Pikeun ngabengkok alatan ngabengkok batang dina parobahan kasaimbangan dibengkokkeun dina hiji widang utama.
Tapi aya ogé kasus-kasus stabilitas sapertos kitu, dina mana batang, atawa balok, nalika kasaimbangan robah henteu ngan ukur melengkung tapi ogé muter (gbr. 60a). Dina penyangga, fenomena ieu disebut mumbul samping, sedengkeun dina batang anu diteken, anu nalika mumbul ogé kakeunaan torsi, dipaké istilah mumbul dina torsi.
Pikeun duanana gejala, anu nangtukeun pisan nyaéta gedéna kakuatan ngalawan torsi C, nyaéta résistansi kana bengkok C*. Ku kituna, parobahan kasaimbangan anu patali jeung torsi utamana bisa dipangaruhan ku léngkah-léngkah anu nambahan kakuatan ngalawan piringan/puntiran (bentuk panampang anu merenah, rangka silang, panyokong samping jsb.). Di sisi séjén, batang wangun pita kalayan panampang kabuka husus pisan sénsitif kana ngabelengkung dina torsi.
Persamaan diferensial pikeun ngabengkok samping
Gbr. 1a
Anggap hiji balok lempeng miboga momen inersia konstan anu béda pisan gedéna Ix >> Iy. Beban aya dina bidang y-z-sarta balok bakal dibengkokkeun dina bidang utama ieu (u=ϑ=0). Pangalaman jeung tiori némbongkeun yén posisi kasaimbangan ieu mimitina stabil, tapi pikeun beban nu leuwih gedé jadi labil. Posisi kasaimbangan kadua ieu patali jeung ngabengkok lintang dina i jeung jeung torsi ϑ.
Di handap bakal diturunkeun persamaan diferensial pikeun ngalengkung samping. Persamaan pikeun u jeung ϑ mangrupakeun homogén. Lamun ogé kaayaan kontur homogén, mangka ngalengkung samping balok ngan mungkin pikeun nilai-nilai sorangan tina pasualan, nyaéta u jeung ϑ tetep mula-mula nol dina balok nu dijelaskeun di luhur tanpa gangguan. Sarat ngalengkung samping diala - sarupa jeung dina hal ngalengkungkeun batang - lamun determinan koéfisién tina persamaan syarat homogén pikeun konstanta integrasi disetél sarua jeung nol. Urang bakal ningali yén dina ngalengkung samping ogé aya titik cabang anu nyata tina kasaimbangan élastik.
Gbr. 1b
Dina gbr. 1b dipidangkeun unsur balok panjang dz. Résultansi tegangan N1, Q1, M1, kitu ogé kakurvatan κ__1 gumantung kana beban sarta mangrupa gedé anu tangtu. Q, M, MD nol dina posisi kasaimbangan asalna, sarta bakal béda ti nol ngan lamun ngalembeng samping dimimitian. Gedé-gedé ahir, anu patali jeung mimiti ngalembeng samping, pisan leutik, kitu ogé deformasi anu sasuai κ jeung d__ϑ/dz.
Dua-duana potongan tungtung unsur dz aya dina bidang normal kana sumbu batang anu melengkung ganda sarta bakal ngadoang dina bidang normal ieu.
Kusabab urang – saperti dina beukit batang – utamana museur kana gedéna beban kritis, nyaéta mimiti mumbul samping, sarta kurang kana gedéna deformasi, mangka hasil kali tina gedéna Q, M, MD jeung κ atawa ϑ’ bisa urang abaikan minangka gedéna leutik orde kadua. Ku kituna, pikeun nyederhanakeun deui, urang ogé bakal nganggap kurvatur utama κ1 salaku kacida leutikna sarta bakal diperlakukeun saperti κ jeung ϑ’.
Catetan: Pangaruh κ__1 ogé sacara téoritis bisa dipeunteun dina kasus husus anu basajan (momén bengkok konstan M salaku beban). Dina sabagéan ageung kabutuhan téknik sipil, κ__1 bisa dipopohokeun. Urang bisa, misalna, ngabayangkeun saolah-olah balok pikeun kasus beban éta geus didompléngkeun kitu nepi ka pikeun beban kritis pas κ__1=0.
Tina kasaimbangan komponén gaya dina arah ξ, η, ζ sarta sarat moméntum kana sumbu-sumbu anu sarua, sanggeus pangalajengan anu disebut tadi, dimeunangkeun
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Ti pers. (1c, d jeung b) dicandak
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Ku ngaleungitkeun Q1 tina pers. (1a) kahontal
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Ti pers. (1e) ku kituna Q bakal dileungitkeun, saterusna u ’’ ngaliwatan u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Pikeun meunang persamaan diferensial pikeun ϑ bakal diwanohkeun hubungan ieu antara momen jeung deformasi
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
di mana nunjukkeun B1=EIx jeung B=EIy kakuatan ngalawan ngabengkongkeun balok, C kakuatan ngalawan muter, sarta C* tahan kana melengkung. Dina itungan salajengna urang bakal ngaleungitkeun istilah jeung C* pikeun nyederhanakeun. Lamun persamaan kudu diterapkeun misalna kana profil I, mangka perlu diluyukeun ku cara anu pantes. Ngahaja teu merhatikeun istilah v’’ hartina sarua jeung nganggap B1=∞.
Lamun M jeung MD diéléminasi ku bantuan jén. 4 meunang persamaan diferénsial pikeun bengkok samping balok kalayan penampang konstan
Persamaan diferensial (5) téh homogén sarta réngsé pangkat kaopat dina ϑ. M1 nyaéta fungsi anu dipikanyaho tina z gumantung kana beban.
Balok kalayan momén bending tetep
Hayu p=N1=_0, salian ti éta Mx=ɱ=const. Penampangna tanpa flange (padet) jeung balokna panjang dibandingkeun jeung diménsi penampangna, ku kituna urang bisa netepkeun C*=_0. Teras pers. (5) jadi leuwih basajan, alatan M1=ɱ, mangka:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
atawa ku singketan λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Balok kalayan panopang garpu di dua tungtung
Gbr. 2
Pangrojong dina z=0 jeung z=l mangrupa bentuk garpu (gambar 2), anu ngamungkinkeun lendutan u jeung v, tapi nyegah puteran tina irisan tungtung; ϑ=0. Sabab dina arah x teu aya jepitan (nyaéta M=0, atawa numutkeun pas. (4) ogé u’’=0), tina pas. pikeun u’’: MD’=0 jeung ku kituna tina pas. (4c) minangka kaayaan wates kadua ϑ’’=0.
Pangrojong umum tina pers. (6a) nyaéta
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Tina sarat kontur diala
Sistim persamaan homogén ieu miboga:
- Solusi trivial A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, nu saluyu jeung ϑ=0, u’’=0 atawa u=0, ku kituna balok teu ngaléngkah ka gigir.
- Solusi eigen nurutkeun Δ=0 atawa sin λ__l=0. Akar tina kaayaan ngabengkok samping ieu nyaéta λ__l=n__π (kalawan n=1,2,3,∙∙∙) jeung momén kritis anu sasuai
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Momen pangleutikna tina ngelok samping
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
timbul dina n=1. Solusi anu luyu dicandak ku nerapkeun pers. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Kajadian séjén tina lenturan samping
c) Ngabengkong ka gigir alatan momen bengkang jeung gaya anu neken
Pikeun conto anu ditémbongkeun dina gbr. 3 nyaéta N1=-D (tekanan), p=0, tuluy dipasangan C*=0. Mangka pers. diferensial (5) disederhanakeun sarta berbunyi
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
di mana λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Solusi persamaan diferensial (9) dipasihkeun deui ku jedn. (8), ngan ayeuna λ nandaan nilai séjén.
Gmbr. 3
Pikeun conto sl. 3 berlaku sarua jeung pikeun a) kaayaan kontur ϑ=0 jeung ϑ’’=0 pikeun z=0 jeung z=l. Ku kituna, persamaan sarat pikeun A1 sacara formal ogé sarua, kitu deui sarat pikeun ngelintir samping Δ=sin λl=0. Beban kritis nyumponan hubungan λl=nπ (n=1,2,3) jeung nilai pangleutikna nyaéta
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Pikeun D=0 ku kituna meunang momen ngagulung samping nurutkeun pers. (8c) jeung pikeun beban murni nahan teken (ɱ=0) gaya Euler pikeun ngagulung _DK=B(π/l)_2.
Dina gbr. 3 kasus anu dipidangkeun kudu ditandaan minangka meliuk éksentris dina widang y-z. Ku kituna, kasus stabilitas anu geus dibahas tadi mangrupa ngaguluyur kaluar tina widang meliuk nu aya patalina jeung meliuk samping u jeung torsi ϑ.
Lamun duanana tungtung dijepit (ϑ=0 jeung ϑ’=0) mangka tina kaayaan kontur, ku bantuan Δ=0, dicandak sarat pangejutan samping
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
kalawan akar λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) jeung gaya bengkok samping
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.