جانبي کږېدنه او د تاوونې پر مهال کږېدنه

د د کږېدو پر مهال بکلېدو لپاره، میله د توازن د بدلېدو پر مهال په یوه اصلي صفحه کې کږېږي.

خو داسې ثباتي حالتونه هم شته چې په کې میله، یعنې تېرۍ، د توازن د بدلون پر مهال نه یوازې تاوېږي بلکې راګرځي هم (شکل 60a). د لېږدوونکو عناصرو په حالت کې دې پدیدې ته جانبي کږېدل ویل کېږي، او د فشار لاندې میلو په حالت کې، چې د کږېدو پر مهال له تاوېدنې سره هم مخ وي، د تاوېدنې په مهال کږېدل بلل کېږي.

د دواړو پدیدو لپاره د تاوېدو پر وړاندې د سختۍ کچه C، یا د کږېدو مقاومت C*، له پرېکړه‌ییز اهمیت څخه برخمنه ده. نو د تاوېدو له مخې د تعادل د بدلون پر وړاندې په لومړي سر کې هغه تدابیر اغېز لرلای شي چې د تاوېدو پر وړاندې سختي زیاتوي (د مقطع مناسب شکل، عرضي چوکاټونه، له غاړې ملاتړ او نور). له بلې خوا، د پرانیستې مقطع لرونکي د پټې په بڼه میلې د تاوېدو پر مهال د کږېدو له پلوه په ځانګړي ډول حساسې دي.

د اړخیزې کږېدنې تفاضلي معادله

انځور 1a

فرض کړو چې یو مستقیم ګردان ثابت انرشیايي مومنټونه ولري چې اندازه یې له یو بل سره خورا نا برابر وي Ix >> Iy. بار په y-z-مستوي کې پروت دی، نو ګردان به په همدې اصلي مستوي کې کږ شي (u=ϑ=0). تجربه او هم تیوري ښيي چې دا تعادلي حالت په پیل کې ثابت وي، خو د لوړو بارونو لپاره ناتاب پاتې کېږي. دا دوهم تعادلي حالت د عرضي کږېدو u او د تاو ϑ سره تړاو لري.

لاندې به د اړخیزې کږېدنې لپاره تفاضلي معادله وړاندې شي. د u او ϑ معادلې همغږي دي. که د سرحدي شرایطو معادلې هم همغږي وي، نو د تیر اړخیزه کږېدنه یوازې د مسئلې د خپل‌ارزښتونو لپاره شونې ده، یعنې u او ϑ د پورته تشریح شوې بې‌خرابه تیر لپاره لومړی صفر پاتې کېږي. د اړخیزې کږېدنې شرط ترلاسه کېږي – د میلې د کږېدنې په څېر – که وټاکل شي چې د ادغام د ثابتونو لپاره د همغړو شرطی معادلو د ضریب ټاکونکی له صفر سره برابر وي. به ووینو چې د اړخیزې کږېدنې په حالت کې هم د الاستیک توازن اصلي څانګې‌واله نقطه شته.

شکل 1b

په شکل 1b کې د dz په اوږدوالي د بیم عنصر ښودل شوی دی. د تنشونو پایلې N1, Q1, M1, او همدارنګه انحنا κ__1 له بارونې سره تړاو لري او وروستۍ اندازې دي. Q, M, MD په لومړني د تعادل حالت کې صفر دي، او یوازې هغه وخت به له صفره توپیر ولري چې عرضي کږېدل رامنځته شي. وروستۍ اندازې چې د عرضي کږېدو پیل ته اړه لري، بې‌نهایت کوچنۍ دي، او همدارنګه اړوند بدلونونه κ او d__ϑ/dz.

د عنصر dz دواړه پایني مقطعونه د ستن د دوه‌ځله کږې محور پر عمودي الوتکه کې پراته دي او په همدې عمودي الوتکو کې به تاو شي.

ځکه چې موږ – لکه د ډنډ د کږېدو په څېر – په لومړي سر کې د انتقادي بار اندازه، یعنې د اړخیز کږېدو پیل، ته پام کوو، او د بدلونونو اندازه لږه مهمه ده، نو موږ کولی شو د Q، M، MD او κ یا ϑ’ ضربونه د دویمې درجې کوچنیو مقدارونو په توګه له پامه وغورځوو. له همدې امله، د لا نورو ساده کولو لپاره به اصلي کږوالی κ1 هم بې‌نهایت کوچنی وګڼو او له κ او ϑ’ سره به ورته چلند وشي.

یادونه: د κ__1 اغېز هم په یوه ساده ځانګړي حالت کې (د ثابت خمېدو مومنټ M د بار په توګه) له نظري پلوه اټکل کېدای شي. د ودانیزو چارو په ډېرو اړتیاوو کې κ__1 له پامه غورځول کېدای شي. د بېلګې په توګه، داسې انګېرلای شو لکه د یاد شوي بار حالت لپاره تیر دومره «لوړ شوی» وي چې د انتقادي بار لپاره هماغه κ__1=0.

له په ξ, η, ζ لورو کې د ځواکونو د برخو له توازن او د همدې محورونو په اړه د مومنټي شرایطو څخه، له یادو ساده‌ګېرونو وروسته لاس ته راځي

Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_   (1a)

Q1’ + p = 0_,_   (1b)

N1’ = 0_,_   (1c)

M1’ – Q1 = 0_,_   (1d)

MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_   (1e)

MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._   (1f)

له معادلې (1c, d i b) څخه ترلاسه کېږي

N1 = const.,

Q1 = M1’,     (2)

p = - Q1’ = - M1’’.

د Q1 په لرې کولو سره له معادلې (1a) څخه ترلاسه کېږي

Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_.   (3a)

له معادل. (1e) څخه به په دې توګه Q لرې شي، بیا u ’’ د u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_ له لارې

(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._   (3b)

د ϑ لپاره د تفاضلي معادلې د ترلاسه کولو لپاره به د ممانونو او بدلېدنو تر منځ لاندې اړیکې وکارول شي

M1 = -B1_∙v’’,_   (4a)

M = +B_∙_u’’,   (4b)

MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_   (4c)

چېرته چې B1=EIx او B=EIy د تیر د کږېدو پر وړاندې کلکوالی ښيي، C د پیچش پر وړاندې کلکوالی، او C* د تاوېدو پر وړاندې مقاومت ښيي. په خپلو راتلونکو محاسبو کې به د ساده‌والي لپاره د C* لرونکي غړي پرېږدو. که دا معادلې مثلاً پر I-پروفیلونو پلي کېدونکې وي، نو اړتیا ده چې د مناسب ډول بشپړې شي. د v’’ غړي نادیده نیول هماغه معنا لري لکه د B1=∞ فرض کول.

که M او MD د معادلې 4 په وسیله لرې شي، نو د ثابت مقطع لرونکي بیم د اړخیز کږېدو تفاضلي معادله ترلاسه کېږي

تفاضلي معادله (5) د ϑ په نسبت همګونې او د څلورمې درجې ده. M1 د بار پر بنسټ د z یوه معلومه دنده ده.

د ثابت خمش مومنټ لرونکې ګېرده

فرض دې وي چې p=N1=0, سربېره پر دې Mx=ɱ=const. مقطع بې له فلانجې (تراکم شوې) ده او ستن په نسبت د مقطع له ابعادو اوږده ده، نو کولای شو وښیو چې C*=0. بیا معادل (5) د M1=ɱ له امله ساده کېږي، نو:

ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0,   (6)

يا د لنډیز λ2_=ɱ__2/BC_ سره

ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0.   (6a)

a) د دواړو سرونو په فورک لرونکي تکيې ولاړه بیم

سل.2

په z=0 او z=l کې تکيه د دوو شاخو په بڼه ده (انځ. 2), چې د u او v کږېدنې ته اجازه ورکوي، خو د پای مقطعو تاوېدنه مخنیوی کوي؛ ϑ=0. ځکه په x لوري کې کلک تړل نشته (یعنې M=0, یا د معادلې (4) له مخې هم u’’=0), له u’’ لپاره د معادلې څخه څرګندېږي: MD’_=0 او له دې سره د معادلې (4c) له مخې د دویم کنټوري شرط په توګه ϑ’’=0.

د معادلې عمومي حل (6a) دی

ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4.   (7)

له کنټوري شرایطو څخه ترلاسه کېږي

دا همغږي معادلاتي سیستم لري:

• ټریویال حل A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, چې ورته ϑ=0, u’’=0 یا u=0 برابرېږي، په داسې حال کې چې بیمه په اړخ نه تاوېږي.
• خپل حلونه د Δ=0 یا sin λ__l=0. د اړخیز کږېدنې د دې شرط ریښې λ__l=n__π دي (له n=1,2,3,∙∙∙_ سره) او اړوند انتقادي مومینتي بارونه

ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l.   (8b)

د جانبي کږېدو تر ټولو کوچنی ممان

min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l   (8c)

په _n=1. کې رامنځته کېږي. مناسب حل د معادلې (1f) په کارولو سره دی:

ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l   (8d)

u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).

b) نور حالتونه د اړخیز کږېدو

c) د خمش د ممان او فشاردار ځواک له امله جانبي کږېدنه

د هغه بېلګې لپاره چې په شکل 3 کې ښودل شوې، N1=-D (فشار)، p=0, بیا C*=0 اېښودل شوی. په دې صورت کې تفاضلي معادله (5) ساده کېږي او داسې لیکل کېږي

ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0,   (9)

چې پکې λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_.   (9a)

د تفریقي معادلې (9) حل بیا د معادلې (8) له مخې ورکړل شوی، خو اوس λ بله ارزښت ښيي.

سل.3

د مثال لپاره، د شكل 3 په څېر د الف) لپاره هم د کنټور شرطونه ϑ=0 او ϑ’’=0 د z=0 او z=l لپاره نافذ دي. له همدې امله د A1 لپاره شرطیزې معادلې هم په رسمي ډول یو شان دي، او د اړخیز کږېدو شرط Δ=sin λl=0 هم همداسې دی. انتقادي بار د λl=nπ اړیکه پوره کوي (n=1,2,3) او تر ټولو کوچنی ارزښت دا دی

ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2.   (10)

د D=0 لپاره له همدې ځایه د اړخیزې تاوېدو مومنټ د معادلې (8c) له مخې ترلاسه کېږي او د خالص فشار لاندې بارونې لپاره (ɱ=0) د Euler- د تاوېدو قوه _DK=B(π/l)_2.

په شکل 3 کې ښودل شوې قضیه باید د y-z په الوتکه کې د خارج‌مرکزي خمېدو په توګه وپېژندل شي. له مخکې څېړل شوې د ثبات قضیه، نو، د خمېدو له الوتکې څخه وتلی کږېدنه ده چې له جانبي خمېدو u او تورشن ϑ سره تړاو لري.

که دواړه سرونه کلک تړل شوي وي (ϑ=0 او ϑ’=0) نو د کانټور له شرطونو څخه، د Δ=0 په مرسته، د اړخیز کږېدو شرط تر لاسه کېږي

λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl),    (11)

د رېښو λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) او د اړخیز کږېدو د ځواکونو سره

ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.