터널에 작용하는 토압

터널에 작용하는 압력은 다음으로 구성된다(그림 1):

그림 1. 터널에 작용하는 토압

a) 꼭대기에 작용하는 수직압 P, 이른바 정점 압력,

b) 수평 압력 S, 이른바 측압,

c) A 바닥에 작용하는 반력, 즉 _바닥 지압_이라 불립니다.

터널에 작용하는 토압의 크기는 매우 넓은 범위에 걸쳐 변한다. 초기, 즉 터널 굴진 중에는 암반 압력이 비교적 작아 0에서 0,50 kp/cm2 정도이며, 굴진이 진행되면 토질의 종류와 물리적 성질, 터널 상부의 층고, 상부 하중의 작용으로 토층에서 발생하는 변위의 크기에 따라 0,8에서 12,0 kp/cm2까지 증가한다. 여러 요인에 의존하기 때문에 터널에 대한 암반 압력의 산정은 상당히 어렵고, 이론적으로는 토압의 정확한 값을 구할 수 없으며 근사값만 구할 수 있다. 터널 단면에 작용하는 토압에 대해서는 토층의 내부 저항이 맞서게 된다. 터널을 시공하는 지반이 단단하고 치밀한 암석으로 이루어진 경우에는, 터널 상부 층의 하중을 견고한 암석의 전단 응력이 부담하므로 터널 단면에 작용하는 압력은 미미하다. 이러한 경우에는 터널 굴진 중 터널 라이닝이나 지보공을 시공할 필요가 없으므로, 터널 단면에 대한 토압 산정도 필요하지 않다.

비치밀하고 풍화된 암석에서는 상부 층의 중량으로 인한 터널 단면의 압력이 이러한 암석의 강도를 초과할 수 있으며, 그 결과 지반 파괴와 터널 단면의 심한 변형이 일어난다. 이러한 경우에는 터널 굴착 중 지보를 설치하고, 그 다음에는 산악 압력에 저항하여 이를 기초를 통해 아래 층으로 전달하는 터널 라이닝을 시공해야 한다.

결합토에서는 내부 저항이 점착력과 마찰력으로 이루어지는 반면, 비결합토에서는 점착력 없이 마찰력만으로 이루어진다. 그러나 습기에 따라 점착력이 변하고, 서로 다른 구성의 토층이 층상으로 존재한다는 점을 고려하면, 점착력은 내부 저항으로 보지 않으며 결합토의 경우에도 내부 마찰만을 고려한다. 따라서 이 두 경우 모두에서 터널 라이닝이 필요하며, 이는 곧 터널에 작용하는 토압을 산정해야 함을 의미한다.

터널에 작용하는 토압의 크기를 결정하기 위해 다음과 같은 가정이 있다:

1. 지반압력이 깊이에 비례하여 증가한다는 가정

2. 무너지기 쉬운 물체의 평형 법칙에 기반한 가정

3. 토양에서 하중 경감 아치가 형성된다는 가정

4. 탄성 법칙에 기초한 가정.

압력이 깊이에 비례하여 증가한다는 가정

이 가정에 따르면, 터널의 아치 천장(그림 2)에는 터널 상부 전체 높이의 토중량에 의한 정점 압력 _P_가 지표면까지 작용하며, 이는 굴착된 터널의 폭 _b_에 걸친다. 따라서 정점 압력은

P = γ bt [Mp/m]

여기서 _γ_는 터널 상부 토층의 단위중량 [Mp/m3], _t_는 터널 상부 토층의 높이 [m]이다.

이 가정은 터널 상부의 지반이 점토질 슬러지처럼 내부 저항이 거의 전혀 없는 경우나, 지하수 속의 점성토와 비점성토처럼 지반 저항이 자중에 의한 작용보다 작은 특수한 경우에만 적용된다.

이러한 경우는 실무에서 드물며 특수한 경우로 취급된다. 그 밖의 모든 경우, 즉 토양의 내부저항을 고려할 수 있을 때에는, 이 가정에 따른 터널의 토압 산정은 타당하지 않다. 왜냐하면 이는 실제보다 훨씬 큰 압력을 주기 때문이다.

그림 2. 깊이에 비례하여 압력이 증가한다고 가정할 때 터널에 작용하는 토압의 산정

붕괴성 물체의 평형 법칙에 기초한 가정

Sl. 3. 붕괴체의 평형 법칙에 근거한 가정에 따라 터널에 작용하는 토압의 결정

이 가정에 따르면 건조하고 풍화된 토양을 대상으로 하며, 수직면 _AA’_와 _BB’_에서의 마찰력의 작용 때문에 터널 아치에 작용하는 압력이 프리즘 _ABA’B’_의 중량보다 작다고 본다(그림 3).

이러한 가정에 기초하여, Forcheimer, Bierbaumer 및 Engesser의 것과 같은 터널 아치에 작용하는 압력을 계산하는 여러 공식이 제안되었다.

터널 아치 위의 지반 총중량은 W= γ _bt_이지만, 프리즘 ABA’B‘는 아래로 자유롭게 미끄러질 수 없다. 왜냐하면 표면 _AA’_와 _BB’_에서의 재료 마찰이 이 미끄러짐을 저지하기 때문이다. 만약 _o_가 터널 아치 위 지반의 내부 마찰각이라면, 마찰계수는 tgo가 되고, 마찰면에 대한 정규압은 사실상 측방력 E, 즉 표면 _AA’_와 _BB’_에 작용하는 능동 토압이다. 따라서 이들 각 표면에는 마찰력이 작용한다

Q = Ea tg_ϕ._

터널 아치에 작용하는 압력 P, 즉 정점 압력은

활동 토압은 랭킨에 따라 계산한다

Ea = ½ γt2 tg2(45o – ϕ/2)

이 가정에 따른 터널에 대한 토압 산정은 드물게, 그리고 예를 들어 터널 상부의 토층 두께가 작아 하중 분산 아치가 형성될 수 없는 경우와 같은 특정 상황에서만 수행된다.

하중 경감 아치 형성에 대한 가정

이 방법에 따르면, 점토를 제외한 모든 결합성 및 비결합성 토양에서 터널 위에 하중 경감 아치가 형성되어 터널 단면에는 그 아치 아래의 토질만 작용하고, 아치 자체는 아치 효과에 의해 평형을 이루며, 이는 느슨한 사질토에서의 실험으로 입증되었다. 이 가정에 따라 터널에 작용하는 토압을 결정하는 여러 방법이 있으며, 그중 가장 널리 알려진 것은 Kommerell 방법과 Protođakonov 방법이다. Kommerell 방법에서는 하중 경감 아치가 반타원 형태라고 가정하고, Protođakonov 방법에서는 포물선 형태라고 가정한다.

커메렐의 반타원 토압법

이 방법에 따르면, 하중 경감 아치의 높이 _h_는 터널의 폭 _b_와 터널이 굴착되는 토양의 내부마찰각에 따라 달라진다고 가정한다(그림 4). 하중 경감 아치의 높이 _h_는 다음 식에 따라 구할 수 있다:

h = 100_a_/p

여기서 _a_는 터널 굴착 시작부터 터널 라이닝의 축조가 완료될 때까지의 지보의 침하, _p_는 토양의 영구적인 느슨함이다.

그림 4. 반타원 토압법에 의한 터널의 토압 결정

유리한 조건에서는 a = 10 – 15cm, 불리한 조건에서는 a = 15 – 40cm, 매우 불리한 조건에서는 a = 40 – 70cm로 채택한다.

토양의 영구 이완도 _p_는 굴착 후와 재다짐 후의 터널 굴착토를 기준으로 %로 정한다. _p_의 값은 표 1에 제시된 범위에 있다.

그러나 위의 식이 실무에서 상당히 자주 적용되었음에도 불구하고, 실제와는 맞지 않는다고 본다. 침하는 절대적인 값이 아니며, 같은 재료라도 지보 방식에 따라 다르다. 지보가 강재이면 침하는 더 작고, 목재이면 더 크다. 철도와 도로 터널의 일반적인 단면에 대해서는, 터널 상부 토층 높이 t > 20 m인 경우, 하중 경감 아치의 높이 h=20 m로 가정한다.

측압. Kommerell에 따르면 측압은 토립 프리즘 _ABC_의 무게 작용에 의해 발생하며(그림 4), 이 프리즘은 측면에서는 미끄럼면 _AC_와 터널의 수직면 _AB_로 경계되고, 상부에서는 토립 프리즘 _CBG_의 무게를 받는다. 이때 능동 토립 프리즘은 상부가 터널 아치 정점 평면의 수평면 _CB_로 경계된다고 가정한다

표 1. 토의 근사값 p의 %

평면 _AB_가 수직이고 평면 _CB_가 수평이므로, Rankine의 토압 상태가 존재한다고 가정하며, 활동 토압 _E_의 방향은 수평이다. Rankine에 따르면 미끄럼면 _AC_의 수평에 대한 경사는 각 α=45o+ϕ/2이며, 활동 토압 _Ea_는

Ea = ½ _γh_2tg2(45o-ϕ/2),

여기서 _γ_는 토양의 체적중량(Mp/m3), _h_는 옹벽의 높이(m), _ϕ_는 토양의 내부마찰각이다.

활성 토양 프리즘 _ABC_는 윗면에서 프리즘 _CBG_의 무게에 의해 하중을 받으므로, 이 경우 터널 높이 _h’_에 대해서는

Ea = ½ γ h’ 2tg2(45o-ϕ/2),

여기서 γ1 = γ + 2p/h’

이때 p = Q/CB = Q/h’tg(45o- ϕ/2)

하중 _Q_는 압축 타원 CEF 1/4의 무게 _W_와 _W1_의 무게의 차이로 구해진다:Q = W – W1.

중량 _W_는 타원의 1/4 면적 _A_와 토양의 체적중량 _γ_로부터 구하며, W = _Aγ_이다. 면적 _A_는 타원 면적식에 따라 구한다: A = h·e·π/4

p 값을 _Ea_에 대한 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다:

Ea = ½ γ h’2 tg2 (45o-ϕ/2) + Q tg(45o-ϕ/2).

정점 압력. 하중 경감 아치가 수직축에 대해 대칭이므로, 터널 단면의 절반에 대해 정점 압력을 계산할 수 있다. 터널 길이 W1에 대한 흙쐐기 _BEFG_의 중량 1,00 m은 다음과 같다:

W1 = (z+h)/2 · b/2 · 1,00 · γ

이 식에서는 _z_만 미지수이며, 이는 타원의 방정식(그림 5): b2x2 + a2y2 = b2a2.으로부터 구한다. 우리 경우에는 b=e; a=h; x=z;

그림 5. 반타원 하중법에 의한 터널의 정점 압력 산정

그림 6. 받침 아래의 바닥 압력 p

기초 압력. 기초 압력 _A_가 용마루 압력 _P_와 같다고 가정하므로, 그 크기는 이로써 결정된다.

터널 단면이 저면 아치형이면, 터널 바닥에 대한 압력 _p_는 다음과 같다: p = P/(b·1,00m) [Mp/m2].

그러나 그것이 견고하고 충분히 큰 지지력을 가진다면, 용마루 압력 _P_는 폭 _d_의 서까래를 통해 지반으로 전달된다(그림 6). 따라서 서까래 아래의 기초 압력은 p = P/(2d·1,00m) [Mp/m2]이다.

이 경우에는 지반 조사와 지반의 지지력 및 침하량 산정이 필수임을 지적해 둔다. 지반의 지지력이 기초 압력보다 작아져 터널 라이닝이 변형되고 전체 터널이 침하한 사례가 있었기 때문이다.

탄성 법칙에 기초한 가정

최근에는 토양을 탄성 법칙을 적용할 수 있는 균질한 탄성 등방체로 본다는 새로운 가정이 등장하였다. 이 가정에 따르면 토양의 탄성 특성은 탄성계수 _E_와 토양의 물리적 성질에 따라 달라지는 포아송 계수 _µ_로 표현된다. 그러나 실제로 토양은 등방체가 아니라 깊이에 따라 _E_와 µ 값이 변하는 비등방성 덩어리이다. 그럼에도 이러한 차이에도 불구하고, 탄성 이론을 지반압 산정에 적용하는 것은 큰 학문적 의의와 향후 연구의 전망을 지닌다.

토압 작용하의 터널 라이닝 안정성 검토

터널 라이닝의 안정성 검토를 위해서는 라이닝의 횡단면을 선정하는데, 이때는 본 사례와 유사한 조건에서 시공되어 양호한 상태로 유지된 기존 터널의 예를 참고하는 것이 유용하며, 또는 어떤 경험적 방법에 따라 터널 라이닝 단면을 결정할 수도 있다(그림 7a). 선정된 터널 라이닝 단면은 가능한 한 같은 폭 _Δs_의 리브로 나눈다. 각 리브에 대해 수직 압력과 측압, 그리고 리브 자체의 중량을 구한다.

터널 길이 1,00 m에 대한 수직 압력 PG (도 7a)은 다음 식에 따라 구한다:

PG = (y1+y2)/2 · Δ_x_·1,00·γ

그림 7. Kommerll 방법에 의한 터널의 토압 산정

측압은 터널 단면의 높이 _h’_에 대한 토압 _Eh_와 하중 _Q_의 작용에 의한 압력 _Ea_로 구성된다

Eh’ = ½ γ h’2 tg2 (45o-ϕ/2); Ea = Q tg(45o-ϕ/2).

개별 라이닝 리브에 대한 측압 _Eh_를 결정하기 위해 측압 도표(7a)를 다음 방정식에 기초하여 그린다:

힘 _PG_와 _Eh_는 해당 리나(lamela)의 축 방향으로 작용한다.

또한 라이닝 리브의 자중 _PZ_도 구하며, 이는 그 무게중심에 작용하고, 주어진 리브에 작용하는 모든 힘의 합력 _R_을 구한다(그림 7b). 이러한 방법으로 모든 리브에 대한 합력 _R1, R2, R3_을 구하고(그림 8a), 이를 힘의 도면에 배치하면(그림 8b) 합력 _Rn_을 얻는다. 다음으로 임의의 극점 _O_에서 방사선을 긋고 첫 번째 지지선 _ac_를 그린다. 아치의 수평 추력 H, 터널에 작용하는 토압의 합력 R_n 및 기초부 압력 _A_가 한 점에서 만날 때 아치가 평형을 이룬다는 조건으로부터 교점 _S_를 얻는다. 이 점을 기초부의 아치 접합부 중심점과 연결하면 새로운 기초부 압력 _A1._의 방향을 얻는다. 힘 Rn, A1 및 _H_를 새로운 힘의 도면에 배치하면(그림 8c) _H_의 크기와 새로운 극점 _O1_을 얻고, 여기서 새로운 방사선과 두 번째 지지선 _ac’_를 그린다.

그림 8 터널에 대한 토압의 힘 평면과 지지선

얻어진 새로운 지지선에 따라 터널 라이닝의 횡단면 형상이 조정되며, 필요하면 지지선은 세 번째로도 다시 구성된다. 목표는 그 축이 지지선과 일치하는 형태의 터널 라이닝을 채택하는 것이다. 이 경우 라이닝에는 압축 응력만 작용한다. 터널 라이닝의 어떤 횡단면 n – n 에서 발생하는 압축 응력(그림 8)은 다음 식으로 구한다

여기서 _N_은 껍질의 단면 _n – n_에 대한 합력 _Rn_의 법선 성분으로, 해당 단면의 힘의 평형도에서 구해진다; _d_는 단면 _n – n_에서의 터널 라이닝 두께이며; _e_는 같은 단면에서 작용력 _N_의 편심이다.

압축응력 _σ_는 라이닝의 허용 응력보다 작아야 한다. 철근콘크리트 터널 아치의 경우 이 방법은 충분히 정확하지 않은 것으로 간주되므로, Spangerberg 방법이 권장된다.