Для выгібу пры згінанні стрыжань пры змене раўнавагі выгнуты ў адной галоўнай плоскасці.
Але ёсць і такія выпадкі ўстойлівасці, пры якіх стрыжань, адпаведна бэлька, пры змене раўнавагі становяцца не толькі сагнутымі, але і скручанымі (сл. 60а). У нясучых элементаў гэта з’ява называецца бакавым выгінаннем, а ў сціснутых стрыжняў, якія пры выгінанні таксама падвяргаюцца кручэнню, гавораць пра выгінанне пры кручэнні.
Для абодвух з’яў вызначальнае значэнне мае велічыня жорсткасці супраць кручэння C, адпаведна супраціў скрыўленню C*. На змяненне раўнавагі, звязанае з кручэннем, таму ў першую чаргу можна ўплываць мерамі, якія павялічваюць жорсткасць супраць скручвання (адпаведная форма перасеку, папярочныя рамы, бакавое падпіранне і г. д.). З другога боку, стрыжні ў выглядзе паласы з адкрытым перасекам асабліва адчувальныя да выгібу пры кручэнні.
Дыферэнцыяльнае ўраўненне для бакавога выгінання
Рыс. 1а
Няхай прамая бэлька мае пастаянныя моманты інерцыі вельмі неаднолькавай велічыні Ix >> Iy. Нагрузка ляжыць у y-z-плоскасці, так што бэлька будзе сагнута ў гэтай галоўнай плоскасці (u=ϑ=0). Вопыт, як і тэорыя, паказваюць, што гэтае раўнаважнае становішча спачатку ўстойлівае, але для большых нагрузак становіцца няўстойлівым. Гэтае другое раўнаважнае становішча звязана з папярочным выгінаннем у і з кручэннем ϑ.
Ніжэй будзе выведзена дыферэнцыяльнае раўнанне для бакавога выгіну. Раўнанні для u і ϑ з’яўляюцца аднароднымі. Калі і кантурныя ўмовы аднародныя, тады бакавы выгін бэлькі магчымы толькі для ўласных значэнняў задачы, г.зн. u і ϑ застаюцца спачатку роўнымі нулю ў вышэй апісанай бэльцы без парушэнняў. Умова бакавога выгіну атрымліваецца — падобна да выгіну стрыжня — калі прыняць, што дэтэрмінант каэфіцыента аднародных умоўных раўнанняў для інтэграцыйных канстант роўны нулю. Мы ўбачым, што і пры бакавым выгіне існуе сапраўдны пункт разгалінавання пругкай раўнавагі.
Рыс. 1b
На мал. 1b паказаны элемент бэлькі даўжынёй dz. Выніковыя напружанні N1, Q1, M1, а таксама крывізна κ__1 залежаць ад нагрузкі і з’яўляюцца канечнымі велічынямі. Q, M, MD роўныя нулю ў першапачатковым раўнаважным становішчы і стануць ненулявымі толькі тады, калі наступіць бакавое выгінанне. Канечныя велічыні, якія адносяцца да пачатку бакавога выгінання, бясконца малыя, як і адпаведныя дэфармацыі κ і d__ϑ/dz.
Абодва канцавыя перасекі элемента dz ляжаць у нармальнай плоскасці да двайна выгнутай восі стрыжня і будуць скручаныя ў гэтых нармальных плоскасцях.
Бо нас — як і пры выгібанні стрыжня — у першую чаргу цікавіць велічыня крытычнай нагрузкі, г. зн. пачатак бакавога выгібаня, а менш — велічыня дэфармацый, то здабыткі велічынь Q, M, MD з κ або ϑ’ мы можам не ўлічваць як малыя велічыні другога парадку. Таму дзеля далейшага спрашчэння і галоўную крывізну κ1 мы прымем як бясконца малую, і яна будзе разглядацца як κ і ϑ’.
Заўвага: Уплыў ад κ__1 таксама мае быць ацэнены тэарэтычна ў простым спецыяльным выпадку (сталы момант згінання M як нагрузка). У большасці выпадкаў будаўнічай тэхнікі можна занядбаць κ__1. Можна, напрыклад, уявіць, быццам бы бэлька для дадзенага выпадку нагрузкі настолькі «пераўзнята», што для крытычнай нагрузкі менавіта κ__1=0.
З раўнавагі кампанентаў сіл у напрамках ξ, η, ζ і момантных умоў адносна тых самых восяў пасля згаданых занядбанняў атрымліваецца
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
З роўн. (1c, d i b) атрымліваецца
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
Пры выключэнні Q1 з раўн. (1a) атрымліваецца
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
З раўн. (1e) тым самым будзе выключана Q, затым u ’’ праз u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Каб атрымаць дыферэнцыяльнае ўраўненне для ϑ, увядуць наступныя суадносіны паміж момантамі і дэфармацыямі
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
дзе абазначае B1=EIx і B=EIy калянасць на выгін бэлькі, C — калянасць на скручванне, а C* — супраціў скрыўленню. У нашых далейшых разліках мы апусцім члены з C* дзеля спрашчэння. Калі формулы трэба прымяніць, напрыклад, да I-профіляў, то неабходна дапоўніць іх адпаведным чынам. Ігнараванне члена v’’ азначае тое ж самае, што і дапушчэнне B1=∞.
Калі выключыць M і MD з дапамогай роўн. 4, атрымліваецца дыферэнцыяльнае ўраўненне для бакавога выгінання бэлькі пастаяннага перасеку
Дыферэнцыяльнае ўраўненне (5) з’яўляецца гамагенным і чацвёртага парадку па ϑ. M1 — вядомая функцыя ад z у залежнасці ад нагрузкі.
Бэлька з пастаянным момантам выгібу
Няхай p=N1=0, акрамя таго Mx=ɱ=const. Перасек без фланца (шчыльны), а бэлька доўгая адносна памераў папярочнага перасеку, таму можна прыняць, што C*=0. Тады спрошчваецца раўн. (5), з прычыны M1=ɱ, і таму:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
або са скарочанай формай λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Бэлька з відэльчатай апорай на абодвух канцах
Мал. 2
Апора пры z=0 і z=l мае выгляд вілкі (рыс. 2), якая дазваляе прагібы u і v, але перашкаджае павароту канцавых сячэнняў; ϑ=0. Паколькі ў напрамку x няма защамлення (г.зн. M=0, або паводле ўраўн. (4) таксама u’’=0), з ураўн. для u’’: MD’=0 вынікае і тым самым з ураўн. (4c) як другая гранічная ўмова ϑ’’=0.
Агульнае рашэнне ўраўн. (6a) ёсць
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
З кантурных умоў атрымліваецца
Гэтая аднародная сістэма раўнанняў мае:
- Трывіяльнае рашэнне A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, чаму адпавядае ϑ=0, u’’=0 або u=0, пры гэтым бэлька не выгінаецца ўбок.
- Уласныя рашэнні паводле Δ=0 або sin λ__l=0. Карані гэтай умовы бакавога выгіну — λ__l=n__π (пры n=1,2,3,∙∙∙) і адпаведныя крытычныя момантныя нагрузкі
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Найменшы момант бакавога выгіну
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
атрымліваецца пры n=1. Адпаведнае рашэнне атрымліваецца з дапамогай роўн. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Іншыя выпадкі бакавога выгібу
c) Бакавы выгіб у выніку моманту выгібу і сціскальнай сілы
Для прыкладу, паказанага на рыс. 3, ёсць N1=-D (ціск), p=0, затым было пастаўлена C*=0. Тады дыферэнцыяльнае ўраўн. (5) спрашчаецца і мае выгляд
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
дзе λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення (9) дадзена зноў ураўн. (8), толькі цяпер λ абазначае другое значэнне.
Мал. 3
Для прыкладу на мал. 3 дзейнічаюць, як і для а), кантурныя ўмовы ϑ=0 і ϑ’’=0 для z=0 і z=l. Таму ўмоўныя раўнанні для A1 фармальна таксама аднолькавыя, а таксама і ўмова бакавога выгібу Δ=sin λl=0. Крытычная нагрузка задавальняе суадносінам λl=nπ (n=1,2,3) і найменшае значэнне —
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Для D=0 адтуль атрымліваецца момант бакавога выгінання паводле раўн. (8c) і для чыста сціскальнага нагрузжвання (ɱ=0) Эйлера-ва сіла выгінання _DK=B(π/l)_2.
На рыс. 3 прадстаўлены выпадак трэба абазначыць як эксцэнтрычнае згінанне ў плоскасці y-z. Разгледжаны вышэй выпадак устойлівасці, такім чынам, — гэта скрыўленне з плоскасці згінання, звязанае з бакавым згінаннем u і кручэннем ϑ.
Калі абодва канцы заціснутыя (ϑ=0 і ϑ’=0) дык з контурных умоў, пры дапамозе Δ=0, атрымліваецца ўмова бакавога выгіну
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
з каранямі λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) і сіламі бакавога выгінання
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.