Pro instabilitate per flexionem virga, in statu aequilibrii mutato, in uno plano principali curvatur.
Sed sunt etiam tales casus stabilitatis, in quibus virga, sive trabs, mutatione aequilibrii non solum flectitur sed etiam torquetur (fig. 60a). Apud portatores hoc phaenomenon inflexio lateralis vocatur; apud virgas compressas, quae etiam torsioni in inflexione subiciuntur, de inflexione cum torsione loquimur.
Pro utroque phaenomeno magnitudo rigiditatis contra torsionem C, sive resistentia flexioni C*, est momenti decisivi. In mutationem aequilibrii cum torsione coniunctam igitur imprimis per mensuras quae rigiditatem contra contorsionem augent agi potest (forma sectionis apta, compages transversae, sustentatio lateralis etc.). Ex altera parte, virgae in forma fasceae cum sectione aperta praesertim sunt sensibiles ad pandi in torsione.
Aequatio differentialis ad instabilitatem lateralem
Fig. 1a
Sit recta trabs momenta inertia constanter habens, magnitudine valde inaequali Ix >> Iy. Onus iacet in plano y-z-, ita ut trabs in hoc plano principali flectatur (u=ϑ=0). Experientia atque etiam theoria ostendunt hunc statum aequilibrii primo stabilem esse, sed ad onera maiora factum esse labilem. Hic secundus status aequilibrii cum flexione transversa u et cum torsione ϑ coniungitur.
Infra deducetur aequatio differentialis pro flexione laterali. Aequationes pro u et ϑ sunt homogeneae. Si etiam condiciones terminales homogeneae sunt, tum flexio lateralis trabis fieri potest tantum pro valoribus propriis problematis, id est u et ϑ primum nihil remanent apud supra descriptae trabis sine perturbatione. Conditio flexionis lateralis obtinetur – simili modo ac in flexione virgae – si ponatur determinantem coefficientium aequationum condicionum homogenearum pro constantibus integrationis aequalem esse nihilo. Videbimus etiam in flexione laterali verum punctum bifurcationis aequilibrii elastici exsistere.
Fig. 1b
In fig. 1b elementum trabis longitudinis dz repraesentatur. Resultantes tensionum N1, Q1, M1, necnon curvatura κ__1 ab onere dependent et quantitates finitae sunt. Q, M, MD in initiali statu aequilibrio sunt nulla, et a zero tantum discrepabunt, cum flexio lateralis eveniat. Quantitates finales, quae ad initium flexionis lateralis referuntur, infinite parvae sunt, sicut etiam deformatio correspondens κ et d__ϑ/dz.
Ambae sectiones extremales elementi dz iacent in plano normali ad axem virgae dupliciter curvatum et in his planis normalibus contortae erunt.
Quoniam nos – ut etiam apud flexionem virgulae – imprimis magnitudo oneris critici, ergo initium flexionis lateralis, et minus magnitudo deformationum interest, producta magnitudinum Q, M, MD cum κ vel ϑ’ negligere possumus tamquam magnitudines secundi ordinis parvas. Ideo ad ulteriorem simplicitatem etiam curvaturam principalem κ1 tamquam infinite parvam assumemus et tractabitur ut κ et ϑ’.
Nota: Effectus κ__1 etiam theoretice aestimari debet in simplici casu speciali (momentum flexionis constans M ut onus). In plurimis necessitatibus artis aedificatoriae κ__1 negligere licet. Possumus, exempli gratia, fingere quasi trabs pro casu oneris huiusmodi ita esset „superata“ ut pro onere critico ipsum κ__1=0.
Ex aequilibrio componentium virium in directionibus ξ, η, ζ atque ex condicionibus momentorum circa easdem ipsas axes, post memorata neglecta obtinetur
Q’ + N1u’’ – Q1__ϑ’ + pϑ = 0_,_ (1a)
Q1’ + p = 0_,_ (1b)
N1’ = 0_,_ (1c)
M1’ – Q1 = 0_,_ (1d)
MD’ + Q + M1__ϑ’ = 0_,_ (1e)
MD’ – M1u’’ + pe ϑ = 0_._ (1f)
Ex aequationibus (1c, d et b) obtinetur
N1 = const.,
Q1 = M1’, (2)
p = - Q1’ = - M1’’.
By eliminating Q1 from eq. (1a) one obtains
Q’ = (M1’ ϑ_)’ – N1u’’_. (3a)
Ex aequatione (1e) ita Q eliminabitur, deinde u ’’ per u’’ = (MD’ + pe ϑ_)/M1_
(M+M1 ϑ_)’’ – N1/M1_ ∙ (MD’ + pe ϑ_) =_ 0_._ (3b)
Ut aequatio differentialem pro ϑ obtineatur, relationes sequentes inter momenta et deformationes introducentur
M1 = -B1_∙v’’,_ (4a)
M = +B_∙_u’’, (4b)
MD = +C_∙ϑ’ – EC*∙ ϑ’’’,_ (4c)
ubi notat B1=EIx et B=EIy rigiditates contra flexionem trabis, C rigiditatem contra torsionem, et C* resistentiam ad flexionem lateralem. In ulterius calculis nostris membra cum C* propter simplicitatem omittentur. Si aequationes, exempli gratia, ad perfiles I applicandae sunt, eas debet esse congruenter compleri. Neglectio membri v’’ idem valet ac suppositio B1=∞.
Si M et MD per sent. 4 eliminantur, obtinetur aequatio differentialis ad flexionem lateralem trabis sectionis constantis
Aequatio differentialis (5) est homogenea et quarti ordinis secundum ϑ. M1 est functio nota de z pro oneris ratione.
Beam with constant bending moment
Sit p=N1=0, praeterea Mx=ɱ=const. Sectio sine flange est (compacta) et trabs longa respectu dimensionum sectionis transversae, ita ut poni possit C*=0. Tunc aequatio (5) simplicior fit, ob M1=ɱ, igitur:
ϑ’’’’ + ɱ2/BC∙ ϑ’’ = 0, (6)
aut cum abbreviatione λ2_=ɱ__2/BC_
ϑ’’’’ + λ2 ϑ = 0. (6a)
a) Trabes cum fulcro furciformi in utroque extremo
SI.2
Sustinere apud z=0 et z=l fit per furcas (fig. 2), quae deflexiones u et v permittunt, sed rotationem sectionum extremarum impediunt; ϑ=0. Quoniam in directione x nulla infixio est (i.e. M=0, vel secundum aequ. (4) etiam u’’=0), ex aequ. pro u’’: MD’_=0 provenit, atque ita ex aequ. (4c) ut secunda conditio terminorum ϑ’’=0.
Solutio generalis aequationis (6a) est
ϑ(z) = A1∙sinλz + A2∙cosλz + A3∙λz + A4. (7)
Ex condicionibus contouralibus obtinetur
This homogeneous system of equations has:
- Solutio trivialis A1 = A2 = ∙∙∙ = 0, cui respondet ϑ=0, u’’=0 vel u=0, quo in casu trabs lateraliter non inflectitur.
- Solutiones propriae secundum Δ=0 vel sin λ__l=0. Radices huius condicionis flexionis lateralis sunt λ__l=n__π (cum n=1,2,3,∙∙∙) et onera momentanea critica respondentia
ɱ__K = _√_BC ∙ _n__π/_l. (8b)
Minimum momentum flexionis lateralis
min__ɱ__K = _√_BC ∙ π/l (8c)
oritur ad n=1. Solutio congruens obtinetur per applicationem aequ. (1f):
ϑ(z) = A1 ∙ sin πz/l (8d)
u(z) = C/ɱK ∙ ϑ(z).
b) Ceteri casus flexionis lateralis
c) Flexio lateralis ex momento flexionis et vi pressiva
In exemplo in fig. 3 monstrato est N1=-D (pressio), p=0, deinde positum est C*=0. Tum aequatio differentialis (5) simplificatur et sic sonat
ϑ’’’’ + λ2 ϑ’’ = 0, (9)
ubi est λ__2 = ɱ__2_/BC + D/B_. (9a)
Solutio aequationis differentialis (9) iterum data est per aequ. (8), sed nunc λ aliam valorem significat.
SI.3
For the example in fig. 3 the contour conditions are the same as for a) ϑ=0 and ϑ’’=0 for z=0 and z=l. Accordingly, the condition equations for A1 are formally identical, and the lateral buckling condition Δ=sin λl=0 is also the same. The critical load satisfies the relation λl=nπ (n=1,2,3) and the smallest value is
ɱK2/BC + DK/B = (π/l)2. (10)
Pro D=0 inde obtinetur momentum inflexionis lateralis secundum aequ. (8c), et pro onere pure comprimente (ɱ=0) vis inflexionis Euleriana _DK=B(π/l)_2.
In fig. 3 casus exhibitus designandus est ut flectio excentrica in plano y-z. Casus stabilitatis antea consideratus est igitur flexio extra planum flexionis coniuncta cum flexione laterali u et torsione ϑ.
Si utraque extrema fixa sunt (ϑ=0 et ϑ’=0) tunc ex condicionibus contorni, ope Δ=0, obtinetur condicio flexionis lateralis
λ__l ∙ sin λ__l = 2(1-cos λl), (11)
cum radicibus λ__l=m__π (m=2,4,∙∙∙) et viribus flexionis lateralis
ɱ__K__2/BC + DK/B = (2_π_/l)2.