Portanza del terreno

Nella meccanica dei terreni si determinano la capacità portante limite del terreno e il carico ammissibile del terreno.

La capacità portante limite del terreno è quella che si raggiunge nel momento in cui si verifica la rottura del terreno. La rottura del terreno si verifica quando il carico con cui la fondazione agisce sul terreno supera la sua resistenza al taglio. In tal caso, sotto l’azione del carico della fondazione P compaiono le superfici di minima resistenza ACD e BCE – superfici di scorrimento fig. 1, lungo le quali il terreno viene spinto lateralmente e contemporaneamente si ha il sollevamento del terreno al di sopra della superficie del terreno accanto all’oggetto DG e EF, mentre la fondazione stessa sprofonda.

Fig. 1. Rottura del terreno sotto l’azione del carico di fondazione

La resistenza al taglio del terreno aumenta con la profondità di fondazione t, poiché, a causa del peso degli strati superiori, diminuisce la possibilità di espulsione laterale. Di conseguenza, le fondazioni profonde tendono meno a provocare la rottura del terreno, mentre le fondazioni superficiali sono a rischio di rottura. Allo stesso modo, le fondazioni larghe tendono meno a provocare la rottura del terreno, perché le superfici di scorrimento sono più profonde.

Il carico ammissibile del terreno è quello che può essere lasciato agire sul terreno senza provocarne la rottura nelle condizioni più sfavorevoli possibili. Il carico ammissibile del terreno si determina sulla base della capacità portante limite del terreno mediante l’impiego di un fattore di sicurezza. La grandezza del fattore di sicurezza dipende da diversi fattori, tra i quali i più importanti sono l’accuratezza delle caratteristiche fisiche del terreno, la possibilità di variazioni dei valori degli elementi della resistenza interna del terreno, in particolare della coesione, il cui valore può variare entro ampi limiti sotto l’azione dell’acqua nel terreno, nonché l’influenza di altri possibili fattori, come le condizioni di carico (possibilità di carico improvviso e dinamico), la profondità di fondazione e la larghezza della base di fondazione.

La portanza del terreno può essere determinata in base alla rottura del terreno, che fornisce la portanza limite. Per portanza limite del terreno si intende il valore del carico che provoca la rottura. Esistono due modi per determinare la portanza limite in base alla rottura del terreno, e cioè soluzione matematica e carico di prova.

Soluzione matematica

Molti studiosi hanno cercato di trovare una soluzione matematica per determinare la capacità portante limite del terreno, sulla base della conoscenza dei fattori influenti e di diverse ipotesi sulle condizioni di rottura. I fattori influenti sono le caratteristiche fisiche del terreno, determinate mediante prove di laboratorio su campioni indisturbati di terreno, la condizione della falda freatica, la profondità di fondazione, la dimensione e la forma della superficie caricata, nonché il modo di carico, cioè carico uniforme o non uniforme, centrico o eccentrico del terreno. Le ipotesi sulle condizioni di rottura si basano sulla teoria della plasticità e sulla teoria dell’elasticità. Tuttavia i metodi moderni di determinazione della capacità portante del terreno si basano sulla teoria della plasticità, combinata con alcune ipotesi semplificate.

Qui presenteremo alcuni noti metodi di calcolo per la determinazione della capacità portante ultima, ossia del carico ammissibile del terreno.

Schema Prandtl-Caquot

Se la suola di fondazione AB è realizzata a una profondità t sotto la superficie del terreno, a questa profondità agisce la pressione di contatto po dovuta al carico della fondazione e la pressione laterale p=γt dovuta al peso del terreno al di sopra del livello della suola di fondazione fino alla superficie del terreno (fig. 2).

Sotto l’azione diretta del peso della fondazione, nel momento in cui si supera la capacità portante limite del terreno compaiono le superfici di scorrimento rette AC e BC, che formano con la superficie caricata un angolo α = 45° + ϕ/2. Queste superfici di scorrimento formano il cuneo di terreno attivo ABC.

Fig. 2. Superfici di scorrimento a forma di spirale logaritmica sotto l’azione di una fondazione caricata centralmente secondo Prandtl-Caquot

Sotto l’azione della pressione del prisma di terreno attivo si formano lateralmente i prismi di terreno passivi ADD1 e BEE1, che esso tende a spingere verso l’alto lungo le superfici di scorrimento DD1 e EE1, con un angolo di 45°-ϕ/2 rispetto all’orizzontale. Tra la zona della pressione attiva e quella della pressione passiva esiste una zona di taglio radiale ACD rispettivamente BCE, nella quale, al superamento dell’equilibrio limite, lo scorrimento avviene lungo superfici di scorrimento curve. Résal calcolò che le superfici di scorrimento nella zona di taglio radiale hanno la forma di una spirale logaritmica con polo in A rispettivamente B, la cui equazione è r=r0 eπ tg_ϕ_

Per determinare il carico limite del terreno sono state fatte le seguenti ipotesi:

• che la fondazione sia liscia, cioè l’attrito tra la suola di fondazione e il terreno è trascurato;
• che la resistenza al taglio del terreno lungo le superfici D1M e E1N non esiste, ossia viene trascurata;
• che il peso di volume del terreno al di sotto del piano di fondazione γ=0, ossia si trascura l’influenza del peso del terreno al di sotto della platea di fondazione, nella zona di equilibrio plastico.

La forma di Prandtl-Caquota è la seguente:

La portanza limite del terreno è

Se poniamo:

la capacità portante limite del terreno coesivo è qf = γtm + cm1.

Per diversi valori dell’angolo di attrito interno del terreno, i valori di m e m1 sono riportati nella tabella 1.

Tab. 1. Valori dei coefficienti m e m__1 per diversi valori dell’angolo di attrito interno del terreno

Il carico ammissibile del terreno è qa = pdozv = qf/F dove F è il fattore di sicurezza. Per l’applicazione della formula di Prandtl-Caquot si assume F = 4, quindi qa = qf/4.

Formula di Terzaghi

Terzaghi ha proposto uno schema semiempiroco per il calcolo della capacità portante ultima del terreno sotto l’azione di carichi a forma di striscia, quadrato e piastra circolare. Egli considerò una fondazione posta alla profondità Df sotto la superficie del terreno, di larghezza B (fig. 3), e assunse che esista attrito tra la platea di fondazione AB e il terreno, che si oppone allo spostamento laterale del terreno, e che le superfici di scorrimento AB e BC formino con la superficie caricata un angolo di attrito interno.

Fig. 3. Portanza limite del terreno secondo Terzaghi

Di conseguenza, il terreno nel cuneo di terra ABC, compreso tra la fondazione AB e le superfici di scorrimento AC e BC, rimane in uno stato di equilibrio elastico e si comporta come parte della fondazione. Il prisma ABC non può essere spinto fino a quando le pressioni sulle sue facce AC e BC non risultino uguali alla pressione passiva del terreno dei prismi laterali, il che significa che, al superamento dello stato limite di equilibrio, la pressione risultante del terreno q agisce con un angolo ϕ rispetto alla normale alla superficie di scorrimento, cioè in direzione verticale (fig. 3). Poiché sotto l’azione del carico il cuneo si muove verticalmente verso il basso, il problema dell’equilibrio nel terreno si riduce alla determinazione della pressione passiva del terreno. Tuttavia, poiché il calcolo esatto della capacità portante del terreno con questo metodo è complicato, Terzaghi ha fornito una soluzione semplificata. La formula di Terzaghi per il calcolo della capacità portante limite del terreno _q_f recita

1. Per una fondazione a nastro

qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ  

dove c è la coesione del suolo

γ1 peso volumico del terreno sopra il piano di fondazione

Df profondità di fondazione sotto la superficie del terreno fino al piano di fondazione

γ2 peso di volume del terreno al di sotto del piano di fondazione

B larghezza della fondazione.

Nc, Nq, Nγ sono fattori di portanza, dipendenti dall’angolo di attrito interno del terreno; i valori di questo fattore sono dati dalle seguenti espressioni:

Nq è il fattore dovuto al peso dello strato laterale di terreno fino alla profondità di fondazione: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_

Nc è il fattore dovuto alla coesione: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_

Nγ è il fattore dovuto al peso proprio del cuneo di terreno sotto la piastra di fondazione, cioè sotto la larghezza della piastra AB. Il valore di questo fattore è raccomandato da Brinch Hansen come approssimativo: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_

Fig. 4. Distribuzione delle tensioni che il terreno riceve sotto carico verticale centrico della fondazione

A causa della piccola differenza nel peso di volume del suolo, spesso si assume γ1= γ2= γ. In base alla precedente equazione, la capacità portante del terreno dipende (fig. 4) da: coesione del terreno di fondazione c, carico del terreno accanto alla fondazione _γ1 D_F, peso proprio del terreno del prisma di scorrimento attivo di larghezza B.

Tuttavia, mentre la distribuzione delle tensioni che il terreno riceve a causa dell’azione della coesione c e della profondità di fondazione Df è uniforme su tutta la larghezza, cioè rettangolare, la distribuzione delle tensioni che il terreno riceve per effetto della larghezza B è triangolare, cioè le massime tensioni si hanno al centro della fondazione e diminuiscono verso i bordi, dove sono pari a zero.

Fig. 5. Diagramma del fattore di capacità portante in funzione dell’angolo di attrito interno del terreno secondo Terzaghi

Per diversi valori dell’angolo da 0 a 40°, Terzaghi ha elaborato diagrammi dei coefficienti di portanza (fig. 5). Tuttavia i coefficienti di portanza Nc, Nq e Nγ (linee continue nella figura 5) possono essere adottati solo nel caso di terreno compatto e consistente. Se il terreno è sciolto o più comprimibile, allora occorre adottare i coefficienti di portanza N’c, N’q e N’γ (linee tratteggiate nella fig. 5), che danno valori 2/3 della resistenza per attrito. Inoltre, in questo caso occorre assumere valori 2/3 della coesione c ottenuti in laboratorio, così che in tal caso abbiamo qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.

2. Per la platea di fondazione di forma rettangolare

qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ  dove L è la lunghezza della fondazione continua

3. Per una base di fondazione di forma quadrata

qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ  

4. Per una fondazione isolata di forma circolare

qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ  dove r è il raggio della fondazione a piede.

Per il calcolo del carico ammissibile del terreno si adotta il fattore di sicurezza F: qa = qf/F. Il valore del fattore di sicurezza varia da 2 a 3 in base alle condizioni del terreno e del carico.

Applicazione delle espressioni matematiche

L’applicazione delle formule matematiche per la determinazione del carico ammissibile del terreno richiede la conoscenza delle caratteristiche geomeccaniche del terreno, vale a dire della coesione e dell’attrito interno alla quota di fondazione, nonché del peso di volume del terreno sopra e sotto il piano di fondazione. Se il terreno di fondazione si trova al di sotto del livello della falda freatica, occorre tenere conto anche della spinta di galleggiamento nel determinare il peso di volume del terreno.

Per carichi del terreno maggiori e per opere di dimensioni maggiori, quando il valore ottenuto del carico ammissibile sul terreno, sulla base di formule matematiche, viene sfruttato completamente, il calcolo della capacità portante del terreno deve essere accompagnato dal calcolo dei cedimenti. La capacità portante del terreno calcolata viene assunta solo se dal calcolo dei cedimenti risulta un cedimento minore di quello ammesso per il tipo di opera in questione. Nel caso in cui il calcolo dia un cedimento maggiore di quello ammesso, il valore calcolato del carico ammissibile sul terreno, mediante le formule di calcolo, non viene assunto, ma occorre modificare il modo di fondazione in modo da ottenere un cedimento minore, entro i limiti del cedimento ammesso per la struttura data dell’opera.

Fig. 6. Profondità efficace di fondazione D__f

Nelle formule matematiche per la determinazione della portanza limite del terreno non si è tenuto conto dell’attrito del mantello della fondazione, che contribuisce anch’esso come resistenza all’azione del carico, purché la fondazione sia a stretto contatto con il terreno sui lati. La resistenza per attrito del mantello non va considerata, perché l’attrito reale del mantello esiste solo nei pali infissi nel terreno, mentre nelle fondazioni a plinto l’attrito del mantello è trascurabile, poiché i plinti vengono realizzati in fosse previamente scavate.

L’applicazione di formule matematiche che non tengono conto della forma della fondazione fornisce i risultati più approssimati per fondazioni a nastro, cioè quando la lunghezza della fondazione è più di due volte maggiore della sua larghezza. Dagli esperimenti è stato stabilito che, nel caso di plinti di fondazione di forma quadrata o circolare, la rottura si verifica a un carico limite che è del 10-30% superiore a quello calcolato con le formule matematiche. I plinti di forma triangolare danno una capacità portante inferiore rispetto alla striscia, mentre la capacità portante minima è data dai plinti ad anello, se non sono riempiti.

La profondità di fondazione Df si calcola come profondità efficace di fondazione dal piano di posa del terreno fino al fondo della fondazione (Fig. 6). Nel caso di fondazioni sotto locali interrati, la profondità efficace di fondazione Df differisce dalla profondità di fondazione anche rispetto alla superficie del terreno. In tali casi, per il calcolo del carico limite e del carico ammissibile del terreno si deve sempre assumere Df, poiché sopra il piano di posa della fondazione vi è aria che non si oppone allo spostamento laterale del terreno sotto l’azione del carico della fondazione P.