Per il svergolamento per flessione, l’asta, al mutare dell’equilibrio, si piega in un unico piano principale.
Vi sono anche casi di stabilità nei quali l’asta, rispettivamente la trave, al mutare dell’equilibrio non si piegano soltanto ma si torcono anche (fig. 60a). Negli elementi compressi questo fenomeno si chiama instabilità laterale; nelle aste compresse, che durante l’instabilità sono sottoposte anche a torsione, si parla di instabilità per torsione.
Per entrambi i fenomeni è di importanza decisiva il valore della rigidezza alla torsione C, ovvero della resistenza alla deformazione per inflessione C*. Il cambiamento di equilibrio associato alla torsione può quindi essere influenzato anzitutto da misure che aumentano la rigidezza contro la torsione (forma adeguata della sezione, telai trasversali, controventi laterali ecc.). D’altra parte, gli elementi a forma di nastro con sezione aperta sono particolarmente sensibili all’imbozzamento per torsione.
Equazione differenziale per il buckling laterale
Fig. 1a
Si supponga che una trave rettilinea abbia momenti d’inerzia costanti molto diversi fra loro Ix >> Iy. Il carico giace nel piano y-z- in modo che la trave si fletta in questo piano principale (u=ϑ=0). L’esperienza, così come la teoria, mostrano che questa posizione di equilibrio è inizialmente stabile, ma che per carichi maggiori diventa instabile. Questa seconda posizione di equilibrio è associata alla flessione trasversale in u e alla torsione ϑ.
Di seguito verrà derivata l’equazione differenziale per l’instabilità laterale. Le equazioni per u e ϑ sono omogenee. Se anche le condizioni al contorno sono omogenee, allora l’instabilità laterale della trave è possibile solo per gli autovalori del problema, cioè u e ϑ rimangono inizialmente uguali a zero per la trave sopra descritta non perturbata. La condizione di instabilità laterale si ottiene – analogamente al caso dell’instabilità di una barra – ponendo uguale a zero il determinante dei coefficienti delle equazioni omogenee di condizione per le costanti di integrazione. Vedremo che anche nell’instabilità laterale esiste un vero punto di biforcazione dell’equilibrio elastico.
Fig. 1b
Nella fig. 1b è rappresentato l’elemento di trave di lunghezza dz. Le risultanti delle tensioni N1, Q1, M1, così come la curvatura κ__1 dipendono dal carico e hanno valori finiti. Q, M, MD sono nulli nella posizione di equilibrio iniziale e si discosteranno da zero solo quando subentra l’instabilità laterale. Le grandezze estreme, riferite all’inizio dell’instabilità laterale, sono infinitamente piccole, così come le corrispondenti deformazioni κ e d__ϑ/dz.
Entrambe le sezioni terminali dell’elemento dz giacciono nel piano normale rispetto all’asse doppio curvo dell’asta e saranno torse in questi piani normali.
Poiché, come nel caso dell’instabilità di un’asta, ciò che ci interessa in primo luogo è l’entità del carico critico, cioè l’inizio dell’instabilità laterale, e meno l’entità delle deformazioni, possiamo trascurare i prodotti delle grandezze Q, M, MD con κ o ϑ’ come piccole grandezze di secondo ordine. Pertanto, per un’ulteriore semplificazione, assumeremo anche la curvatura principale κ1 come infinitamente piccola e sarà trattata come κ e ϑ’.
Nota: L’effetto di κ__1 deve essere valutato anche teoricamente nel semplice caso speciale (momento flettente costante M come carico). Nella maggior parte delle applicazioni dell’ingegneria civile κ__1 può essere trascurato. Si può, ad esempio, immaginare che la trave per il caso di carico in questione sia così “prearcata” che per il carico critico proprio κ__1=0.
Dall’equilibrio delle componenti delle forze nelle direzioni ξ, η, ζ e dalle condizioni di momento rispetto agli stessi assi si ottiene, dopo le menzionate trascuranze
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Dalle eq. (1c, d e b) si ottiene
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Eliminando Q1 dall’eq. (1a) si ottiene
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Dall’equazione. (1e) verrà così eliminato Q, quindi u ’’ mediante u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Per ottenere l’equazione differenziale per ϑ si introdurranno le seguenti relazioni tra momenti e deformazioni
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
dove indica B1=EIx e B=EIy la rigidezza alla flessione della trave, C la rigidezza alla torsione e C* la resistenza all’imbardata. Nei nostri calcoli successivi trascureremo i termini con C* per semplificare. Se le equazioni devono essere applicate, ad esempio, ai profili I, allora è necessario completarle in modo appropriato. Trascurare il termine v’’ significa lo stesso che assumere B1=∞.
Se M e MD vengono eliminati mediante l’eq. 4 si ottiene l’equazione differenziale per l’instabilità laterale di una trave a sezione costante
L’equazione differenziale (5) è omogenea e di quarto ordine rispetto a ϑ. M1 è una funzione nota di z in funzione del carico.
Trave a momento flettente costante
Sia p=N1=0, inoltre Mx=ɱ=const. La sezione è senza flangia (compatta) e la trave è lunga rispetto alle dimensioni della sezione trasversale, così possiamo porre C*=0. Allora l’equaz. (5) si semplifica, a causa di M1=ɱ, quindi:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
oppure con l’abbreviazione λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Trave con appoggio a forcella a entrambe le estremità
Fig. 2
L’appoggio in corrispondenza di z=0 e z=l è sotto forma di forcelle (fig. 2), che consentono le flessioni u e v, ma impediscono la rotazione delle sezioni terminali; ϑ=0. Poiché nella direzione x non vi è incastro (cioè M=0, oppure secondo l’eq. (4) anche u’’=0), dall’eq. per u’’: MD’_=0 e quindi dall’eq. (4c) come seconda condizione al contorno ϑ’’=0.
La soluzione generale dell’equazione (6a) è
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Dalle condizioni al contorno si ottiene
Questo sistema omogeneo di equazioni ha:
- La soluzione triviale A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, a cui corrisponde ϑ=0, u’’=0 oppure u=0, per cui la trave non si imbarca lateralmente.
- Soluzioni proprie secondo Δ=0 oppure sin λ__l=0. Le radici di questa condizione di instabilità laterale sono λ__l=n__π (con n=1,2,3,∙∙∙) e i corrispondenti carichi critici di momento
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Momento minimo di instabilità laterale
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
si ottiene per n=1. La soluzione corrispondente si ricava applicando l’eq. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Altri casi di instabilità laterale
c) Instabilità laterale dovuta al momento flettente e alla forza di compressione
Per l’esempio mostrato in fig. 3 si ha N1=-D (compressione), p=0, quindi è stato posto C*=0. Allora l’equazione differenziale (5) si semplifica e risulta
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
dove λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
La soluzione dell’equazione differenziale (9) è data ancora dall’eq. (8), solo che ora λ indica un altro valore.
Fig. 3
Per l’esempio di fig. 3 valgono, come per a), le condizioni al contorno ϑ=0 e ϑ’’=0 per z=0 e z=l. Di conseguenza, anche le equazioni condizionali per A1 sono formalmente identiche, così come la condizione di instabilità laterale Δ=sin λl=0. Il carico critico soddisfa il rapporto λl=nπ (n=1,2,3) e il valore minimo è
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Per D=0 si ottiene da ciò il momento di inflessione laterale secondo l’equaz. (8c) e per il carico puramente compressivo (ɱ=0) la forza di inflessione di Euler _DK=B(π/l)_2.
Nella fig. 3 il caso rappresentato deve essere indicato come flessione eccentrica nel piano y-z. Il caso di stabilità considerato in precedenza è, dunque, instabilità fuori dal piano di flessione associata a flessione laterale u e torsione ϑ.
Se entrambe le estremità sono incastrate (ϑ=0 e ϑ’=0) allora, dalle condizioni al contorno, mediante Δ=0, si ottiene la condizione di instabilità laterale
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
con i valori di λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) e le forze di instabilità laterale
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.