വശീയ ബക്ക്ലിംഗ്, ടോർഷനിലെ ബക്ക്ലിംഗ്

വളവിലൂടെ വളവ് സംഭവിക്കൽ എന്ന സാഹചര്യത്തിൽ ദണ്ഡം സമതുലിതാവസ്ഥ മാറുമ്പോൾ ഒരു മുഖ്യ സമതലത്തിൽ വളഞ്ഞിരിക്കുന്നു.

എന്നാൽ സ്ഥിരതയുടെ ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ ദണ്ഡോ, അഥവാ ബീമോ, സമതുലനം മാറുമ്പോൾ വളയുന്നതിന് പുറമേ തിരിയുകയും ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 60a). താങ്ങുകളിൽ ഈ പ്രതിഭാസത്തെ വശീയ വളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു; വളവിനിടെ ടോർഷനിനും വിധേയമാകുന്ന സംകോചിത ദണ്ഡുകളിൽ ടോർഷനോടുകൂടിയ വളവ് എന്നാണ് പറയുന്നത്.

രണ്ടു സംഭവങ്ങൾക്കും നിർണായകമായത് വളച്ചുമാറ്റത്തോടുള്ള ദൃഢത C, അഥവാ വളവ് പ്രതിരോധം C* എന്നിവയുടെ അളവാണ്. അതിനാൽ, ടോർഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമതുല്യതയിലെ മാറ്റത്തെ പ്രധാനമായും സ്വാധീനിക്കാനാകുന്നത് മുറിവിമുക്തി ദൃഢത വർധിപ്പിക്കുന്ന നടപടികളിലൂടെ (അനുയോജ്യമായ ക്രോസ്-സെക്ഷൻ ആകൃതി, ട്രാൻസ്‌വേഴ്‌സ് ഫ്രെയിമുകൾ, വശ പിന്തുണ മുതലായവ) ആണ്. മറുവശത്ത്, തുറന്ന ക്രോസ്-സക്ഷനുള്ള പട്ടി ആകൃതിയിലുള്ള ദണ്ഡുകൾ ടോർഷനിലെ വക്രതയ്ക്കു പ്രത്യേകമായി അതിസംവേദനशीलമാണ്.

വശീയ വളച്ചിൽക്കായുള്ള വ്യുത്പന്ന സമവാക്യം

ചിത്രം 1a

ഒരു നേരായ ബീമിന് Ix >> Iy എന്നപോലെ വളരെ അസമാനമായ സ്ഥിരമായ ജഡതാ മോമെന്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. ലോഡ് y-z-തലത്തിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്, അതിനാൽ ബീം ഈ പ്രധാന സമതലത്തിൽ വളയുന്നു (u=ϑ=0). അനുഭവവും സിദ്ധാന്തവും കാണിക്കുന്നത് ഈ സമതുല്യതാ സ്ഥിതി ആദ്യം സ്ഥിരമാണെങ്കിലും, കൂടുതൽ ലോഡുകളിൽ അത് അസ്ഥിരമാകുന്നു. ഈ രണ്ടാം സമതുല്യതാ സ്ഥിതി അർദ്ധവശീയ വളയലിനും ϑ എന്ന ടോർഷനും ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്.

താഴെ പാർശ്വ ബക്ക്ലിങ്ങിനായുള്ള വ്യത്യാസ സമവാക്യം導ിപ്പിക്കും. _u_യും _ϑ_യും സംബന്ധിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ ഏകജാതീയമാണ്. അതിരുവരമ്പ് നിബന്ധനകളും ഏകജാതീയമായാൽ, ബീമിന്റെ പാർശ്വ ബക്ക്ലിംഗ് സാധ്യമാകുന്നത് പ്രശ്നത്തിന്റെ സ്വമൂല്യങ്ങൾക്കായി മാത്രം ആയിരിക്കും, അഥവാ, മുകളിൽ വിവരിച്ച അശാന്തിയില്ലാത്ത ബീമിൽ _u_യും _ϑ_യും ആദ്യമായി പൂജ്യമായി തുടരും. പാർശ്വ ബക്ക്ലിംഗിന്റെ നിബന്ധന - ദണ്ഡത്തിന്റെ ബക്ക്ലിങ്ങിലെപ്പോലെ - സംയോജന സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾക്കായുള്ള ഏകജാതീയ നിബന്ധനാ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ നിർണായകം പൂജ്യമാക്കിയാൽ ലഭിക്കുന്നു. ഇലാസ്റ്റിക് സന്തുലിതാവസ്ഥയുടെ യഥാർത്ഥ വിഭജന ബിന്ദു പാർശ്വ ബക്ക്ലിംഗിലും ഉണ്ടെന്ന് നാം കാണും.

ചി. 1b

ചിത്രം 1b-ൽ dz നീളമുള്ള ബീം ഘടകം കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. സ്ട്രെസ്സുകളുടെ ഫലബലങ്ങൾ N1, Q1, M1, കൂടാതെ വളവ് κ__1 എന്നിവ ഭാരം ആശ്രയിച്ചുള്ള അന്തിമ മൂല്യങ്ങളാണ്. തുടക്കത്തിലെ സമതുല്യതാ സ്ഥാനത്തിൽ Q, M, MD എന്നിവ ശൂന്യമാണ്, വശീയ വളവ് സംഭവിക്കുമ്പോഴാണ് അവ ശൂന്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാകുക. വശീയ വളവിന്റെ തുടക്കവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അന്തിമ മൂല്യങ്ങൾ അനന്തമായി ചെറുതാണ്; അതുപോലെ അനുയോജ്യമായ വികൃതികളും κ ഉം d__ϑ/dz ഉം.

ഘടകമായ dz-യുടെ ഇരുവശ അറ്റമുറിച്ചുകളുകളും ദണ്ഡിന്റെ ഇരട്ടവളഞ്ഞ അക്ഷത്തോട് ലംബമായ സമതലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു; അവ ഈ ലംബ സമതലങ്ങളിൽ മുറുകുകയും ചെയ്യും.

സ്തംഭത്തിന്റെ വളയുന്നതുപോലെ തന്നെ, ഇവിടെയും നമ്മെ പ്രധാനമായും ആകർഷിക്കുന്നത് നിർണായക ഭാരം അഥവാ വശീയ വളവിന്റെ ആരംഭമാണ്; രൂപഭേദങ്ങളുടെ മൂല്യം അത്ര പ്രധാനമല്ല. അതിനാൽ Q, M, MD എന്നീ മൂല്യങ്ങളുടെയും κ അല്ലെങ്കിൽ ϑ’ യുടെയും ഗുണഫലങ്ങളെ രണ്ടാം ക്രമത്തിലെ ചെറിയ മൂല്യങ്ങളായി അവഗണിക്കാം. തുടർന്ന്, കൂടുതൽ ലളിതമാക്കുന്നതിനായി, പ്രധാന വളവായ κ1 നെ കൂടി അനന്തമായി ചെറിയതെന്ന് കരുതും, അതിനെയും _κ_യും _ϑ’_യും പോലെ പരിഗണിക്കും.

കുറിപ്പ്: κ__1-ന്റെ സ്വാധീനം സിദ്ധാന്തപരമായും ഒരു ലളിതമായ പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ (ഭാരമായി സ്ഥിരമായ വളവ് മോമെന്റ് M) വിലയിരുത്താം. ഭൂരിഭാഗം നിർമ്മാണ ആവശ്യങ്ങളിൽ κ__1 അവഗണിക്കാവുന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ബന്ധപ്പെട്ട ഭാരം അവസ്ഥയ്ക്ക് കെട്ടിടക്കൂമ്പാരം ഇങ്ങനെ “മുകളിലേക്ക് വളച്ചതായി” കരുതാം, അതായത് നിർണായക ഭാരത്തിനായി κ__1=0.

ξ, η, ζ ദിശകളിലെ ബലഘടകങ്ങളുടെ സമതുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്നും, കൂടാതെ അതേ അക്ഷങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ മൊമെന്റ് നിബന്ധനകളിൽ നിന്നും, മേൽപ്പറഞ്ഞ ലഘൂകരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം ലഭിക്കുന്നത്

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

സമീകരണങ്ങളിൽ (1c, d i b) നിന്ന് ലഭിക്കുന്നത്

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

Q1 നീക്കംചെയ്താൽ സമവാക്യം (1a) ല്‍ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നത്

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

സമീകരണം (1e)യിൽ നിന്ന് ഇതിലൂടെ Q ഒഴിവാക്കപ്പെടും, തുടർന്ന് u’’ ను u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ വഴി കണ്ടെത്താം

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

_ϑ_യ്ക്കായി വ്യുത്പന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കാൻ, താഴെപ്പറയുന്ന മോമെന്റുകളും വികൃതികളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കും

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

അവിടെ B1=EIx ഉം B=EIy ഉം ദണ്ഡത്തിന്റെ വളവ് പ്രതിരോധിക്കുന്ന കാഠിന്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, C മുറുകൽതിരിവ് പ്രതിരോധിക്കുന്ന കാഠിന്യം, ხოლო C* വളയൽ പ്രതിരോധം. നമ്മുടെ തുടർന്നുള്ള കണക്കുകളിൽ ലളിതീകരണത്തിനായി C* ഉള്ള ഘടകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കും. സമീകരണങ്ങൾ ഉദാഹരണത്തിന് I-പ്രൊഫൈലുകൾക്ക് പ്രയോഗിക്കേണ്ടിവന്നാൽ അവ അനുയോജ്യമായ രീതിയിൽ പൂരിപ്പിക്കണം. v’’ ഘടകം അവഗണിക്കുന്നത് B1=∞ എന്നു കരുതുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

_M_യും _MD_യും സമീ. 4 ഉപയോഗിച്ച് ഇല്ലാതാക്കുമ്പോൾ, സമച്ഛേദമുള്ള ബീമിന്റെ വശ വളച്ചിലിനുള്ള വ്യുത്പന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം (5) ϑ സംബന്ധിച്ച് സമജന്യവും നാലാം ക്രമവുമാണ്. M1 ഭാരം അനുസരിച്ച് z യുടെ അറിയപ്പെടുന്ന ഫംഗ്ഷനാണ്.

സ്ഥിര വളവുമോമെന്റുള്ള ബീം

p=N1=0 ആകട്ടെ, കൂടാതെ Mx=ɱ=const. ക്രോസ്-സെക്ഷൻ ഫ്ലാഞ്ചില്ലാത്തതും (സങ്കുചിതം) ബീം ക്രോസ്-സെക്ഷന്റെ അളവുകളെ അപേക്ഷിച്ച് നീളമുള്ളതുമാകയാൽ, C*=0 എന്ന് സ്വീകരിക്കാം. അപ്പോൾ സമീകരണം (5) ലളിതമാകുന്നു, കാരണം M1=ɱ, അതിനാൽ:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

അല്ലെങ്കിൽ ചുരുക്കരൂപത്തിൽ λ2_=ɱ__2/BC_

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) ഇരുവശത്തും ഫോർക്കാകാര താങ്ങുള്ള പീഠം

ചിത്രം. 2

z=0 എന്നും z=l എന്നും ഉള്ളിടത്തെ ആധാരം ഫോർക്കുകളുടെ രൂപത്തിലാണ് (ചിത്രം 2), ഇത് _u_യും _v_യും എന്ന വളവുകൾ അനുവദിക്കുന്നു, പക്ഷേ അന്ത്യ വിചേദങ്ങളുടെ ഭ്രമണം തടയുന്നു; ϑ=0. x ദിശയിൽ ക്ലാമ്പിങ് ഇല്ലാത്തതിനാൽ (അഥവാ M=0, അല്ലെങ്കിൽ സമീകരണം (4) പ്രകാരം കൂടിയും u’’=0), _u’’യ്ക്കുള്ള സമീകരണത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നത്: MD’=0 എന്നും അതിലൂടെ സമീകരണം (4c) പ്രകാരം രണ്ടാമത്തെ അതിരുവ്യവസ്ഥയായി ϑ’’=0.

സമീകരണത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം (6a) ആണ്

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

പരിധി നിബന്ധനകളിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു

ഈ ഏകജാതിയുള്ള സമവാക്യ സംവിധാനത്തിന് ലഭിക്കുന്നത്:

• സാധാരണ പരിഹാരം A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, ഇതിന് അനുയോജ്യം ϑ=0, u’’=0 അല്ലെങ്കിൽ u=0, അതേസമയം ഗർഡർ വശത്തേക്ക് വളയുന്നില്ല.
• സ്വയം പരിഹാരങ്ങൾ Δ=0 അല്ലെങ്കിൽ sin λ__l=0. ഈ വശവളവ് വ്യവസ്ഥയുടെ മൂലങ്ങൾ λ__l=n__π (ഇവിടെ n=1,2,3,∙∙∙) ആണ്, അതിനനുസൃതമായ നിർണായക മോമെന്റ്ബാധകളും

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

പാർശ്വ വളയലിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മോമെന്റ്

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

n=1-ൽ സംഭവിക്കുന്നു. അനുയോജ്യമായ പരിഹാരം സമീകരണം (1f) പ്രയോഗിച്ചാണ് ലഭിക്കുന്നത്:

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) മറ്റു വശീയ വളവ് സംഭവങ്ങൾ

c) വളവ് മൂമന്റും അമർത്തുന്ന ബലവും മൂലമുള്ള വശീയ ബക്ക്ലിംഗ്

ചിത്രം 3-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിന് N1=-D (സമ്മർദം), p=0, തുടർന്ന് C*=0 വെച്ചു. അപ്പോൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമീകരണം (5) ലളിതമാക്കി ഇതാകുന്നു

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

ഇവിടെ λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

Diferencijalna jednačina (9)-യുടെ rešenje opet jedn. (8)-ൽ dato je, samo sada λ označava drugu vrednost.

ചിത്രം 3

ഉദാഹരണത്തിന് ചിത്രം 3 ലെപ്പോലെ, a) യിലേതുപോലെ തന്നെ കോൺടൂർ നിബന്ധനകൾ ϑ=0 , ϑ’’=0 എന്നിവയ്ക്ക് z=0 ഉം z=l ഉം ബാധകമാണ്. അതിനാൽ A1 നുള്ള നിബന്ധനാസമവാക്യങ്ങളും ഔപചാരികമായി ഒരുപോലെ തന്നെയാണ്, കൂടാതെ വശവളവിന്റെ നിബന്ധന Δ=sin λl=0 കൂടിയാണ്. നിർണായക ഭാരം λl=nπ (n=1,2,3) എന്ന ബന്ധം പാലിക്കുകയും കുറഞ്ഞ മൂല്യം ഇതാണ്

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

D=0-യ്ക്ക് അതിൽ നിന്ന് സമവാക്യം (8c) പ്രകാരമുള്ള വശവളയ മോമെന്റ് ലഭിക്കുന്നു; ശുദ്ധ സമ്മർദ്ദഭാരത്തിനായി (ɱ=0) Euler-ന്റെ വളയശക്തി _DK=B(π/l)_2 ലഭിക്കുന്നു.

ചിത്രം 3-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സംഭവം y-z സമതലത്തിലുള്ള എക്സ്സെൻട്രിക് വളച്ചലായി സൂചിപ്പിക്കണം. മുമ്പ് പരിഗണിച്ച സ്ഥിരതാ സംഭവം, അതിനാൽ, വളച്ചൽ സമതലത്തിന് പുറത്തുള്ള വളച്ചൽ ആണ്; ഇത് പാർശ്വ വളച്ചൽ u നോടും ടോർഷൻ ϑ നോടും ബന്ധപ്പെട്ടു നിൽക്കുന്നു.

രണ്ടു അറ്റങ്ങളും ഉറച്ചുപിടിപ്പിച്ചിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ (ϑ=0 എന്നും ϑ’=0 എന്നും) അതിരുവ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്ന്, Δ=0 ഉപയോഗിച്ച്, വശവളവ് സംഭവിക്കുന്നതിനുള്ള നിബന്ധന ലഭിക്കുന്നു

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) എന്ന വേരുകളോടെയും വശ വളച്ചിൽ ബലങ്ങളോടെയും

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.