Capacité portante du sol

En mécanique des sols, on détermine la portance limite du sol et la charge admissible du sol.

La portance limite du sol est celle qui est atteinte au moment où se produit la rupture du sol. La rupture du sol se produit lorsque la charge par laquelle la fondation agit sur le sol dépasse sa résistance au cisaillement. Dans ce cas, sous l’action de la charge de la fondation P, apparaissent les surfaces de moindre résistance ACD et BCE – surfaces de glissement fig. 1, le long desquelles le sol est refoulé latéralement et, simultanément, le sol au-dessus de la surface du terrain près de l’ouvrage DG et EF se soulève, tandis que la fondation elle-même s’enfonce.

Fig. 1. Rupture du sol sous l’action de la charge de la fondation

La résistance au cisaillement du sol augmente avec la profondeur d’assise t, car, sous l’effet du poids des couches supérieures, la possibilité d’un refoulement latéral diminue. Par conséquent, les fondations profondes provoquent plus difficilement la rupture du sol, tandis que les fondations superficielles sont dangereuses du point de vue de la rupture. De même, les fondations larges provoquent plus difficilement la rupture du sol, car les surfaces de glissement sont plus profondes.

La charge admissible du sol est celle que l’on peut laisser agir sur le sol sans provoquer sa rupture dans les conditions possibles les plus défavorables. La charge admissible du sol est déterminée sur la base de la capacité portante ultime du sol, par application d’un facteur de sécurité. La valeur du facteur de sécurité dépend de plusieurs facteurs, parmi lesquels les plus importants sont la précision des caractéristiques physiques du sol, la possibilité de variations des valeurs des éléments de la résistance interne du sol, en particulier de la cohésion, dont la valeur peut varier dans de larges limites sous l’action de l’eau dans le sol, puis l’influence d’autres facteurs éventuels, tels que les conditions de chargement (possibilité d’un chargement brusque et dynamique), la profondeur d’assise et la largeur de la semelle.

La portance du sol peut être déterminée sur la base de la rupture du sol, qui fournit la portance limite. Par portance limite du sol, on entend la valeur de la charge qui provoque la rupture. Il existe deux façons de déterminer la portance limite sur la base de la rupture du sol, à savoir la solution mathématique et la charge d’essai.

Solution mathématique

De nombreux scientifiques ont tenté de trouver une solution mathématique pour déterminer la portance limite du sol, sur la base de la connaissance des facteurs d’influence et selon différentes hypothèses de conditions de rupture. Les facteurs d’influence sont les caractéristiques physiques du sol, déterminées par des essais de laboratoire sur des échantillons de sol non remaniés, l’état de la nappe phréatique, la profondeur de fondation, la taille et la forme de la surface chargée, ainsi que le mode de chargement, c’est-à-dire un chargement uniforme ou non uniforme, centré ou excentré du sol. Les hypothèses relatives aux conditions de rupture reposent sur la théorie de la plasticité et la théorie de l’élasticité. Cependant, les méthodes modernes de détermination de la portance du sol reposent sur la théorie de la plasticité, combinée à certaines hypothèses simplifiées.

Nous présenterons ici plusieurs méthodes de calcul connues pour la détermination de la portance limite, c’est-à-dire de la charge admissible du sol.

Forme de Prandtl-Caquot

Si la semelle de fondation AB est fondée à une profondeur t sous la surface du terrain, à cette profondeur règnent la pression de contact po due à la charge de la fondation et la pression latérale p=γt due au poids du sol situé au-dessus du niveau de la semelle de fondation jusqu’à la surface du terrain (fig. 2).

Sous l’action directe du poids de la fondation, au moment où la capacité portante limite du sol est dépassée, apparaissent les surfaces de glissement rectilignes AC et BC, qui forment avec la surface chargée un angle α = 45° + ϕ/2. Ces surfaces de glissement forment le prisme de terre actif ABC.

Fig. 2. Surfaces de glissement en forme de spirale logarithmique sous l’action d’une semelle de fondation chargée de façon centrée selon Prandtl-Caquot

Sous l’effet de la pression de la prisme de terre active, des prismes de terre passive latéraux ADD1 et BEE1 se forment, qu’elle tend à refouler vers le haut le long des surfaces de glissement DD1 et EE1, sous un angle de 45°-ϕ/2 avec l’horizontale. Entre la zone de poussée des terres active et passive existe une zone de cisaillement radial ACD respectivement BCE, dans laquelle, au dépassement de l’équilibre limite, le glissement se produit le long de surfaces de glissement courbes. Résal a calculé que les surfaces de glissement dans la zone de cisaillement radial ont la forme d’une spirale logarithmique ayant son pôle en A respectivement B, dont l’équation est r=r0 eπ tg_ϕ_

Pour déterminer la charge limite du sol, les hypothèses suivantes ont été retenues :

• que le fondation est lisse, c’est-à-dire que le frottement entre la semelle de fondation et le sol est négligé;
• que la résistance au cisaillement du sol le long des surfaces D1M et E1N n’existe pas, c’est-à-dire qu’on la néglige ;
• que le poids volumique du sol sous le fondement est γ=0, c’est-à-dire que l’influence du poids du sol sous la semelle de fondation est négligée, dans la zone d’équilibre plastique.

La formule de Prandtl-Caquota est la suivante :

La portance limite du sol est

Si nous posons :

la capacité portante limite du sol cohérent est qf = γtm + cm1.

Pour différentes valeurs de l’angle de frottement interne du sol, les valeurs de m et m1 sont données dans le tableau 1.

Tabl. 1. Valeurs des coefficients m et m__1 pour différentes valeurs de l’angle de frottement interne du sol

La charge admissible du sol est qa = pdozv = qf/F où F est le facteur de sécurité. Pour l’application de la formule de Prandtl-Caquot, on adopte F = 4, d’où qa = qf/4.

Formule de Terzaghi

Terzaghi a proposé une formule semi-empirique pour le calcul de la capacité portante limite du sol sous l’action de charges de forme bande, carré et disque circulaire. Il a considéré une fondation établie à la profondeur Df sous la surface du terrain, de largeur B (fig. 3), et a admis qu’il existe un frottement entre la semelle de fondation AB et le sol, qui s’oppose au refoulement latéral du sol, et que les surfaces de glissement AB et BC forment avec la surface chargée un angle de frottement interne.

Fig. 3. Portance limite du sol selon Terzaghi

Par conséquent, le sol dans le coin de terre ABC, compris entre la fondation AB et les surfaces de glissement AC et BC, demeure dans un état d’équilibre élastique et se comporte comme une partie de la fondation. Le prisme ABC ne peut être poussé plus loin tant que les pressions sur ses faces AC et BC ne sont pas égales à la pression passive des terres des prismes latéraux, ce qui signifie qu’au dépassement de l’état limite d’équilibre la pression résultante du sol q agit sous un angle ϕ par rapport à la normale à la surface de glissement, c’est-à-dire dans le sens vertical (fig. 3). Comme, sous l’action de la charge, le coin se déplace verticalement vers le bas, le problème d’équilibre dans le sol se ramène à la détermination de la pression passive des terres. Cependant, comme le calcul précis de la portance du sol selon cette méthode est compliqué, Terzaghi a proposé une solution simplifiée. La formule de Terzaghi pour calculer la portance limite du sol _q_f s’écrit

1. Pour une semelle de fondation en forme de bande

qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ  

où c est la cohésion du sol

γ1 poids volumique du sol au-dessus du fond de fondation

Df profondeur de fondation sous la surface du terrain jusqu’au fond de fondation

γ2 poids volumique du sol sous le fond de fondation

B largeur du semelle de fondation.

Nc, Nq, Nγ sont des facteurs de portance, dépendant de l’angle de frottement interne du sol ; les valeurs de ce facteur sont données par les expressions suivantes :

Nq est un facteur dû au poids de la couche latérale de sol jusqu’à la profondeur de fondation : Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_

Nc est le facteur dû à la cohésion : Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_

Nγ est le facteur dû au poids propre du coin de terre sous la semelle de fondation, c’est-à-dire sous la largeur de la semelle AB. Brinch Hansen recommande pour cette valeur approximative : Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_

Fig. 4. Répartition des contraintes reçues par le sol sous une charge verticale centrée de la fondation

En raison de la faible différence de poids volumique du sol, on adopte souvent γ1= γ2= γ. D’après l’équation ci-dessus, la capacité portante du sol dépend (fig. 4) de : la cohésion du sol de fondation c, la surcharge du sol à côté de la fondation γ1 D_F, le poids propre du sol de la prisme de glissement actif de largeur B.

Cependant, tandis que la répartition des contraintes que reçoit le sol sous l’effet de la cohésion c et de la profondeur d’assise Df est uniforme sur toute la largeur, c’est-à-dire rectangulaire, la répartition des contraintes que reçoit le sol sous l’influence de la largeur B est triangulaire, c’est-à-dire que les contraintes maximales sont reprises au milieu de la fondation et diminuent vers les bords où elles sont égales à zéro.

Fig. 5. Diagramme du facteur de portance en fonction de l’angle de frottement interne du sol selon Terzaghi

Pour différentes valeurs de l’angle de 0 à 40°, Terzaghi a établi des diagrammes des facteurs de portance (fig. 5). Toutefois, les facteurs de portance Nc, Nq et Nγ (lignes pleines sur la figure 5) ne peuvent être adoptés que dans le cas d’un sol dense et ferme. Si le sol est meuble ou plus fortement compressible, il faut alors adopter les facteurs de portance N’c, N’q et N’γ (lignes pointillées sur la fig. 5), qui donnent des valeurs 2/3 de la résistance au frottement. En outre, dans ce cas, il faut prendre 2/3 des valeurs de la cohésion c obtenues en laboratoire, de sorte que dans ce cas nous avons qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.

2. Pour une semelle de fondation de forme rectangulaire

qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ  où L est la longueur de la semelle

3. Pour une semelle en terre de forme carrée

qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ  

4. Pour la semelle circulaire

qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ  où r est le rayon de la semelle de fondation.

Pour le calcul de la charge admissible du sol, on adopte le facteur de sécurité F : qa = qf/F. La valeur du facteur de sécurité va de 2 à 3 selon les conditions du sol et de charge.

Application des formules mathématiques

L’application de formules mathématiques pour déterminer la charge admissible du sol exige la connaissance des caractéristiques géomécaniques du sol, à savoir la cohésion et le frottement interne à la profondeur de fondation, ainsi que du poids volumique du sol au-dessus et au-dessous du fond de fondation. Si le sol de fondation se trouve au-dessous du niveau de la nappe phréatique, il faut également tenir compte de la poussée d’Archimède lors de la détermination du poids volumique du sol.

Pour des charges de sol plus élevées et des ouvrages plus importants, lorsque la valeur obtenue de la charge admissible du sol, calculée sur la base de formules mathématiques, est pleinement exploitée, le calcul de la portance du sol doit être accompagné d’un calcul des tassements. La portance calculée du sol n’est retenue que si le calcul des tassements donne un tassement inférieur à celui admissible pour le type d’ouvrage considéré. Dans le cas où le calcul donne un tassement supérieur à la valeur admissible, la valeur calculée de la charge admissible du sol au moyen des formules de calcul n’est pas retenue ; il faut alors modifier le mode de fondation de façon à obtenir un tassement plus faible, dans les limites du tassement admissible pour la structure donnée.

Fig. 6. Profondeur efficace de fondation D__f

Dans les formules mathématiques servant à déterminer la portance limite du sol, le frottement latéral de la fondation n’a pas été pris en compte, bien qu’il participe lui aussi comme résistance à l’action de la charge, lorsque la fondation est en contact ferme avec le sol sur ses côtés. La résistance de frottement latéral ne doit pas être prise en considération, car le frottement latéral réel n’existe que pour les pieux battus dans le sol, alors que, pour les semelles de fondation, le frottement latéral est négligeable, puisque les semelles sont réalisées dans des fouilles préalablement excavées.

L’application de formules mathématiques qui ne tiennent pas compte de la forme des fondations donne les résultats les plus approchés pour les fondations en bande, c’est-à-dire lorsque la longueur de la fondation est plus de deux fois supérieure à sa largeur. Des essais ont montré que, pour des semelles de fondation de forme carrée ou circulaire, la rupture survient à une charge limite supérieure de 10-30% à celle calculée au moyen des formules mathématiques. Les semelles de forme triangulaire donnent une capacité portante plus faible que les semelles en bande, et les semelles de forme annulaire donnent la capacité portante la plus faible, si elles ne sont pas remplies.

La profondeur de fondation Df se calcule comme la profondeur effective de fondation sous le terrain de base de la fondation jusqu’au fond de fondation (Fig. 6). Dans le cas de fondations sous des locaux souterrains, la profondeur effective de fondation Df diffère de la profondeur de fondation et de celle sous la surface du terrain. Dans de tels cas, pour le calcul de la charge limite et admissible du sol, il faut toujours retenir Df, puisque au-dessus du terrain de base de la fondation se trouve de l’air qui ne s’oppose pas au refoulement latéral du sol sous l’effet de la charge de fondation P.