Taivutuksen yhteydessä tapahtuva nurjahdus -tapauksessa tanko taipuu tasapainon muuttuessa yhdessä pääasiallisessa tasossa.
On kuitenkin myös sellaisia vakavuustapauksia, joissa tanko eli palkki tasapainotilan muuttuessa ei ainoastaan taivu vaan myös kiertyy (kuva 60a). Palkkien kohdalla tätä ilmiötä kutsutaan sivuttaispalnurksi, puristettujen tankojen kohdalla, jotka nurjahduksen aikana altistuvat myös vääntymiselle, puhutaan vääntönurjahduksesta.
Molempien ilmiöiden kannalta ratkaisevan tärkeä on vääntöjäykkyyden C suuruus, eli kiertymisvastus C*. Tasapainon muutokseen, joka liittyy vääntöön, voidaan siten vaikuttaa ennen kaikkea toimenpiteillä, jotka lisäävät kiertymisjäykkyyttä (sopiva poikkileikkauksen muoto, poikittaiset kehykset, sivuttaistuki jne.). Toisaalta nauhamaiset sauvat, joilla on avoin poikkileikkaus, ovat erityisen herkkiä vääntymisen aiheuttamalle nurjahdukselle.
Differentiaaliyhtälö sivuttaispäivännystä varten
Kuva 1a
Olkoon suoralla palkilla vakioiset hitausmomentit, jotka eroavat toisistaan suuresti Ix >> Iy. Kuormitus sijaitsee y-z-tasossa, joten palkki taipuu tässä päätasossa (u=ϑ=0). Kokemus ja teoria osoittavat, että tämä tasapainotila on aluksi vakaa, mutta muuttuu suuremmilla kuormilla epävakaaksi. Tämä toinen tasapainotila liittyy poikittaistaivutukseen u:ssa ja vääntöön ϑ.
Alla johdetaan differentiaaliyhtälö sivuttaispainumiselle. Yhtälöt u:lle ja ϑ:lle ovat homogeenisia. Jos myös reunaehdot ovat homogeenisia, palkin sivuttaispainuminen on mahdollinen vain ongelman ominaisarvoilla, ts. u ja ϑ pysyvät aluksi nollina edellä kuvatulla häiriöttömällä palkilla. Sivuttaispainumisen ehto saadaan – samoin kuin sauvan painumisessa – asettamalla homogeenisten ehtoyhtälöiden kertoimien determinantti integraatiovakioille nollaksi. Näemme, että myös sivuttaispainumisessa on olemassa elastisen tasapainon varsinainen haarautumispiste.
Kuv. 1b
Kuvassa 1b on esitetty palkkielementti, jonka pituus on dz. Jännitysten resultantit N1, Q1, M1, sekä kaarevuus κ__1 riippuvat kuormituksesta ja ovat äärellisiä suureita. Q, M, MD ovat nollia alkuperäisessä tasapainotilassa ja poikkeavat nollasta vasta, kun sivuttaispaljastuminen tapahtuu. Alkuarvot, jotka liittyvät sivuttaispaljastumisen alkuun, ovat äärettömän pieniä, samoin vastaavat muodonmuutokset κ ja d__ϑ/dz.
Elementin dz molemmat päätyleikkaukset sijaitsevat kohtisuorassa tasossa, joka on tangon kaksoiskäyräisen akselin suhteen, ja ne kiertyvät näissä kohtisuorissa tasoissa.
Koska meitä – kuten tangon nurjahduksessakin – kiinnostaa ensisijaisesti kriittisen kuorman suuruus, siis sivuttaisnurjahduksen alku, eikä niinkään muodonmuutosten suuruus, voimme jättää suureiden Q, M, MD ja κ tai ϑ’ tulot huomiotta toisen asteen pieninä suureina. Siksi oletamme myös pääkaarevuuden κ1 edelleen äärettömän pieneksi, ja sitä käsitellään kuten κ ja ϑ’.
Huomautus: κ__1:n vaikutus on arvioitava myös teoreettisesti yksinkertaisessa erikoistapauksessa (vakio taivutusmomentti M kuormituksena). Useimmissa rakennustekniikan tarpeissa κ__1 voidaan jättää huomiotta. Voidaan esimerkiksi kuvitella, että palkki on kyseisessä kuormitustapauksessa niin “korotettu”, että kriittiselle kuormitukselle juuri κ__1=0.
Voimakomponenttien tasapainosta suunnissa ξ, η, ζ ja momenttiehdoista samoihin akseleihin nähden saadaan edellä mainittujen laiminlyöntien jälkeen
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Yhtälöistä (1c, d ja b) saadaan
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Eliminoimalla Q1 yhtälöstä (1a) saadaan
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Yhtälöstä (1e) poistetaan näin Q, sitten u ’’ kaavan u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ avulla
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Diferentiaaliyhtälön ϑ saamiseksi otetaan käyttöön seuraavat momenttien ja muodonmuutosten väliset suhteet
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
jossa merkitsee B1=EIx ja B=EIy palkin taivutusjäykkyyttä, C vääntöjäykkyyttä ja C* käpristymisvastusta. Seuraavissa laskuissamme jätämme C*-termit pois yksinkertaistamisen vuoksi. Jos yhtälöitä on tarkoitus soveltaa esimerkiksi I-profiileihin, ne on täydennettävä asianmukaisesti. Termin v’’ huomiotta jättäminen tarkoittaa samaa kuin oletus B1=∞.
Jos M ja MD eliminoidaan yhtälön 4 avulla, saadaan vakion poikkileikkauksen omaavan palkin sivuttaispanuksen differentiaaliyhtälö
Differentiaaliyhtälö (5) on homogeeninen ja neljännen kertaluvun yhtälö muuttujan ϑ suhteen. M1 on tunnettu funktio muuttujasta z kuormituksen mukaan.
Palkki, jolla on vakio taivutusmomentti
Olkoon p=N1=0, lisäksi Mx=ɱ=const. Poikkileikkaus on ilman laippaa (tiivistetty) ja palkki on pitkä poikkileikkauksen mittoihin nähden, joten voimme asettaa C*=0. Tällöin yht. (5) yksinkertaistuu, koska M1=ɱ, joten:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
tai lyhenteellä λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Palkki, jonka molemmissa päissä on haarukkatuki
Kuva. 2
Tuenta kohdassa z=0 ja kohdassa z=l on haarukoiden muodossa (kuva 2), jotka sallivat taipumat u ja v, mutta estävät päätypoikkileikkausten kiertymisen; ϑ=0. Koska suunnassa x ei ole jäykistystä (eli M=0, tai yhtälön (4) mukaan myös u’’=0), seuraa yhtälöstä u’’: MD’_=0 ja siten yhtälöstä (4c) toisena reunaehtona ϑ’’=0.
Yhtälön (6a) yleinen ratkaisu on
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Kontriehtojen perusteella saadaan
Tällä homogeenisella yhtälöryhmällä on:
- Triviaali ratkaisu A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, jota vastaa ϑ=0, u’’=0 tai u=0, jolloin palkki ei nurjahda sivulle.
- Ominaisratkaisut ehdon Δ=0 tai sin λ__l=0. Tämän sivuttaispalmiutumisen ehdon juuret ovat λ__l=n__π (kun n=1,2,3,∙∙∙) ja vastaavat kriittiset momenttikuormat
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Pienin sivunurjahdusmomentti
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
syntyy kohdassa n=1. Vastaava ratkaisu saadaan käyttämällä yht. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Muut sivuttaisen nurjahduksen tapaukset
c) Sivuttaislommahdus taivutusmomentin ja puristusvoiman vaikutuksesta
Esimerkissä, joka on esitetty kuvassa 3, on N1=-D (puristus), p=0, sitten on asetettu C*=0. Tällöin differentiaaliyhtälö (5) yksinkertaistuu ja on
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
missä λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Differentiaaliyhtälön (9) ratkaisu saadaan jälleen yhtälöstä (8), vain nyt λ merkitsee toista arvoa.
Kuv. 3
Esimerkissä kuv. 3 pätevät kuten kohdassa a) reunaehdot ϑ=0 ja ϑ’’=0 kohdissa z=0 ja z=l. Näin ollen myös ehdolliset yhtälöt A1 ovat muodollisesti samat, samoin sivuttaispilaroinnin ehto Δ=sin λl=0. Kriittinen kuormitus täyttää suhteen λl=nπ (n=1,2,3) ja pienin arvo on
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Kun D=0, saadaan siitä sivuttaisnurjahdusmomentti yhtälön (8c) mukaisesti, ja puhtaalla puristuskuormituksella (ɱ=0) Euler-in nurjahdusvoima _DK=B(π/l)_2.
Kuvassa 3 esitetty tapaus on merkittävä eksentriseksi taivutukseksi tasossa y-z. Edellä tarkasteltu vakaustapaus on siis poikkitaivutukseen liittyvä nurjahdus, johon liittyy sivuttaistaivutus u ja vääntö ϑ.
Jos molemmat päät ovat jäykästi kiinnitetyt (ϑ=0 ja ϑ’=0), saadaan reunaehtojen perusteella, käyttäen Δ=0, sivuttaisen nurjahduksen ehto
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
juurilla λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) ja sivuttaispanuksen voimilla
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.