípadà ara
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
níbi tí ó ti ń tọ́ka sí B1=EIx àti B=EIy gígídùn lòdì sí fífi gbàgbẹ́ ìtẹ̀sí tẹ́ ẹ̀rọ, C gígídùn lòdì sí yíyí, àti C* ìdènà lòdì sí ìfòyìnrìn. Nínú àwọn ìṣírò wa tó ń bọ̀, a ó yọ àwọn ẹ̀ka pẹ̀lú C* kúrò láti rọrùn sí i. Tí a bá fẹ́ fi àwọn ìdọ̀gbadọ̀gba náà sílò fún àpẹẹrẹ lórí I-profaili, ó yẹ kí a tún wọn ṣe ní ọ̀nà tó yẹ. Ṣíṣàìka ẹ̀ka v’’ sí túmọ̀ sí ohun kan naa pẹ̀lú àfojúsùn pé B1=∞.
Bí a bá yọ M àti MD kúrò nípasẹ̀ ìdánilẹ́kọ 4 a gba ìdọ̀gba oníyípadà fún ìyípo ẹgbẹ́ ti ọ̀pá tó ní apá àgboorùn kan náà
Àdéhùn oníyípadà (5) jẹ́ homogenius àti ti ìbáṣepọ̀ kẹrin nípa ϑ. M1 jẹ́ iṣẹ́ tí a ti mọ̀ tẹ́lẹ̀ ti z gẹ́gẹ́ bí ẹrù ṣe rí.
Òkè pẹ̀lú momenti ìyípo tó dúró déédéé
Kí p=N1=0, pẹ̀lú ẹ̀, Mx=ɱ=const. Agbelebu-íná kò ní flánṣì (kún), girder náà sì gùn ní afiwe pẹ̀lú àwọn ìwọn agbelebu-íná, nítorí náà a lè ṣètò pé C*=0. Nígbà náà ni ìṣirò (5) ń rọrùn, nítorí M1=ɱ, nítorí náà:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
tàbí pẹ̀lú kúkúrú λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Gíríìdì pẹ̀lú ìtìlẹ́yìn orí oríta ní òpin méjèèjì
Àwòrán 2
Ìtìlẹ́yìn ní z=0 àti ní z=l wà ní irú oríta (sl. 2), tí ó ń jẹ́ kí ìbàjẹ́ u àti v ṣẹlẹ̀, ṣùgbọ́n tí ó ń dí yíyí àwọn apá ìpẹ̀yà òpin dúró; ϑ=0. Níwọ̀n bí kò ṣe sí ìdẹ̀sẹ̀ní ní ìtòsí x (ìyẹn ni M=0, tàbí gẹ́gẹ́ bí ìd. (4) pẹ̀lú u’’=0), ó yọrí láti ìd. fún u’’: MD’_=0 àti nípa bẹ́ẹ̀ láti ìd. (4c) gẹ́gẹ́ bí ipo ààlà kejì ϑ’’=0.
Ojútùú gbogbogbò ti ìdọ́gba (6a) ni
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Láti inú àwọn àdéhùn konturu ni a ti gba
Eto ìṣírò aláìnídọ́gba yìí ní:
- Ojútùú tó rọrùn A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, tí ϑ=0, u’’=0 tàbí u=0, níbi tí ọ̀pá kò ti yí sí apá òde.
- Àwọn ojútùú ara ẹni gẹ́gẹ́ bí Δ=0 tàbí sin λ__l=0. Gbòǹgbò ipo yíyọ̀ ẹgbẹ̀ẹgbẹ̀ ti ipo yìí ni λ__l=n__π (pẹ̀lú n=1,2,3,∙∙∙) àti àwọn ìgbòkègbodò mómẹ́ńtì tó yẹ
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Ìmọ́̀nà tó kéré jù fún yíyí bo lórí ẹgbẹ́
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
ó ṣẹlẹ̀ ní n=1. Ìdáhùn tó yẹ ni lílo ìdọ́gba (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Àwọn ọ̀ràn míì ti ìdaríyàn ẹgbẹ̀
c) Ìrìn-apa ẹgbẹ̀dọgbẹ̀dọ̀ lábẹ́ ìṣẹ̀lẹ̀ ìsẹ̀po ìfàlẹ̀yìn àti agbára títẹ
Fún àpẹẹrẹ tí a fi hàn ní sl. 3 ni N1=-D (títẹ), p=0, lẹ́yìn náà ni a fi C*=0. Nígbà náà ni ìdọ̀gbadọ̀gba àfòpiná. (5) ń rọrùn sí i, ó sì ń sọ pé
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
níbi tí λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Ojútùú ìdọ̀gbà àtúnṣe (9) tún jẹ́ gẹ́gẹ́ bí jedn. (8), ṣùgbọ́n nísinsìnyí λ ń tọ́ka sí iye kejì.
Àwòrán 3
Fún àpẹẹrẹ nínú àwòrán 3, gẹ́gẹ́ bíi nínú a) àwọn ipo ààlà ϑ=0 àti ϑ’’=0 wà fún z=0 àti z=l. Nítorí náà, àwọn ìdọ́gbà ipo fún A1 náà jẹ́ kanna ní ìṣàfihàn, àti pé ipo ìyípo ẹgbẹ́ Δ=sin λl=0. Ẹrù pàtàkì ń tẹ̀lé ìbáṣepọ̀ λl=nπ (n=1,2,3) àti iye tó kéré jù ni
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Fún D=0 a gba moment ti ìfarabale ẹ̀gbẹ́ nípa ìdọ̀gba (8c) àti fún ẹrù tí ń fẹ̀sùn mọ́ra nìkan (ɱ=0) agbára Euler ti ìfarabale _DK=B(π/l)_2.
Nínú sl. 3 ọ̀ràn tí a gbé kalẹ̀ gbọ́dọ̀ jẹ́ kí a tọ́ka sí i gẹ́gẹ́ bí fífi tẹ̀ àìárín nínú pátákó y-z. Ọ̀ràn ìdúróṣinṣin tí a ṣàgbéyẹ̀wò ṣáájú náà, nítorí náà, jẹ́ ìtẹ̀lọ́rùn láti inú pátákó fífi tẹ̀ tí ó ní ìbáṣepọ̀ pẹ̀lú fífi tẹ̀ ẹ̀gbẹ́ u àti torṣọ́ọ̀nù ϑ.
Bí òpin méjèèjì bá di mọ́lẹ̀ (ϑ=0 àti ϑ’=0) nígbà náà láti inú àwọn ipo àkọsílẹ̀, pẹ̀lú Δ=0, a gba ipo fífi-yíyà ní ẹgbẹ̀
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
pẹ̀lú àwọn gbòǹgbò λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) àti àwọn agbára ìyípo ẹgbẹ́
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.