Tragfähigkeit des Bodens

In der Bodenmechanik werden die Grenztragfähigkeit des Bodens und die zulässige Bodenbelastung bestimmt.

Die Grenztragfähigkeit des Bodens ist jene, die in dem Moment erreicht wird, in dem das Bodenversagen eintritt. Bodenversagen tritt ein, wenn die Belastung, mit der das Fundament auf den Boden wirkt, dessen Scherfestigkeit überschreitet. In diesem Fall treten unter der Einwirkung der Fundamentlast P die Flächen des geringsten Widerstands ACD und BCE – Gleitflächen Abb. 1 auf, entlang derer der Boden seitlich herausgedrückt wird und gleichzeitig zu einer Hebung des Bodens über der Geländeoberfläche neben dem Bauwerk DG und EF kommt, während das Fundament selbst einsinkt.

Abb. 1. Bodenbruch unter der Wirkung der Fundamentbelastung

Die Scherfestigkeit des Bodens nimmt mit der Gründungstiefe t zu, da sich infolge des Gewichts der oberen Schichten die Möglichkeit des seitlichen Auspressens verringert. Daher führen tiefe Fundamente seltener zum Bodenbruch, während flache Fundamente hinsichtlich Bodenbruch gefährlich sind. Ebenso führen breite Fundamente seltener zum Bodenbruch, weil die Gleitflächen tiefer liegen.

Die zulässige Bodenbelastung ist diejenige Belastung, die auf den Boden einwirken darf, ohne dass es unter den ungünstigstmöglichen Bedingungen zum Bodenbruch kommt. Die zulässige Bodenbelastung wird auf Grundlage der Grenztragfähigkeit des Bodens unter Anwendung eines Sicherheitsfaktors bestimmt. Die Größe des Sicherheitsfaktors hängt von mehreren Faktoren ab, unter denen die wichtigsten die Genauigkeit der physikalischen Eigenschaften des Bodens, die Möglichkeit von Änderungen der Werte der Elemente des inneren Bodenwiderstands, insbesondere der Kohäsion, deren Wert unter dem Einfluss von Wasser im Boden in weiten Grenzen schwanken kann, sowie der Einfluss möglicher weiterer Faktoren, wie etwa Belastungsbedingungen (Möglichkeit plötzlicher und dynamischer Belastung), Gründungstiefe und Breite des Fundaments, sind.

Die Tragfähigkeit des Bodens kann auf Grundlage des Bodenbruchs bestimmt werden, der die Grenztragfähigkeit ergibt. Unter der Grenztragfähigkeit des Bodens versteht man die Größe der Belastung, die den Bruch verursacht. Es gibt zwei Verfahren zur Bestimmung der Grenztragfähigkeit auf Grundlage des Bodenbruchs, nämlich die mathematische Lösung und die Versuchslast.

Mathematische Lösung

Viele Wissenschaftler haben versucht, eine mathematische Lösung zur Bestimmung der Grenztragfähigkeit des Bodens zu finden, auf Grundlage der Kenntnis der Einflussfaktoren und unter verschiedenen Annahmen über die Bruchbedingungen. Die Einflussfaktoren sind die physikalischen Eigenschaften des Bodens, die durch Laborversuche an ungestörten Bodenproben bestimmt werden, der Grundwasserstand, die Gründungstiefe, Größe und Form der belasteten Fläche sowie die Art der Belastung, d. h. gleichmäßige oder ungleichmäßige, zentrische oder exzentrische Bodenbelastung. Die Annahmen über die Bruchbedingungen beruhen auf der Plastizitätstheorie und der Elastizitätstheorie. Moderne Methoden zur Bestimmung der Tragfähigkeit des Bodens stützen sich jedoch auf die Plastizitätstheorie, die mit einigen vereinfachenden Annahmen kombiniert wird.

Hier werden wir mehrere bekannte Berechnungsmethoden zur Bestimmung der Grenztragfähigkeit bzw. der zulässigen Bodenbelastung vorstellen.

Form Prandtl-Caquota

Ist die Fundamentsohle AB in einer Tiefe t unter der Geländeoberfläche gegründet, so herrscht in dieser Tiefe der Kontaktpressung po infolge der Fundamentbelastung sowie der seitliche Druck p=γt infolge des Gewichts des Bodens oberhalb der Fundamentsohle bis zur Geländeoberfläche (Abb. 2).

Unter unmittelbarer Einwirkung des Fundamentgewichts entstehen im Moment des Überschreitens der Grenztragfähigkeit des Bodens die ebenen Gleitflächen AC und BC, die mit der belasteten Fläche einen Winkel α = 45° + ϕ/2 einschließen. Diese Gleitflächen bilden die aktive Erdkegelprisma ABC.

Abb. 2. Gleitflächen in Form der logarithmischen Spirale unter der Wirkung einer zentrisch belasteten Fundamentsohle nach Prandtl-Caquot

Unter dem Druck der aktiven Erdmauer entstehen seitlich passive Erdmauern ADD1 und BEE1, die sie entlang der Gleitflächen DD1 und EE1 unter einem Winkel von 45°-ϕ/2 zur Horizontalen nach oben zu verschieben versucht. Zwischen der Zone des aktiven und des passiven Erddrucks besteht eine Zone der radialen Scherung ACD bzw. BCE, in der bei Überschreiten des Grenzgleichgewichts das Gleiten entlang gekrümmter Gleitflächen auftritt. Résal berechnete, dass die Gleitflächen in der Zone der radialen Scherung die Form einer logarithmischen Spirale mit dem Pol in A bzw. B haben, deren Gleichung r=r0 eπ tg_ϕ_

Für die Bestimmung der Grenzbelastung des Bodens wurden folgende Annahmen getroffen:

• dass das Fundament glatt ist, also die Reibung zwischen Fundamentsohle und Boden vernachlässigt wird;
• dass die Scherfestigkeit des Bodens entlang der Flächen D1M und E1N nicht vorhanden ist bzw. vernachlässigt wird;
• dass das Raumgewicht des Bodens unter der Fundamentsohle γ=0, also der Einfluss des Bodengewichts unter der Fundamentsohle in der Zone des plastischen Gleichgewichts vernachlässigt wird.

Das Prandtl-Caquota-Schema lautet:

Die Grenztragfähigkeit des Bodens ist

Wenn wir setzen:

die Grenztragfähigkeit des bindigen Bodens ist qf = γtm + cm1.

Für verschiedene Werte des inneren Reibungswinkels des Bodens sind die Werte für m und m1 in Tabelle 1 angegeben.

Tab. 1. Werte der Koeffizienten m und m__1 für verschiedene Werte des inneren Reibungswinkels des Bodens

Die zulässige Bodenpressung ist qa = pdozv = qf/F, wobei F der Sicherheitsfaktor ist. Für die Anwendung der Prandtl-Caquot-Formel wird F = 4 angenommen, somit ist qa = qf/4.

Terzaghis Formel

Terzaghi gab eine semiemprische Formel zur Berechnung der Grenztragfähigkeit des Bodens unter Einwirkung von Lasten in Streifen-, Quadrat- und Kreisplattenform an. Er betrachtete ein in der Tiefe Df unter der Geländeoberfläche gegründetes Fundament mit der Breite B (Abb. 3), und nahm an, dass zwischen dem Fundamentfuß AB und dem Boden Reibung besteht, die dem seitlichen Ausweichen des Bodens entgegenwirkt, und dass die Gleitflächen AB und BC mit der belasteten Fläche den Winkel der inneren Reibung einschließen.

Abb. 3. Grenztragfähigkeit des Bodens nach Terzaghi

Dadurch bleibt der Boden im Erdkeil ABC, der zwischen der Gründung AB und den Gleitflächen AC und BC eingeschlossen ist, im Zustand des elastischen Gleichgewichts und verhält sich wie ein Teil des Fundaments. Die Prismenform ABC kann nicht so weit verdrückt werden, bis die Drücke auf ihre Seiten AC und BC dem passiven Erddruck der seitlichen Prismen entsprechen; das bedeutet, dass bei Überschreitung des Grenzzustands des Gleichgewichts der resultierende Bodendruck q unter dem Winkel ϕ zur Normalen auf die Gleitfläche wirkt, also in vertikaler Richtung (Abb. 3). Da sich der Keil unter der Wirkung der Belastung vertikal nach unten bewegt, reduziert sich das Gleichgewichtsproblem im Boden auf die Bestimmung des passiven Erddrucks. Da die genaue Berechnung der Bodenpressung nach dieser Methode jedoch kompliziert ist, hat Terzaghi eine vereinfachte Lösung angegeben. Terzaghis Formel zur Berechnung der Grenztragfähigkeit des Bodens _q_f lautet

1. Für einen Fundamentfuß in Streifenform

qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ  

wobei c die Kohäsion des Bodens ist

γ1 Raumbelastung des Bodens über der Fundamentsohle

Df Gründungstiefe unterhalb der Geländeoberfläche bis zur Fundamentsohle

γ2 Raumgewicht des Bodens unter der Fundamentsohle

B Breite des Fundamentfußes.

Nc, Nq, Nγ sind Tragfähigkeitsbeiwerte, abhängig vom Winkel der inneren Reibung des Bodens, und die Werte dieses Faktors sind durch folgende Ausdrücke gegeben:

Nq ist ein Faktor aufgrund des Gewichts der seitlichen Bodenschicht bis zur Gründungstiefe: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_

Nc ist der Faktor infolge der Kohäsion: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_

Nγ ist der Faktor infolge des Eigengewichts des Erdkegels unter der Fundamentsohle, beziehungsweise unter der Breite der Sohle AB. Der Wert dieses Faktors wird von Brinch Hansen näherungsweise empfohlen: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_

Abb. 4. Verteilung der Spannungen, die der Boden bei zentrischer vertikaler Belastung des Fundaments aufnimmt

Wegen des geringen Unterschieds der Raumgewichte des Bodens wird oft γ1= γ2= γ angenommen. Nach der vorstehenden Gleichung hängt die Tragfähigkeit des Bodens (Abb. 4) ab von: der Kohäsion des Gründungsbodens c, der Bodenbelastung neben dem Fundament _γ1 D_F, dem Eigengewicht des Bodens der aktiven Gleitprisma mit der Breite B.

Während jedoch die Spannungsverteilung, die der Boden infolge der Wirkung der Kohäsion c und der Gründungstiefe Df aufnimmt, über die gesamte Breite gleichmäßig, d. h. rechteckig, ist, ist die Spannungsverteilung, die der Boden infolge des Einflusses der Breite B aufnimmt, dreieckig, d. h. die größten Spannungen werden in der Mitte des Fundaments aufgenommen und nehmen zu den Rändern hin ab, wo sie gleich null sind.

Abb. 5. Diagramm des Tragfähigkeitsbeiwerts in Abhängigkeit vom Winkel der inneren Reibung des Bodens nach Terzaghi

Für verschiedene Werte des Winkels von 0 bis 40° hat Terzaghi Tragfähigkeitsdiagramme ausgearbeitet (Abb. 5). Die Tragfähigkeitsbeiwerte Nc, Nq und Nγ (durchgezogene Linien in Abb. 5) können jedoch nur für dichtes und festes Erdreich übernommen werden. Ist der Boden locker oder stärker zusammendrückbar, so sind die Tragfähigkeitsbeiwerte N’c, N’q und N’γ (gestrichelte Linien in Abb. 5) anzusetzen, die 2/3-Werte des Reibungswiderstands ergeben. Außerdem sind in diesem Fall 2/3-Werte der im Labor ermittelten Kohäsion c anzusetzen, so dass wir in diesem Fall qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ. erhalten.

2. Für eine Fundamentsohle in Rechteckform

qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ  wobei L die Länge des Fundamentstreifens ist

3. Für ein quadratisches Flachfundament

qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ  

4. Für den kreisförmigen Fundamentfuß

qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ  wobei r der Radius des Fundamentfußes ist.

Für die Berechnung der zulässigen Bodenbelastung wird der Sicherheitsfaktor F angesetzt: qa = qf/F. Der Wert des Sicherheitsfaktors liegt je nach Boden- und Belastungsverhältnissen zwischen 2 und 3.

Anwendung mathematischer Formeln

Die Anwendung mathematischer Formeln zur Bestimmung der zulässigen Bodenbelastung erfordert die Kenntnis der geomechanischen Eigenschaften des Bodens, nämlich der Kohäsion und der inneren Reibung in der Gründungstiefe sowie des Raumgewichts des Bodens oberhalb und unterhalb der Fundamentsohle. Befindet sich der Baugrund unter dem Grundwasserspiegel, ist bei der Bestimmung des Raumgewichts des Bodens auch der Auftrieb zu berücksichtigen.

Bei größeren Bodenbelastungen und größeren Bauwerken, wenn der ermittelte Wert der zulässigen Bodenpressung auf der Grundlage mathematischer Formeln voll ausgeschöpft wird, sollte die Berechnung der Tragfähigkeit des Bodens durch eine Setzungsberechnung ergänzt werden. Die berechnete Tragfähigkeit des Bodens wird nur dann übernommen, wenn die Setzungsberechnung eine geringere Setzung als die für die jeweilige Bauwerksart zulässige ergibt. Falls die Berechnung eine größere als die zulässige Setzung ergibt, wird der berechnete Wert der zulässigen Bodenbelastung mittels Rechenformeln nicht übernommen; vielmehr muss die Gründungsart so geändert werden, dass eine geringere Setzung erreicht wird, innerhalb der zulässigen Setzungsgrenze für die jeweilige Konstruktion des Bauwerks.

Abb. 6. Effektive Gründungstiefe D__f

In den mathematischen Formeln zur Bestimmung der Grenztragfähigkeit des Bodens wurde die Mantelreibung des Fundaments nicht berücksichtigt, die ebenfalls als Widerstand gegen die Wirkung der Belastung mitwirkt, sofern das Fundament den Boden an den Seiten fest berührt. Der Mantelreibungswiderstand sollte nicht berücksichtigt werden, da eine tatsächliche Mantelreibung nur bei Pfählen vorhanden ist, die in den Boden eingerammt werden, während bei Fundamentsohlen die Mantelreibung unbedeutend ist, da die Sohlen in zuvor ausgehobenen Gruben hergestellt werden.

Die Anwendung mathematischer Formeln, bei denen die Form des Fundaments nicht berücksichtigt wird, liefert die genauesten Ergebnisse für streifenförmige Fundamente, d. h. wenn die Länge des Fundaments mehr als das Zweifache seiner Breite beträgt. Durch Versuche wurde festgestellt, dass bei Fundamentsohlen in Quadrat- oder Kreisform der Bruch bei einer Grenzlast eintritt, die um 10-30% höher ist als die nach mathematischen Formeln berechnete. Fundamentsohlen in Dreiecksform haben eine geringere Tragfähigkeit als Streifenfundamente, und die geringste Tragfähigkeit haben ringförmige Fundamentsohlen, sofern sie nicht ausgefüllt sind.

Die Gründungstiefe Df wird als effektive Gründungstiefe unter der Grundfläche des Fundaments bis zur Fundamentsohle berechnet (Abb. 6). Bei Fundamenten unter Erdgeschossräumen unterscheidet sich die effektive Gründungstiefe Df von der Gründungstiefe unterhalb der Geländeoberfläche. In solchen Fällen ist für die Berechnung der Grenz- und zulässigen Bodenbelastung stets Df anzusetzen, da sich über der Fundamentgrundfläche Luft befindet, die dem seitlichen Ausweichen des Bodens unter der Einwirkung der Fundamentlast P nicht entgegenwirkt.