Trykket på tunneler består af (fig. 1):
Fig. 1. Trykkræfter, der virker på tunnelen
a) det lodrette tryk P på toppen, kaldet topyk,
b) det horisontale tryk S, kaldet sideværts tryk,
c) reaktionerne på bundfladen A, kaldet bundtryk.
Størrelsen af jordtrykket på en tunnel varierer inden for meget brede grænser. I begyndelsen, under udgravningen af tunnelen, er bjergtrykket relativt lille og ligger fra 0 til 0,50 kp/cm2, men efter udgravningen stiger det og ligger fra 0,8 til 12,0 kp/cm2, afhængigt af jordarten og dens fysiske egenskaber, højden af lagene over tunnelen samt størrelsen af bevægelserne i jorden, som opstår som følge af trykket fra de øvre lag. På grund af afhængigheden af forskellige faktorer er bestemmelsen af bjergtrykket på tunnelen betydeligt vanskeliggjort, så den præcise værdi af jordtrykket ikke kan fastlægges teoretisk, men kun omtrentligt. Jordens indre modstand modvirker virkningen af jordtrykket på tunnelprofilet. Hvis jorden, som tunnelen udføres i, består af fast og kompakt klippe, er trykket på tunnelprofilet ubetydeligt, fordi vægten af lagene over tunnelen optages af forskydningsspændingen i den faste klippe. I sådanne tilfælde er det ikke nødvendigt at udføre tunnelbeklædning eller understøtning under udgravningen, og dermed bortfalder også bestemmelsen af jordtrykket på tunnelprofilet.
Ved ukoherente og smuldrende bjergarter kan trykket fra de øverste lags vægt på tunnelprofilet overstige disse bjergarters styrke, hvorved der opstår brud i jorden og kraftige deformationer i tunnelprofilet. I sådanne tilfælde bør der udføres afstivning under gennembruddet af tunnelen og derefter en tunnelbeklædning, som kan modstå bjergtrykket og overføre det gennem fundamentet til de underliggende lag.
I sammenhængende jord består den indre modstand af kohæsion og friktion, mens den i ikke-sammenhængende jord kun består af friktion uden kohæsion. I betragtning af kohæsionens variable værdi under påvirkning af fugt samt jordens lagdeling med forskellig sammensætning tages kohæsion ikke i betragtning som indre modstand, og også i sammenhængende jord regnes der derfor kun med den indre friktion. Derfor er der i begge disse sidste tilfælde behov for en tunnelbeklædning, hvilket vil sige, at jordtrykket på tunnelen skal bestemmes.
Følgende antagelser anvendes til at bestemme størrelsen af jordtrykket på tunnelen:
-
Antagelsen om, at jordtrykket vokser proportionalt med dybden
-
Antagelse baseret på ligevægtslovene for løse legemer
-
Antagelse om dannelse af aflastningshvælv i jorden
-
Antagelse baseret på elasticitetslovene.
Antagelsen om, at trykket stiger proportionalt med dybden
Ifølge denne antagelse virker hvælvtrykket P på tunnellens hvælv (fig. 2) som følge af jordens vægt over hele højden over tunnelen op til terrænets overflade, og over bredden af den udgravede tunnel b. Derfor er hvælvtrykket
P = γ bt [Mp/m]
hvor γ er volumenvægten af jordlagene over tunnelen [Mp/m3], t er højden af jordlagene over tunnelen [m].
Denne antagelse anvendes kun i særlige tilfælde, som for eksempel når jorden over tunnelen består af slam, som næsten ikke har nogen indre modstand, eller af kohærent og inkohærent jord i grundvand, når jordens modstand er mindre end jordens tyngdevirkning.
Sådanne tilfælde er i praksis sjældne og behandles som specialtilfælde. I alle andre tilfælde, hvor man kan regne med jordens indre modstand, er bestemmelsen af jordtrykket på tunneler efter denne antagelse ikke berettiget, fordi den giver et langt større tryk end det virkelige.
Fig. 2. Bestemmelse af jordtrykket på en tunnel under antagelse af, at trykket stiger proportionalt med dybden
Antagelse baseret på ligevægtslovene for smuldrende legemer
Fig. 3. Bestemmelse af jordtrykket på tunnelen efter en antagelse baseret på ligevægtslovene for løse legemer
Efter denne antagelse betragtes tør, smuldrende jord, og det antages, at trykket på tunnelhvælvet er mindre end vægten af prismet ABA’B’ på grund af friktionskraftens virkning i de vertikale flader AA’ og BB’ (fig. 3).
På denne antagelse er flere formler til beregning af trykket på tunneltvælvet baseret, såsom Forcheimer-, Bierbaumer- og Engesser-formlerne.
Den samlede vægt af jorden over tunnelhvælvingen er W= γ bt, men prismet ABA’B’ vil ikke kunne glide frit nedad, idet denne glidning modvirkes af friktionen i materialet på fladerne AA’ og BB’. Hvis o er vinklen for den indre friktion i jorden over tunnelhvælvingen, er friktionskoefficienten tg o, og det normale tryk på friktionsfladen er i virkeligheden sidekraften E, det aktive jordtryk på fladerne AA’ og BB’. Derfor virker der en friktionskraft på hver af disse flader
Q = Ea tg_ϕ._
Trykket P på tunnelhvælvingen, hvælvetrykket, er
Det aktive jordtryk beregnes efter Rankine
Ea = ½ γt2 tg2(45o – ϕ/2)
Bestemmelsen af jordtrykket på tunnelen efter denne antagelse anvendes sjældent og kun i visse tilfælde, for eksempel når højden af jordlagene over tunnelen er lille, så der ikke kan dannes et aflastningshvelv.
Antagelsen om dannelse af aflastningshvælv
Ifølge denne metode dannes der i hvert kohærent og ikke-kohærent jordlag, bortset fra i mudder, en aflastningsbue over tunnelen, så det kun er materialet under denne bue, der virker på tunnelprofilen, mens selve buen holdes i ligevægt ved den buede virkning, hvilket er påvist ved forsøg i løs sandjord. Til bestemmelse af jordtrykket på tunnelen efter denne antagelse findes der flere metoder, hvoraf de mest kendte er Kommerells og Protodyakonovs metode. Ifølge Kommerells metode antages aflastningsbuen at have form som en halvellipse, og ifølge Protodyakonovs metode som en parabel.
Kommerells metode med trykkets halvelipse
Efter denne metode antages det, at højden af aflastningshvælvet h afhænger af tunnelens bredde bi af vinklen for jordens indre friktion, i hvilket tunnelen drives (fig. 4). Højden af aflastningshvælvet h kan bestemmes ud fra formlen:
h = 100_a_/p
hvor a er sætningen af underbygningen fra begyndelsen af tunneludbruddet til den færdige muring af tunnelbeklædningen, p er jordens permanente løshed.
Fig. 4. Bestemmelse af jordtryk på en tunnel efter metoden med trykkets halvelipse
Ved gunstige forhold anvendes a = 10 – 15cm, ved ugunstige a = 15 – 40cm, ved meget ugunstige a = 40 – 70cm.
Den permanente løshetsgrad for jorden p bestemmes på den opgravede tunneljorden i % efter opgravning og genkomprimering. Værdierne for p ligger inden for de grænser, der er angivet i tabel 1.
Men selv om ovenstående formel er ret ofte anvendt i praksis, anses den ikke for at svare til virkeligheden. Sætningen er ikke en absolut størrelse, men er forskellig inden for det samme materiale afhængigt af understøtningens type. Hvis understøtningen er af stål, er sætningen mindre, hvis den er af træ, er sætningen større. For normale tunnelprofiler på jernbaner og veje antages det for laghøjder af jord over tunnelen t > 20 m, at højden af aflastningshvælvet h=20 m.
Sidepres. Ifølge Kommerell opstår sidetrykket som følge af vægten af jordprismet ABC (fig. 4), som er begrænset på siderne af glidefladen AC og tunnellens vertikale plan AB, mens det ovenfra er belastet af vægten af jordprismet CBG. Der antages samtidig, at det aktive jordprisme er begrænset ovenfra af den horisontale flade CB i niveau med tunnelhvælvingens top
Tabel 1. Omtrentlige værdier for jorden p i %
Da planen AB er lodret, og planen CB er vandret, antages det, at der foreligger et Rankine-tilfælde for jordtryk, og at retningen af det aktive jordtryk E er vandret. Ifølge Rankine er hældningen af glidefladen AC i forhold til horisontalen under vinklen α=45o+ϕ/2, det aktive jordtryk Ea er
Ea = ½ _γh_2tg2(45o-ϕ/2),
hvor γ er jordens rumvægt i Mp/m3, h støttemurens højde i m, ϕ jordens indre friktionsvinkel.
Da den aktive jordprisme ABC belastes ovenfra af prismens vægt CBG, vil der i dette tilfælde for tunnelhøjden h’
Ea = ½ γ h’ 2tg2(45o-ϕ/2),
hvor γ1 = γ + 2p/h’
hvor p = Q/CB = Q/h’tg(45o- ϕ/2)
Vægten Q fås som forskellen mellem vægten W af en fjerdedel af trykellipsen CEF og vægten W1:Q = W – W1.
Vægten W fås ud fra arealet A af en kvart ellipse og jordens rumvægt γ, W = Aγ. Arealet A bestemmes på grundlag af ellipsens arealligning: A = h·e·π/4
Når vi indsætter værdien for p i ligningen for Ea, får vi:
Ea = ½ γ h’2 tg2 (45o-ϕ/2) + Q tg(45o-ϕ/2).
Topytryk. Da aflastningshvælvet er symmetrisk i forhold til den lodrette akse, kan toptrykket beregnes for den ene halvdel af tunnelprofilen. Vægten af W1 den jordprisme BEFG for en tunnellængde 1,00 m er:
W1 = (z+h)/2 · b/2 · 1,00 · γ
I denne ligning er alt kendt undtagen z, som vi bestemmer på grundlag af ellipsens ligning (fig. 5): b2x2 + a2y2 = b2a2. I vores tilfælde er b=e; a=h; x=z;
Fig. 5. Bestemmelse af kamtryk på en tunnel efter metoden med den belastede halvelipse
Fig. 6. Såltryk p under støtten
Fodtryk. Da det antages, at fodtrykket A er lig med kiptrykket P, er dets størrelse dermed bestemt.
Hvis tunnelprofilen har bundhvælv, er trykket på tunnelbunden p således: p = P/(b·1,00m) [Mp/m2].
Men hvis den er stiv og har tilstrækkelig stor bæreevne, overføres rygtrykket P af understøtninger med bredden d til jorden (fig. 6), og under understøtningerne er bundtrykket: p = P/(2d·1,00m) [Mp/m2].
Det bemærkes, at det i dette tilfælde er nødvendigt at udføre terrænsondering og fastlæggelse af jordens bæreevne og sætninger, fordi det er sket, at jordens bæreevne var mindre end grundtrykket, hvilket førte til deformation af tunnelbeklædningen og sætning af hele tunnelen.
Antagelse baseret på elasticitetslovene
I nyere tid er der fremkommet en ny antagelse, hvorefter jorden betragtes som et homogent elastisk isotropt legeme, som elasticitetens love kan anvendes på. Ifølge denne antagelse udtrykkes jordens elastiske egenskaber ved dens elasticitetsmodul E og Poissons koefficient µ, som afhænger af jordens fysiske egenskaber. I virkeligheden er jorden imidlertid ikke isotrop, men en anisotrop masse, hvis værdier for modulen E og koefficienten µ ændrer sig med dybden. Ikke desto mindre har anvendelsen af elasticitetsteorien til bestemmelse af jordtryk stor videnskabelig interesse og perspektiver for fremtidige undersøgelser.
Undersøgelse af tunnelbeklædningens stabilitet under påvirkning af jordtryk
Til undersøgelse af tunnelbeklædningens stabilitet vælges et tværsnit af beklædningen, hvor det er nyttigt at benytte eksempler på tidligere udførte tunneler under lignende forhold som i det givne tilfælde, som har været i god stand, eller også bestemmes tunnelbeklædningens tværsnit efter en eller anden empirisk metode (fig. 7a). Det valgte tværsnit af tunnelbeklædningen opdeles i lameller med så vidt muligt samme bredde Δs. For hver lamel bestemmes det vertikale og laterale tryk samt selve lamellens vægt.
Det lodrette tryk PG på lamellen for tunnelængden 1,00 m (fig. 7a) fås på grundlag af formlen:
PG = (y1+y2)/2 · Δ_x_·1,00·γ
Fig. 7. Bestemmelse af jordtryk på en tunnel efter Kommerlls metode
Det laterale tryk består af jordtrykket Eh på tunnelprofilen med højden h’ og trykket Ea som følge af belastningen Q
Eh’ = ½ γ h’2 tg2 (45o-ϕ/2); Ea = Q tg(45o-ϕ/2).
Til bestemmelse af de laterale tryk Eh på de enkelte lameller af foringen anbringes et diagram over det laterale tryk (7a) på grundlag af ligningerne:
Krafterne PG og Eh virker i de pågældende lamellas akser.
Derudover bestemmes også vægten af beklædningslamellen PZ, som virker i dens tyngdepunkt, og resultant R af alle kræfter på den pågældende lamel findes (fig. 7b). På den måde bestemmes resultant R1, R2, R3 for alle lameller (fig. 8a), som samles i kraftplanen (fig. 8b), hvorved resultant Rn fremkommer. Derefter tegnes fra en vilkårlig pol O strålerne, og den første støttekurve ac tegnes. Ud fra betingelsen om, at hvælvet er i ligevægt, hvis hvælvens horisontale tryk H, resultant af jordtrykket på tunnelen R_n og fodtrykket A skærer hinanden i ét punkt, fås skæringspunktet S. Hvis dette punkt forbindes med midterpunktet for hvælvsamlingen i lejret, fås retningen for det nye fodtryk A1. Hvis kræfterne Rn, A1 og H samles i et nyt kraftplan (fig. 8c), fås størrelsen H og den nye pol O1, hvorfra de nye stråler og den anden støttekurve ac’ tegnes.
Fig. 8 Kraftdiagram og støttelinje for jordtryk på tunnel
Efter den opnåede nye tryklinje tilpasses tunnelbeklædningens tværsnitsprofil, og om nødvendigt konstrueres tryklinjen for tredje gang. Målet er at anvende en sådan form for tunnelbeklædning, hvis akse falder sammen med tryklinjen. I så fald virker der kun trykspændinger i beklædningen. Trykspændingen, der optræder i et hvilket som helst tværsnit n – n af tunnelbeklædningen (fig. 8), fås ud fra formlen
hvor N er normal-komponenten af resultantkraften Rn på snittet n – n i beklædningen, som fremkommer af kraftpolygonen for dette snit; d er tunnelforings tykkelse i snittet n – n; e er ekscentriciteten af angrebskraften N i samme snit.
Trykspændingen σ skal være mindre end den tilladelige spænding i beklædningen. For tunnelhvælv af armeret beton anses denne metode for ikke at være tilstrækkelig nøjagtig, og Spangerbergs metode anbefales derfor.