পার্শ্বীয় বাকলন এবং টর্শনের সময় বাকলন

বক্রণ-জনিত বাকলন-এর ক্ষেত্রে, সাম্যাবস্থার পরিবর্তনে দণ্ডটি একটি প্রধান সমতলে বেঁকে যায়।

তবে এমন স্থিতিশীলতার ঘটনাও আছে, যেখানে দণ্ড, অর্থাৎ বিম, সাম্যাবস্থার পরিবর্তনে শুধু বেঁকে যায় না, মোচড়ও খায় (চিত্র 60a)। বাহকদের ক্ষেত্রে এই ঘটনাকে পার্শ্বীয় বাকলিং বলা হয়; আর যেসব চাপপ্রাপ্ত দণ্ড বাকলিংয়ের সময় টর্শনেরও অধীন থাকে, সেগুলোর ক্ষেত্রে টর্শনজনিত বাকলিং বলা হয়।

উভয় ঘটনার ক্ষেত্রেই টর্শনের বিরুদ্ধে কঠোরতার মান C, তথা বক্রণ প্রতিরোধ C* নির্ণায়ক গুরুত্বের। অতএব, টর্শনের সাথে যুক্ত সাম্যাবস্থার পরিবর্তনে প্রাথমিকভাবে এমন ব্যবস্থা নিয়ে প্রভাব ফেলা যায়, যা পাকানোর বিরুদ্ধে কঠোরতা বাড়ায় (উপযুক্ত ছেদ-আকৃতি, আড়াআড়ি ফ্রেম, পার্শ্বীয় সমর্থন ইত্যাদি)। অন্যদিকে, খোলা ছেদযুক্ত ফিতার আকারের দণ্ডগুলো টর্শনে বাঁকিয়ে যাওয়ার প্রতি বিশেষভাবে সংবেদনশীল।

পার্শ্বীয় বাকলননের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

চিত্র 1a

ধরা যাক একটি সোজা বিমের জড়তার ধ্রুবকগুলির মান খুবই অসম, Ix >> Iy। লোডটি y-z-সমতলে অবস্থিত, ফলে বিমটি এই প্রধান সমতলে বেঁকে যাবে (u=ϑ=0)। অভিজ্ঞতা এবং তত্ত্ব উভয়ই দেখায় যে এই সাম্যাবস্থা প্রথমে স্থিতিশীল, কিন্তু বেশি লোডে তা অস্থিতিশীল হয়ে পড়ে। এই দ্বিতীয় সাম্যাবস্থা আড়াআড়ি বক্রতা u এবং টরশন ϑ এর সঙ্গে সম্পর্কিত।

নীচে পার্শ্বীয় বাকলন (side buckling) এর জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নির্ণয় করা হবে। u এবং ϑ এর জন্য সমীকরণগুলো সমসত্ত্ব। যদি সীমানা শর্তও সমসত্ত্ব হয়, তবে বিমের পার্শ্বীয় বাকলন কেবল সমস্যার স্বীয় মানগুলোর জন্যই সম্ভব, অর্থাৎ উপরে বর্ণিত অস্থির বিমের ক্ষেত্রে u এবং ϑ প্রথমে শূন্যই থাকে। পার্শ্বীয় বাকলনের শর্তটি—দণ্ডের বাকলনের মতোই—পাওয়া যায়, যদি সমাকলন ধ্রুবকগুলোর জন্য সমসত্ত্ব শর্তসমীকরণের সহগ নির্ণায়ককে শূন্য ধরা হয়। আমরা দেখব যে পার্শ্বীয় বাকলনের ক্ষেত্রেও স্থিতিস্থাপক সাম্যাবস্থার একটি প্রকৃত শাখা-বিভাজন বিন্দু রয়েছে।

চিত্র 1b

চিত্র 1b-তে দৈর্ঘ্য dz বিশিষ্ট বিম উপাদান দেখানো হয়েছে। চাপের ফলাফল N1, Q1, M1, এবং বক্রতা κ__1 লোডের ওপর নির্ভর করে এবং সসীম মানের হয়। Q, M, MD প্রাথমিক সাম্যাবস্থায় শূন্য, এবং পার্শ্বীয় বকলন শুরু হলে তবেই এগুলো শূন্য থেকে ভিন্ন হবে। পার্শ্বীয় বকলনের সূচনাকে নির্দেশকারী সসীম মানগুলো অসীম ক্ষুদ্র, তদ্রূপ সংশ্লিষ্ট বিকৃতিগুলো κ এবং d__ϑ/dz।

উপাদান dz-এর উভয় প্রান্তীয় ছেদই দণ্ডের দ্বিগুণ-বক্র অক্ষের লম্ব সমতলে অবস্থিত এবং এই লম্ব সমতলগুলোতে তারা মোচড়ানো হবে।

যেহেতু আমাদের—দণ্ডের বেঁকে যাওয়ার ক্ষেত্রেও যেমন—প্রথমত আগ্রহ ক্রান্তীয় লোডের পরিমাণে, অর্থাৎ পার্শ্বীয় বেঁকে যাওয়ার সূচনায়, এবং কম আগ্রহ বিকৃতির পরিমাণে, তাই আমরা Q, M, MD-এর সঙ্গে κ বা ϑ’-এর গুণফলকে উচ্চতর ক্রমের ক্ষুদ্র রাশি হিসেবে উপেক্ষা করতে পারি। অতএব আরও সরলীকরণের জন্য আমরা প্রধান বক্রতা κ1-কেও অসীম ক্ষুদ্র ধরে নেব, এবং সেটিকে κ ও ϑ’-এর মতোই বিবেচনা করা হবে।

নোট: κ__1-এর প্রভাবকে একটি সহজ বিশেষ ক্ষেত্রে (লোড হিসেবে ধ্রুব বেঁকানো মুহূর্ত M) তাত্ত্বিকভাবেও মূল্যায়ন করা যায়। নির্মাণ প্রযুক্তির অধিকাংশ প্রয়োজনের ক্ষেত্রে κ__1 উপেক্ষা করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, কল্পনা করা যেতে পারে যে নির্দিষ্ট লোডের ক্ষেত্রে বিমটি এমনভাবে “উচ্চতর” করা হয়েছে যে সংকটজনক লোডের জন্য ঠিক κ__1=0.

ξ, η, ζ দিকগুলোতে বলের উপাংশগুলোর সাম্যাবস্থা এবং একই অক্ষগুলোর সাপেক্ষে মুহূর্ত-শর্তগুলো থেকে, উল্লিখিত অবহেলাগুলোর পরে, পাওয়া যায়

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

সমীকরণ (1c, d এবং b) থেকে পাওয়া যায়

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

সমীকরণ (1a) থেকে Q1 বাদ দিলে পাওয়া যায়

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

সমীকরণ (1e) থেকে এভাবে Q অপসারিত হবে, এরপর u ’’ কে u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ দ্বারা নির্ণয় করা হবে

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

ϑ এর জন্য একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পাওয়ার জন্য, মুহূর্ত ও বিকৃতির মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি প্রবর্তন করা হবে

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

যেখানে B1=EIx এবং B=EIy দ্বারা বিমের বক্রণ-প্রতিরোধী কঠোরতা, C দ্বারা মোচড়-প্রতিরোধী কঠোরতা, এবং C* দ্বারা বাঁকনো প্রতিরোধ বোঝানো হয়। আমাদের পরবর্তী গণনায় সরলতার জন্য C*-যুক্ত পদগুলো বাদ দেওয়া হবে। সমীকরণগুলো যদি উদাহরণস্বরূপ I-প্রোফাইলে প্রয়োগ করতে হয়, তবে সেগুলোকে যথাযথভাবে সম্পূরক করা প্রয়োজন। v’’ পদটি উপেক্ষা করা মানে B1=∞ ধরা।

যদি M এবং MD ধারা 4-এর সাহায্যে অপসারণ করা হয়, তবে ধ্রুব প্রস্থচ্ছেদের বিমের পার্শ্বীয় বাঁকনের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পাওয়া যায়

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (5) সমসত্ত্ব এবং ϑ অনুযায়ী চতুর্থ ক্রমের। M1 হলো z-এর একটি সুপরিচিত ফাংশন, যা লোডের উপর নির্ভরশীল।

ধ্রুব বক্রণ মোমেন্টসহ বিম

ধরা যাক p=N1=0, তদুপরি Mx=ɱ=const. অনুচ্ছেদটি ফ্ল্যাঞ্জবিহীন (সংকুচিত) এবং গার্ডারটি এর অনুচ্ছেদিক মাত্রার তুলনায় দীর্ঘ, তাই আমরা C*=0 ধরে নিতে পারি। তখন সমীকরণ (5) সরল হয়, কারণ M1=ɱ, ফলে:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

অথবা সংক্ষিপ্ত রূপে λ2_=ɱ__2/BC_

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) উভয় প্রান্তে ফর্ক-আকৃতির অবলম্বনযুক্ত বীম

ক্রম2

z=0 এবং z=l ক্ষেত্রে সমর্থনটি কাঁটাচামচ-আকৃতির (চিত্র 2), যা u এবং v অবনমনকে অনুমতি দেয়, কিন্তু প্রান্তীয় ছেদের ঘূর্ণন রোধ করে; ϑ=0. যেহেতু x দিকটিতে কোনো ক্ল্যাম্পিং নেই (অর্থাৎ M=0, অথবা সমীকরণ (4) অনুসারেও u’’=0), তাই u’’ এর সমীকরণ থেকে: MD’_=0 এবং সেইভাবে সমীকরণ (4c) থেকে দ্বিতীয় সীমানা শর্ত হিসেবে ϑ’’=0.

সমীকরণটির সাধারণ সমাধান (6a) হলো

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

সীমানা শর্ত থেকে পাওয়া যায়

এই সমজাতীয় সমীকরণ-ব্যবস্থার রয়েছে:

• তুচ্ছ সমাধান A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, যার সঙ্গে ϑ=0, u’’=0 অথবা u=0 মিলে যায়, এবং এতে বীমটি পাশদিকে বাকলায় না।
• নিজস্ব সমাধান Δ=0 অথবা sin λ__l=0. পাশ্বীয় বাকলনের এই শর্তের মূলগুলো হলো λ__l=n__π (যেখানে n=1,2,3,∙∙∙) এবং সংশ্লিষ্ট সমালোচনামূলক মোমেন্ট লোড

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

পার্শ্বীয় বকলনের ক্ষুদ্রতম মুহূর্ত

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

এটি n=1 এ ঘটে। উপযুক্ত সমাধানটি সমীকরণ (1f) প্রয়োগ করে:

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) পাশীয় বক্‌লনের অন্যান্য ক্ষেত্র

c) বাঁকানোর মুহূর্ত এবং চাপকারী বলের কারণে পার্শ্বীয় বক্রতা

চিত্রে প্রদর্শিত উদাহরণের জন্য 3 হল N1=-D (চাপ), p=0, এরপর C*=0 বসানো হয়েছে। তখন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (5) সরল হয় এবং হয়

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

যেখানে λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

অবলম্বন সমীকরণের সমাধান (9) আবারও সমীকরণে (8) দেওয়া হয়েছে, তবে এখন λ অন্য একটি মান নির্দেশ করে।

ক্রম3

উদাহরণস্বরূপ, চিত্র 3-এর জন্য a) এর মতোই প্রান্তীয় শর্ত ϑ=0 এবং ϑ’’=0 প্রযোজ্য z=0 এবং z=l এর জন্য। ফলে A1-এর শর্তসাপেক্ষ সমীকরণও আনুষ্ঠানিকভাবে একই, এবং পার্শ্বীয় বাকলন শর্ত Δ=sin λl=0-ও একই। সমালোচনামূলক লোড λl=nπ (n=1,2,3) সম্পর্কটি পূরণ করে এবং সর্বনিম্ন মান হলো

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

D=0 এর জন্য সেখান থেকে পার্শ্বীয় বকলিং মুহূর্ত নির্ণয় করা যায় সমীকরণ (8c) অনুসারে এবং সম্পূর্ণ চাপমূলক লোডের জন্য (ɱ=0) Euler-এর বকলিং বল _DK=B(π/l)_2।

চিত্রে 3 প্রদর্শিত ঘটনাটিকে y-z সমতলে বিকেন্দ্রিক বক্রতা হিসেবে চিহ্নিত করতে হবে। অতএব, আগে আলোচিত স্থিতিশীলতার ঘটনাটি হলো বাঁকন-সমতলের বাইরে বক্রতা, যা পার্শ্বীয় বক্রতা u এবং টর্শন ϑ-এর সঙ্গে যুক্ত।

যদি উভয় প্রান্তই দৃঢ়ভাবে আটকানো থাকে (ϑ=0 এবং ϑ’=0) তবে কনট্যুর শর্ত থেকে, Δ=0-এর সাহায্যে, পার্শ্বীয় বাকলনের শর্ত পাওয়া যায়

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) এবং পার্শ্বীয় বাঁকনের বলগুলির_ মূলসহ

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.