土質力学では、地盤の極限支持力 と 地盤の許容荷重 を求める。
_地盤の極限支持力_とは、地盤破壊が生じる瞬間に達する支持力のことです。地盤破壊は、基礎が地盤に及ぼす荷重がそのせん断強度を超えるときに発生します。この場合、基礎荷重 P の作用下で、最小抵抗面 ACD および BCE、すなわち図1のすべり面が現れ、それに沿って地盤が横方向に押し出されると同時に、構造物の脇の地表面 DG および EF 上の地盤が盛り上がり、基礎自体は沈下します。
図 1. 基礎荷重による地盤破壊
土のせん断強度は基礎埋込み深さ t とともに増加する。これは、上部層の自重により側方への押し出しが起こりにくくなるためである。したがって、深い基礎は地盤破壊を引き起こしにくいのに対し、浅い基礎は破壊の危険がある。同様に、幅の広い基礎も、すべり面がより深くなるため、地盤破壊を起こしにくい。
_許容地耐力_とは、最も不利な条件下でも地盤破壊を生じさせない範囲で、地盤に作用させることを許容できる荷重をいう。許容地盤反力は、地盤の極限支持力に安全率を適用して定める。安全率の大きさは複数の要因に左右され、その中でも重要なのは地盤の物理的特性の精度、地盤の内部抵抗要素、特に凝集力の値が変化しうること、これは地中水の影響で広い範囲にわたり変動しうること、さらに荷重条件（急激荷重および動荷重の可能性）、基礎の根入れ深さ、および基礎底面の幅といった他の要因の影響である。
地盤の支持力は、極限支持力を与える地盤破壊に基づいて求めることができる。地盤の極限支持力とは、破壊を引き起こす荷重の大きさをいう。地盤破壊に基づく極限支持力の決定には、数学的解法 と 試験載荷 の2つの方法がある。
数学的解法
多くの研究者が、影響因子の把握とさまざまな破壊条件の仮定に基づいて、土の極限支持力を求めるための数学的解法を見いだそうとしてきた。影響因子とは、乱さない土試料に対する実験室試験によって求められる土の物理的特性、地下水位の状態、基礎の深さ、荷重面の大きさと形状、ならびに荷重の作用方法、すなわち土への均等または不均等、中心または偏心荷重である。破壊条件に関する仮定は、塑性理論と弾性理論に基づいている。しかし、現代の土の支持力算定法は塑性理論に基づき、いくつかの単純化された仮定と組み合わせて用いられている。
ここでは、極限支持力、すなわち地盤の許容荷重を求めるいくつかのよく知られた計算方法を紹介する。
プランドル-カクートの形式
基礎底 AB が地表面下深さ t に基礎されている場合、この深さでは、基礎荷重による接触圧および基礎底レベルから地表面までの土の重さによる側圧 p=γt が作用する（図 2）。
基礎自重の直接作用下では、地盤の極限支持力を超える瞬間に、すべり面 AC と BC が現れ、これらは荷重面となす角 α = 45° + ϕ/2 を形成する。これらのすべり面は能動土圧くさび ABC を構成する。
図2。 Prandtl-Caquot による中心荷重の基礎底面によって生じる対数螺旋形のすべり面
能動土圧楔の圧力の作用により、側方に受動土圧楔 ADD1 および BEE1 が形成され、これを滑り面 DD1 および EE1 に沿って上方へ押し出そうとする。その角度は水平に対して 45°-ϕ/2 である。能動土圧帯と受動土圧帯の間には放射せん断帯 ACD または BCE があり、限界平衡を超えると、そこで滑りは曲線状のすべり面に沿って生じる。Résal は、放射せん断帯内のすべり面は、極を A または B に持つ対数螺旋の形をとり、その方程式は r=r0 eπ tg_ϕ_ であると算出した。
地盤の極限荷重を求めるために、次の仮定がなされた：
- 基礎が滑らかである、すなわち基礎底と地盤との間の摩擦を無視する；
- 土のせん断強度は、D1M および E1N の面に沿っては存在しない、すなわち無視される；
- 地盤の単位体積重量が基礎底面下で γ=0 であり、すなわち、塑性平衡域における基礎フーチング下の地盤重量の影響を無視する。
Prandtl-Caquot の式は次のとおりである:
地盤の限界支持力とは
もし次のように置けば：
結合土の極限支持力は qf = γtm + cm1. である。
土の内部摩擦角のさまざまな値に対する m と m1 の値は、表 1 に示されている。
表 1。土の内部摩擦角の異なる値に対する係数 m および m__1 の値_
許容地盤荷重は qa = pdozv = qf/F であり、ここで F は安全係数である。Prandtl-Caquot の式を適用する場合は F = 4 を採用するので、qa = qf/4 となる。
Terzaghiev の式
テルツァーギは、帯状、正方形、および円形基礎版の荷重の作用下にある地盤の極限支持力を計算するための半経験式を示した。彼は地表面下深さ Df、幅 B の基礎（図 3）を考察し、基礎底 AB と地盤との間に摩擦が存在してそれが地盤の側方押し出しに抵抗し、すべり面 AB と BC が荷重面となす角が内部摩擦角であるとした。
図 3。Terzaghi による土の極限支持力
その結果、基礎_AB_ とすべり面_AC_ および BC の間に含まれる土楔 ABC の土は弾性平衡状態に保たれ、基礎の一部として働く。くさび ABC は、その側面 AC および BC に作用する圧力が側方のくさびの受動土圧に等しくなるまで押し込むことはできない。すなわち、つり合いの限界状態を超えると、結果として生じる土圧 q はすべり面の法線に対して角度 ϕ で、すなわち鉛直方向に作用する（図 3）。荷重の作用下でくさびが鉛直下方へ移動するため、土中のつり合い問題は受働土圧の算定に帰着する。しかし、この方法による地盤支持力の厳密計算は複雑であるため、Terzaghi は簡略解を与えた。地盤の極限支持力 q_f を求めるためのTerzaghiの式は次のとおりである。
- 帯状基礎に対して
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
ここで c は土の凝集力である
γ1 基礎底面より上の土の単位体積重量
Df 地表面下から基礎底面までの基礎埋込み深さ
γ2 基礎底面下の地盤の単位体積重量
B 基礎フーチングの幅。
Nc、Nq、Nγ は支持力係数であり、土の内部摩擦角に依存する。これらの係数の値は次の式で与えられる：
Nq は、基礎深さまでの側方土層の自重による係数である: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc は粘着力による係数である： Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ は、基礎底盤の下、すなわち底盤幅 AB の下にある土くさびの自重による係数である。この係数の近似値として、Brinch Hansen は次を推奨している：Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
図 4。基礎の鉛直中心荷重により地盤が受ける応力分布
土の単位体積重量の差が小さいため、しばしば γ1= γ2= γ と仮定する。前式によれば、地盤の支持力は（図 4）以下に依存する：基礎地盤の粘着力 c、基礎側方の土圧 γ1 D_F、幅 B の活動すべりくさびの自重。
しかし、土が受ける応力の分布は、凝集力 c および基礎埋設深さ Df の作用による場合には全幅にわたって一様、すなわち長方形であるのに対し、幅 B の影響による応力分布は三角形、すなわち最大応力は基礎中央で受け、縁に向かって減少してゼロになる。
図 5。テルツァーギによる土の内部摩擦角に応じた支持力係数の図表
角度 0 から 40° までの各値に対して、Terzaghi は支持力係数の図表を作成した（図 5）。しかし、支持力係数 Nc、Nq および Nγ（図 5 の実線）は、締まった堅固な土の場合にのみ採用できる。土がゆるい、またはより圧縮されやすい場合には、支持力係数 N’c、N’q および N’γ（図 5 の破線）を採用すべきであり、これらは摩擦抵抗の 2/3 の値を与える。さらにこの場合は、実験室で求めた凝集力 c の 2/3 の値を用いるべきであり、そのためこの場合は qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ となる。
2. 長方形形状の基礎フーチング
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ ここで L は基礎フーチングの長さである
3. 正方形の平面基礎の場合
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. 円形基礎フーチング用
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ ここで r は基礎底面の半径である。
地盤の許容支持力を算定するには、安全率 F を用いる： qa = qf/F。安全率の値は、地盤および荷重条件に応じて 2 から 3 の範囲である。
数学的式の適用
地盤の許容支持力を算定するための数学式を適用するには、基礎底面位置における地盤の地盤工学的特性、すなわち粘着力と内部摩擦、ならびに基礎底面の上方および下方の地盤の単位体積重量を把握しておく必要がある。基礎地盤が地下水位より下にある場合は、地盤の単位体積重量を決定する際に浮力も考慮しなければならない。
より大きな地盤荷重および大型構造物の場合、数学式に基づいて得られた許容地盤支持力の値を完全に使い切るときは、地盤の支持力計算には沈下計算を併せて行わなければならない。算定された地盤支持力は、沈下計算によって当該構造物の種類に対する許容値より小さい沈下が得られた場合にのみ採用される。計算により許容値を超える沈下が得られた場合は、計算式によって算出した許容地盤荷重の値は採用せず、当該構造物の構造に対する許容沈下の範囲内で、より小さい沈下が得られるよう基礎方式を変更しなければならない。
図 6。基礎の有効埋設深さ D__f
土の極限支持力を求める数式では、基礎の側面が土に密接している場合にも抵抗として働く基礎周面摩擦は考慮されていない。周面摩擦抵抗は考慮する必要はない。実際の周面摩擦は地中に打ち込む杭にのみ存在し、フットングでは、あらかじめ掘削した穴の中で施工されるため、周面摩擦はごくわずかだからである。
基礎の形状を考慮しない数学式を用いると、最も近い結果が得られるのは帯状基礎の場合で、すなわち基礎の長さがその幅の2倍を超える場合である。試験により、正方形または円形の独立基礎では、破壊は数学式で計算された値より 10-30% 大きい限界荷重で生じることが確認されている。三角形の基礎は帯状基礎よりも小さい支持力しか示さず、最小の支持力を示すのは、充填されていない場合の環状基礎である。
基礎埋設深さ Df は、基礎底面の地盤面下から基礎底までの有効埋設深さとして計算されます（図 6）。地下室の下にある基礎では、有効埋設深さ Df は、地表面下の埋設深さとは異なります。このような場合、地盤の極限荷重および許容荷重を算定する際には、常に Df を採用しなければなりません。なぜなら、基礎底面の地盤の上には空気があり、基礎荷重 P の作用による土の側方押し出しに抵抗しないからです。