Foar bûgknik by bûging is de stêf by de feroaring fan lykwicht yn ien haadflak bûgd.
Mar der binne ek sokke stabiliteitsgefallen by dêr’t in stêf, resp. in balk by in feroaring fan it lykwicht net allinne bûgd, mar ek torsjonearre wurdt (fig. 60a). By dragers hjit dit ferskynsel side-útknikking, by drukte stêven, dy’t by it útknikken ek oan torsje ûnderwurpen binne, sprekt men fan útknikking by torsje.
Foar beide ferskynsels is de grutte fan de torsjonele stiifheid C, resp. de wjerstân tsjin kromming C*, fan beslissend belang. Op de feroaring fan it lykwicht dy’t mei torsje ferbûn is, kin dêrom yn it foarste plak ynwurke wurde troch maatregels dy’t de stiifheid tsjin ferdraaiing ferheegje (gaadlike trochsneedfoarm, dwersrammen, sydstipe ensfh.). Oan de oare kant binne stêven yn de foarm fan in strip mei in iepen trochsneed benammen gefoelich foar útknikking by torsje.
Differinsjaalfergeliking foar sydlings knikken
Fig. 1a
Stel dat in rjochte balk konstante traachmominten fan tige ûngelikense grutte Ix >> Iy hat. De belêsting leit yn it y-z-flak, sadat de balk yn dit haadflak bûgd wurdt (u=ϑ=0). Underfining en teory litte sjen dat dizze lykwichtstastân earst stabyl is, mar dat er by gruttere lesten labil wurdt. Dizze twadde lykwichtstastân is ferbûn mei dwersbûging yn u en mei torsje ϑ.
Hjirûnder sil de differinsjaalfergeliking foar sydlings knikjen ôflaat wurde. De ferlikingen foar u en ϑ binne homogeen. As ek de rânebetingsten homogeen binne, dan is sydlings knikjen fan de balk allinnich mooglik foar de eigenwearden fan it probleem, dat wol sizze u en ϑ bliuwe earst nul by de hjirboppe beskreaune balk sûnder fersteuring. De betingst foar sydlings knikjen wurdt krigen - lykas by knikjen fan in stêf - troch de determinant fan de koëffisjint fan de homogene betingingsfergelikingen foar de yntegraasje-konstanten op nul te stellen. Wy sille sjen dat der ek by sydlings knikjen in wier bifurkaasjepunt fan it elastyske lykwicht bestiet.
Ofb. 1b
Op sl. 1b is it balkelemint mei lingte dz foarsteld. De resultanten fan de spanningen N1, Q1, M1, lykas de kromming κ__1 binne ôfhinklik fan de belêsting en hawwe einige grutte. Q, M, MD binne nul yn de oarspronklike evenwichtsstân, en sille pas fan nul ferskille as lateraal knikken optreedt. De einige grutheden, dy’t op it begjin fan it lateraal knikken slaan, binne ûneinich lyts, lykas de oerienkommende ferfoarmingen κ en d__ϑ/dz.
Beide einseksjes fan it elemint dz lizze yn it normale flak op de dûbel kromme as fan de stêf en sille yn dizze normale flakken draaid wurde.
Omdat wy – lykas by it útknikken fan in stêf – yn it foarste plak ynteressearre binne yn de grutte fan de krityske belesting, dus it begjin fan it sydlings útknikken, en minder yn de grutte fan de ferfoarmingen, kinne wy de produkten fan de grutten Q, M, MD mei κ of ϑ’ as lytse grutten fan de twadde oarder negearje. Dêrom sille wy foar fierdere ferienfâldiging ek de haadkromming κ1 as ûneinich lyts oannimme en dy behannelje as κ en ϑ’.
Opmerking: It effekt fan κ__1 moat ek teoretysk beoardiele wurde yn in ienfâldich spesjaal gefal (konstant bûgmomint M as belêsting). Yn de measte behoeften fan de boutechnyk kin κ__1 negearre wurde. Men kin bygelyks foarstelle dat de balk foar de betingste belêsting sa “ophege” is dat foar de krityske belêsting krekt κ__1=0.
Ut it lykwicht fan de krêftkomponinten yn de rjochtingen ξ, η, ζ en út de momintbetingsten om deselde assen hinne wurdt nei de neamde ferwaarleazgings krigen
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Ut ferg. (1c, d en b) krijt men
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Troch Q1 út ferg. (1a) te eliminearjen, krije wy
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Ut ferh. (1e) sil dêrmei Q eliminearre wurde, dêrnei u ’’ troch u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Om de differinsjaalfergeliking foar ϑ te krijen, wurde de folgjende ferhâldingen tusken mominten en deformaasje ynfierd
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
wêrmei B1=EIx en B=EIy de stivens tsjin bûgen fan de balk oantsjutte, C de stivens tsjin torsje, en C* de wjerstân tsjin kromming. Yn ús fierdere berekkeningen sille wy de termen mei C* weifalle litte foar it ferienfâldigjen. As de fergelikingen bygelyks op I-profyls tapast wurde moatte, dan moatte se op de passende wize oanfolle wurde. It negearjen fan de term v’’ betsjut itselde as de oanname B1=∞.
As M en MD mei help fan ferg. 4 eliminearre wurde, krije wy de differinsjale fergeliking foar sydlings bûgen fan in balk mei konstante trochsneed
De differinsjaalfergeliking (5) is homogeen en fan fjirde oarder nei ϑ. M1 is in bekende funksje fan z ôfhinklik fan de belêsting.
Balk mei konstante bûgingsmomint
Lit p=N1=0 wêze, fierders Mx=ɱ=const. De trochsneed is sûnder flens (ticht) en de balk is lang yn ferhâlding ta de ôfmjittings fan de trochsneed, sadat wy oannimme kinne dat C*=0. Dan ferienfâldiget ferh. (5), fanwegen M1=ɱ, en dan jildt:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
of mei de ôfkoarting λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Balke mei in foarkefoarmige oplegging oan beide úteinen
Ofb. 2
De oplegging by z=0 en z=l is yn de foarm fan foarken (fig. 2), dy’t trochbuigingen u en v mooglik meitsje, mar it draaien fan de einseksjes foarkomme; ϑ=0. Omdat yn de x-rjochting gjin ynklemmen is (d.w.s. M=0, of neffens ferh. (4) ek u’’=0), folget út de ferh. foar u’’: MD’_=0 en dêrmei út ferh. (4c) as twadde grinsbetingst ϑ’’=0.
De algemiene oplossing fan ferg. (6a) is
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Ut de kontuerbetingsten wurdt krigen
Dit homogene systeem fan fergelikingen hat:
- Triviale oplossing A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, dêr’t ϑ=0, u’’=0 of u=0, by wêrby’t de balke gjin sydlings bûgknik hat.
- Eigen oplossings neffens Δ=0 of sin λ__l=0. De nullen fan dizze betingst foar sydútknikking binne λ__l=n__π (mei n=1,2,3,∙∙∙) en de oerienkommende krityske momintlesten
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Minste momint fan sydlings knikken
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
ûnstean by n=1. De oerienkommende oplossing wurdt krigen troch tapassing fan ferg. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Oare gefallen fan sydlings knikken
c) Sydbûging troch bûgmomint en drukkrêft
Foar it foarbyld toand yn fig. 3 is N1=-D (druk), p=0, dêrnei is C*=0 ynsteld. Dan ferienfâldiget de differinsjale ferlyk. (5) en lûkt as folget
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
wêrby’t λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
De oplossing fan de differinsjale fergeliking (9) wurdt wer jûn troch de ferg. (8), allinnich betsjut λ no in oare wearde.
Ôfb. 3
Foar it foarbyld fan ôfb. 3 jilde, lykas foar a), de grinsbetingsten ϑ=0 en ϑ’’=0 foar z=0 en z=l. Dêrom binne ek de betingingsfergelikingen foar A1 formeel itselde, en ek de betingst foar sydlings knikken Δ=sin λl=0. De krityske belêsting foldocht oan de ferhâlding λl=nπ (n=1,2,3) en de lytste wearde is
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Foar D=0 wurdt dêrút it sydlingse knikmomint neffens fergl. (8c) krigen en foar suver drukbelêsting (ɱ=0) de Euler-knikkrêft _DK=B(π/l)_2.
Op ôfb. 3 moat it werjûne gefal oantsjut wurde as eksintryske bûging yn it flak y-z. It hjirfoar beskôge stabiliteitsgefal is dus knik út it bûgingsflak, ferbûn mei sydlings bûgen u en torsje ϑ.
As beide einen ynklemd binne (ϑ=0 en ϑ’=0), dan wurdt út de grinsbetingsten, mei help fan Δ=0, de betingst foar laterale knik krigen
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
mei woartels λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) en sydlings-bûgingskrêften
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.