トンネルに作用する土圧

トンネルに作用する圧力は（図 1）から成る：

図 1. トンネルに作用する土圧

a) 頂部に作用する鉛直圧力 P、いわゆる 頂部圧力、

b) 水平圧力 S、いわゆる 側圧、

c) 底面 A に作用する反力、いわゆる 底圧。

トンネルに作用する土圧の大きさは、非常に広い範囲に及ぶ。初期、すなわちトンネル掘削中は、山圧は比較的小さく、0 から 0,50 kp/cm2 の範囲であるが、掘削後には増大し、地盤の種類とその物理的性質、トンネル上部の覆土厚、ならびに上部層の圧力の結果として地盤に生じる変位の大きさに応じて、0,8 から 12,0 kp/cm2 の範囲となる。さまざまな要因に依存するため、トンネルに対する山圧の算定はかなり困難であり、理論的には土圧の正確な値を求めることはできず、近似値しか得られない。トンネル断面に対する土圧の作用には、地盤内部の抵抗が対抗する。トンネルを掘削する地盤が硬く緻密な岩盤からなる場合、トンネル断面に対する圧力はごくわずかである。なぜなら、トンネル上部の層の重量は硬岩のせん断応力によって受け持たれるからである。このような場合、トンネル掘削中に覆工や支保工を設ける必要はなく、したがってトンネル断面に対する土圧の算定も不要となる。

非密実で崩れやすい岩盤では、上部層の自重による圧力がトンネル断面においてこの種の岩の強度を超えることがあり、その結果、地盤破壊とトンネル断面の大きな変形が生じる。このような場合には、掘削中は支保工を行い、その後、山圧に抵抗してそれを基礎を介して下層へ伝えるトンネル覆工を施工しなければならない。

粘性土では内部抵抗は凝集力と摩擦から成るが、非粘性土では凝集力を伴わない摩擦のみから成る。しかし、湿気の影響による凝集力の変動や、異なる構成をもつ土の層状性を考慮すると、凝集力は内部抵抗としては見なされず、粘性土の場合でも内部摩擦のみを考える。したがって、後者の両場合にはトンネル覆工が必要であり、これはトンネルに作用する土圧を求めなければならないことを意味する。

トンネルに作用する土圧の大きさを求めるために、次の仮定がある:

1. 地圧は深さに比例して増加するという仮定

2. 崩壊性土の平衡法則に基づく仮定

3. 土中における荷重軽減アーチの形成に関する仮定

4. 弾性の法則に基づく仮定。

圧力が深さに比例して増加すると仮定すること

この仮定によれば、トンネルのアーチ頂部（図 2）には、地表までのトンネル上部全高にわたる土の自重、および掘削されたトンネルの幅 b によるアーチ頂圧 P が作用する。したがって、アーチ頂圧は

P = γ bt [Mp/m]

ここで γ はトンネル上部の地盤層の単位体積重量 [Mp/m3]、t はトンネル上部の地盤層の高さ [m] である。

この仮定は、たとえばトンネル上部の地盤が、ほとんど内部抵抗を持たない泥から成る場合、または地下水中の粘性土および非粘性土から成る場合のような特別なケースにのみ採用される。この場合、地盤の抵抗が地盤自重の作用より小さい。

このような場合は実務上まれであり、特殊な場合として扱われる。その他すべての場合、地盤の内部抵抗を考慮できるときには、この仮定によるトンネル土圧の算定は正当化されない。なぜなら、これは実際よりはるかに大きな圧力を与えるからである。

図 2。深さに比例して圧力が増加すると仮定したトンネルに対する土圧の算定

崩壊体のつり合い法則に基づく仮定

図 3。崩壊性土の釣合い法則に基づく仮定によるトンネルに作用する土圧の決定

この仮定では、乾燥した崩れやすい地盤を考え、垂直面 AA’ および BB’ における摩擦力の作用により、トンネル天井に作用する圧力はくさび ABA’B’ の重量より小さいとみなす（図3）。

この仮定に基づいて、トンネルアーチに作用する圧力を計算するためのいくつかの式があり、たとえばフォルヒハイマー、ビアーバウマー、エンゲッサーの式がある。

トンネルアーチ上の地盤の総重量は W= γ bt であるが、プリズム ABA’B’ は自由に下方へ滑ることはできない。なぜなら、この滑りに対して AA’ および BB’ の面における材料の摩擦が抵抗するからである。もし o がトンネルアーチ上の地盤の内部摩擦角であれば、摩擦係数は tgo であり、摩擦面に作用する法線圧力は実際には側方力 E、すなわち AA’ および BB’ の面における能動土圧である。したがって、これら各面には摩擦力が作用する

Q = Ea tg_ϕ._

トンネルのアーチにかかる圧力 P、すなわち頂部圧は

能動土圧はランキンにより計算される

Ea = ½ γt2 tg2(45o – ϕ/2)

この仮定によるトンネルの土圧の算定はまれであり、土被りが小さく、荷重分散アーチを形成できない場合など、限られた場合にのみ行われる。

荷重軽減アーチの形成に関する仮定

この方法によれば、泥を除くすべての粘性土および非粘性土において、トンネルの上方に荷重軽減アーチが形成され、そのアーチの下の材料だけがトンネル断面に作用し、アーチ自体はアーチ作用によって平衡を保つ。これは、ゆるい砂質土での試験によって証明されている。この仮定に基づいてトンネルに作用する土圧を求める方法にはいくつかあり、その中で最もよく知られているのがコメレル法とプロトジアコノフ法である。コメレル法では荷重軽減アーチは半楕円形とし、プロトジアコノフ法では放物線形とする。

Kommerell の半楕円圧力法

この方法では、緩みアーチの高さ h は、トンネル幅およびトンネルを掘削する土の内部摩擦角に依存すると仮定する（図 4）。緩みアーチの高さ h は、次の式に基づいて求めることができる。

h = 100_a_/p

ここで a はトンネル掘削開始からトンネル覆工のれんが積みが完了するまでの支保の沈下量、p は土の永久的なゆるみである。

図 4. 半楕円圧力法によるトンネルへの土圧の決定

好条件では a = 10 – 15cm、不利条件では a = 15 – 40cm、非常に不利な条件では a = 40 – 70cm を採用する。

地盤の恒久的なゆるみ p は、トンネル掘削地盤を掘削後に再締固めした際の % で求める。p の値は表 1 に示す範囲にある。

しかし、この上記の式は実務でかなり頻繁に用いられてきたにもかかわらず、現実には合わないと考えられている。沈下 a には絶対値はなく、同じ材料でも支保工の種類によって異なる。支保工が鋼製なら沈下は小さく、木製なら沈下は大きい。鉄道や道路のトンネルの一般的な断面については、トンネル上部の土被り厚さ t > 20 m の場合、荷重軽減アーチの高さ h=20 m とする。

側圧. Kommerell によれば、側圧は土楔 ABC（図 4）の自重の作用によって生じる。これは側方ではすべり面 AC とトンネルの鉛直平面 AB によって囲まれ、上方では土楔 CBG の自重を受ける。このとき、活動土楔は上方から、トンネルアーチ頂点の平面における水平面 CB によって境界づけられると仮定する

表 1。土の概略値 p（%）

平面 AB が鉛直で、平面 CB が水平であるため、ランキンの土圧条件が成立するとみなし、主働土圧 E の方向は水平であるとする。ランキンによれば、すべり面 AC の水平に対する傾き角は α=45o+ϕ/2 であり、主働土圧 Ea は

Ea = ½ _γh_2tg2(45o-ϕ/2),

ここで、γ は土の単位体積重量で Mp/m3、h は擁壁の高さで m、ϕ は土の内部摩擦角である。

活動中の土柱 ABC に上方から土柱 CBG の重さが作用するので、この場合、トンネルの高さ h’ については

Ea = ½ γ h’ 2tg2(45o-ϕ/2),

ここで γ1 = γ + 2p/h’

ここで p = Q/CB = Q/h’tg(45o- ϕ/2)

重量 Q は、圧縮楕円 CEF の1/4の重量 W と重量 W1 の差として得られる。Q = W – W1.

重量 W は、楕円の四分円の面積 A と土の単位体積重量 γ から求められ、W = Aγ である。面積 A は楕円の面積式に基づいて求められる: A = h·e·π/4

p の値を Ea の式に代入すると、次のようになる:

Ea = ½ γ h’2 tg2 (45o-ϕ/2) + Q tg(45o-ϕ/2).

頂部圧力。荷重緩和アーチは垂直軸に対して対称であるため、トンネル断面の半分について頂部圧力を算出できる。トンネル長 W1 に対する土質プリズム BEFG の重量は、1,00 m：

W1 = (z+h)/2 · b/2 · 1,00 · γ

この式では、z 以外はすべて既知であり、z は楕円の方程式（図 5）に基づいて求める： b2x2 + a2y2 = b2a2. この場合、b=e； a=h； x=z；

図 5。半楕円荷重法によるトンネルの頂部圧力の算定

図 6。支点下の底面圧 p

基部圧. 基部圧 A は棟圧 P に等しいと仮定するので、その大きさはこれで定まる。

トンネル断面が底部アーチ付きである場合、トンネル底部の圧力 p は次式で表される: p = P/(b·1,00m) [Mp/m2]。

しかし、もしそれが剛で十分に大きい支持力を有するなら、棟木の圧力 P は幅 d の受材によって地盤へ伝達される（図 6）。したがって、受材下の接地圧は次式となる： p = P/(2d·1,00m) [Mp/m2].

この場合、地盤の探査と、地盤の支持力および沈下量の決定を行うことが不可欠である。というのも、地盤の支持力が底盤圧より小さく、その結果としてトンネル覆工の変形やトンネル全体の沈下が生じた例があったからである。

弾性法則に基づく仮定

近年、新しい仮定として、地盤を弾性法則を適用できる均質な弾性等方体としてみなす考え方が現れた。この仮定によれば、地盤の弾性特性は、その弾性係数 E と、地盤の物理的性質に依存するポアソン比 µ によって表される。しかし実際には、地盤は等方体ではなく異方性の質量体であり、E 係数と µ の値は深さとともに変化する。それでも、この相違があるにもかかわらず、地圧の決定に弾性理論を適用することは、学術的に大きな意義を持ち、今後の研究に展望を与える。

地圧作用下におけるトンネル覆工の安定性の検討

トンネル覆工の安定性を検討するには、覆工の断面を選定する。その際、同様の条件下で以前に施工され、良好な状態を保っているトンネルの例を参考にすると有用である。あるいは、何らかの経験的手法によってトンネル覆工断面を定める（図 7a）。選定したトンネル覆工断面は、できるだけ同じ幅 Δs のラメラに分割する。各ラメラについて、鉛直圧と側方圧、ならびにラメラ自体の重量を求める。

トンネル長 1,00 m に対する縦圧力 PG（図 7a）は、次の式に基づいて求められる：

PG = (y1+y2)/2 · Δ_x_·1,00·γ

図 7。Kommerll の方法によるトンネルへの土圧の算定

側圧は、トンネル断面高さ h’ に作用する土圧 Eh と、荷重 Q の作用による圧力 Ea から成る

Eh’ = ½ γ h’2 tg2 (45o-ϕ/2); Ea = Q tg(45o-ϕ/2).

各被覆ラメラに作用する横圧 Eh を求めるには、次の式に基づいて横圧図（7a）を描く:

力 PG と Eh は、それぞれのラメラの軸方向に作用する。

さらに、覆工の各リムの重量 PZ を求め、その重心に作用するものとして、当該リムに作用するすべての力の合力 R を求める（図 7b）。このようにして、すべてのリム（図 8a）について合力 R1, R2, R3 を求め、これらを力の平面（図 8b）に組み立てて、合力 Rn を得る。ついで、任意の極 O から力線を引き、第1支持線 ac を作図する。アーチの水平土圧 H、トンネルに作用する土圧の合力 R_n、および脚部圧 A が1点で交わればアーチは平衡であるという条件から、交点 S が得られる。この点を支承部におけるアーチ接続部の中央点と結ぶと、新しい脚部圧 A1 の方向が得られる。力 Rn, A1 および H を新しい力の平面（図 8c）に組み立てると、H の大きさと新しい極 O1 が得られ、そこから新たな力線と第2支持線 ac’ を引く。

図 8 トンネルに作用する土圧の力図と支持線

得られた新しい支持線に従ってトンネル覆工の断面形状を調整し、必要に応じて支持線を第3回まで作成する。目標は、軸が支持線と一致するようなトンネル覆工の形状を採用することである。この場合、覆工内には圧縮応力のみが作用する。トンネル覆工のいずれかの断面 n – n に生じる圧縮応力（図 8）は、次の式から求められる

ここで N はライニング断面 n – n における合力 Rn の法線成分であり、その断面の力の図から求められる。d は断面 n – n; におけるトンネル覆工の厚さ、e は同断面における作用力 N の偏心量である。

圧縮応力 σ は、被覆の許容応力より小さくなければならない。鉄筋コンクリート製のトンネルアーチについては、この方法は十分に正確ではないと考えられており、Spangerberg 法が推奨される。