In de grondmechanica worden de grensdraagkracht van de grond en de toelaatbare belasting van de grond bepaald.
Grensdraagvermogen van de grond is datgene wat wordt bereikt op het moment dat grondbreuk optreedt. Grondbreuk treedt op wanneer de belasting waarmee de fundering op de grond werkt de schuifsterkte ervan overschrijdt. In dat geval verschijnen onder invloed van de belasting van de fundering P de vlakken van de minste weerstand ACD en BCE – glijvlakken afb. 1, waarlangs de grond zijwaarts wordt uitgeperst en tegelijkertijd grondopstuwing optreedt boven het maaiveld naast het object DG en EF, terwijl de fundering zelf zakt.
Afb. 1. Breuk van de grond onder invloed van de belasting van de fundering
De schuifsterkte van de grond neemt toe met de funderingsdiepte t, omdat door het gewicht van de bovenliggende lagen de mogelijkheid van zijdelingse uitpersing afneemt. Dienovereenkomstig leiden diepe funderingen minder snel tot grondbreuk, terwijl ondiepe funderingen gevaarlijk zijn wat breuk betreft. Evenzo leiden brede funderingen minder snel tot grondbreuk, omdat de glijvlakken dieper liggen.
Toelaatbare belasting van de grond is die belasting die op de grond mag inwerken, zonder dat onder de meest ongunstige mogelijke omstandigheden grondbreuk optreedt. De toelaatbare gronddruk wordt bepaald op basis van de grensdraagkracht van de grond met toepassing van een veiligheidsfactor. De grootte van de veiligheidsfactor hangt van meerdere factoren af, waaronder vooral de nauwkeurigheid van de fysische eigenschappen van de grond, de mogelijkheid van veranderingen in de waarden van de elementen van de inwendige weerstand van de grond, met name de cohesie, waarvan de waarde onder invloed van water in de grond binnen ruime grenzen kan variëren, en vervolgens de invloed van mogelijke andere factoren, zoals belastingsomstandigheden (mogelijkheid van plotselinge en dynamische belasting), funderingsdiepte en breedte van de funderingszool.
De draagkracht van de bodem kan worden bepaald op basis van grondbreuk, die de grensdraagkracht oplevert. Onder de grensdraagkracht van de bodem wordt de grootte van de belasting verstaan die de breuk veroorzaakt. Er zijn twee manieren om de grensdraagkracht op basis van grondbreuk te bepalen, namelijk de wiskundige oplossing en de proefbelasting.
Wiskundige oplossing
Veel wetenschappers hebben geprobeerd een wiskundige oplossing te vinden voor het bepalen van het grensdraagvermogen van de grond, op basis van kennis van de beïnvloedende factoren en onder verschillende aannamen van de breukvoorwaarden. De beïnvloedende factoren zijn de fysische kenmerken van de grond, die worden bepaald door laboratoriumproeven op ongestoorde grondmonsters, de grondwaterstand, de funderingsdiepte, de grootte en vorm van het belaste oppervlak, evenals de wijze van belasting, d.w.z. gelijkmatige of ongelijkmatige, centrische of excentrische belasting van de grond. De aannamen over de breukvoorwaarden zijn gebaseerd op de plastische-theorie en de elasticiteitstheorie. Moderne methoden voor het bepalen van het draagvermogen van de grond zijn echter gebaseerd op de plastische theorie, die wordt gecombineerd met enkele vereenvoudigde aannamen.
Hier zullen wij enkele bekende rekenmethoden voor het bepalen van het grensdraagvermogen, respectievelijk de toelaatbare bodembelasting, uiteenzetten.
Prandtl-Caquot-vorm
Als de funderingsvoet AB is gefundeerd op een diepte t onder het maaiveld, heerst op deze diepte de contactdruk p als gevolg van de belasting van de fundering en de zijwaartse druk p=γt als gevolg van het gewicht van de grond boven het niveau van de funderingsvoet tot aan het maaiveld (afb. 2).
Onder de directe werking van het gewicht van de fundering verschijnen, op het moment dat de grensdraagkracht van de grond wordt overschreden, de rechte glijvlakken AC en BC, die met het belaste oppervlak een hoek α = 45° + ϕ/2 vormen. Deze glijvlakken vormen de actieve gronddriehoek ABC.
Afb. 2. Glijvlakken in de vorm van een logaritmische spiraal onder invloed van een centrisch belaste funderingsvoet volgens Prandtl-Caquot
Onder invloed van de druk van de actieve grondprisma ontstaan zijdelings passieve grondprisma’s ADD1 en BEE1, die deze tracht omhoog te duwen langs de glijvlakken DD1 en EE1, onder een hoek van 45°-ϕ/2 met de horizontaal. Tussen de zone van actieve en passieve gronddruk bestaat een zone van radiale schuif ACD respectievelijk BCE, waarin bij overschrijding van het grens-evenwicht glijden optreedt langs gebogen glijvlakken. Résal heeft berekend dat de glijvlakken in de zone van radiale schuif de vorm hebben van een logaritmische spiraal met pool in A respectievelijk B, waarvan de vergelijking r=r0 eπ tg_ϕ_ is
Voor het bepalen van de grensbelasting van de grond werden de volgende aannamen gedaan:
- dat de fundering glad is, respectievelijk dat de wrijving tussen de funderingsvoet en de grond wordt verwaarloosd;
- dat de schuifsterkte van de grond langs de oppervlakken D1M en E1N niet bestaat, respectievelijk buiten beschouwing wordt gelaten;
- dat het volumieke gewicht van de grond onder de funderingsvoet γ=0 is, dus het effect van het gewicht van de grond onder de funderingszool wordt verwaarloosd, in de zone van plastisch evenwicht.
Het Prandtl-Caquota-model luidt:
Het grensdraagvermogen van de grond is
Als we stellen:
de grensdraagkracht van cohesieve grond is qf = γtm + cm1.
Voor verschillende waarden van de hoek van inwendige wrijving van de grond zijn de waarden voor m en m1 gegeven in tabel 1.
Tbl. 1. Waarden van de coëfficiënten m en m__1 voor verschillende waarden van de inwendige wrijvingshoek van de bodem
De toelaatbare grondbelasting is qa = pdozv = qf/F waarbij F de veiligheidsfactor is. Voor toepassing van de Prandtl-Caquot-formule wordt F = 4 aangenomen, zodat qa = qf/4.
Terzaghi-formule
Terzaghi gaf een semi-empirische formule voor het berekenen van het ultieme draagvermogen van de grond onder belasting in de vorm van een strook, een vierkant en een ronde plaat. Hij beschouwde een fundering op een diepte Df onder het maaiveld, met breedte B (fig. 3), en nam aan dat er wrijving bestaat tussen de funderingszool AB en de grond, die zich verzet tegen de zijdelingse verplaatsing van de grond, en dat de glijvlakken AB en BC een hoek van inwendige wrijving met het belaste oppervlak insluiten.
Fig. 3. Grensdraagkracht van de grond volgens Terzaghi
Daardoor blijft de grond in de grondwig ABC, omsloten door de fundering AB en de glijvlakken AC en BC, in een toestand van elastisch evenwicht en gedraagt zij zich als onderdeel van de fundering. De prisma ABC kan niet worden voortgedrukt zolang de drukken op de zijden AC en BC niet gelijk zijn aan de passieve gronddruk van de zijprisma’s, wat betekent dat bij overschrijding van de grens-toestand van evenwicht de resulterende gronddruk q onder de hoek ϕ ten opzichte van de normaal op het glijvlak werkt, dus in verticale richting (afb. 3). Aangezien de wig onder invloed van de belasting verticaal naar beneden beweegt, komt het evenwichtsprobleem in de grond neer op het bepalen van de passieve gronddruk. Omdat een nauwkeurige berekening van het draagvermogen van de grond volgens deze methode echter ingewikkeld is, gaf Terzaghi een vereenvoudigde oplossing. De formule van Terzaghi voor de berekening van het grensdraagvermogen van de grond _q_f luidt
- Voor een funderingsvoet in strookvorm
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
waarbij c de cohesie van de bodem is
γ1 volumieke massa van de grond boven de funderingsvoet
Df funderingsdiepte onder het maaiveld tot aan de funderingsvoet
γ2 volumieke gewicht van de grond onder de funderingsvoet
B breedte van de funderingszool.
Nc, Nq, Nγ zijn draagkrachtfactoren, afhankelijk van de hoek van inwendige wrijving van de grond; de waarden van deze factor zijn gegeven door de volgende formules:
Nq is een factor als gevolg van het gewicht van de zijdelingse grondlaag tot aan de funderingsdiepte: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc is de factor ten gevolge van cohesie: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ is de factor als gevolg van het eigengewicht van de grondwig onder de funderingszool, respectievelijk onder de breedte van de zool AB. De waarde van deze factor wordt door Brinch Hansen aanbevolen als benadering: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
Afb. 4. Verdeling van de spanningen die de grond onder verticale centrische belasting van de fundering opneemt
Vanwege het kleine verschil in volumieke massa van de grond wordt vaak γ1= γ2= γ aangenomen. Volgens de voorgaande vergelijking hangt het draagvermogen van de grond af (afb. 4) van: de cohesie van de funderingsgrond c, de grondbelasting naast de fundering _γ1 D_F, het eigengewicht van de grond van de actieve glijprisma met breedte B.
Maar terwijl de verdeling van de spanningen die de grond opneemt ten gevolge van de werking van de cohesie c en de funderingsdiepte Df over de volle breedte gelijkmatig is, d.w.z. rechthoekig, is de verdeling van de spanningen die de grond opneemt onder invloed van de breedte B driehoekig, d.w.z. de grootste spanningen worden in het midden van de fundering opgenomen en nemen af naar de randen waar zij nul zijn.
Afb. 5. Diagram van de draagkrachtfactor in functie van de hoek van inwendige wrijving van de grond volgens Terzaghi
Voor verschillende waarden van de hoek van 0 tot 40° heeft Terzaghi diagrammen van de draagkrachtfactoren opgesteld (fig. 5). De draagkrachtfactoren Nc, Nq en Nγ (volle lijnen op fig. 5) kunnen echter alleen worden toegepast in het geval van dichte en stevige grond. Als de grond los is of sterker samendrukbaar, dan moeten de draagkrachtfactoren N’c, N’q en N’γ (stippellijnen op fig. 5) worden toegepast, die 2/3 waarden van de wrijvingsweerstand geven. Daarnaast moet in dit geval 2/3 van de in het laboratorium verkregen cohesie c worden genomen, zodat in dat geval geldt qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.
2. Voor een rechthoekige funderingsvoet
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ waarbij L de lengte van de funderingszool is
3. Voor een grondvoet in de vorm van een vierkant
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. Voor de funderingsvoet met ronde vorm
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ waarbij r de straal van de funderingszool is.
Voor de berekening van de toelaatbare gronddruk wordt veiligheidsfactor F aangehouden: qa = qf/F. De waarde van de veiligheidsfactor varieert van 2 tot 3 afhankelijk van bodem- en belastingsomstandigheden.
Toepassing van wiskundige formules
De toepassing van wiskundige formules voor het bepalen van de toelaatbare grondbelasting vereist kennis van de geomechanische eigenschappen van de grond, namelijk de cohesie en de inwendige wrijving op de funderingsdiepte, en van het volumieke gewicht van de grond boven en onder de funderingsvoet. Als de funderingsgrond zich onder het grondwaterpeil bevindt, moet bij het bepalen van het volumieke gewicht van de grond ook het drijfvermogen in aanmerking worden genomen.
Bij grotere bodembelastingen en grotere objecten, wanneer de verkregen waarde van de toelaatbare bodemdruk op basis van mathematische formules volledig wordt benut, moet de berekening van het draagvermogen van de grond worden vergezeld door een zettingsberekening. De berekende grond draagkracht wordt alleen aanvaard als door de zettingsberekening een kleinere zetting wordt verkregen dan voor het betreffende type object is toegestaan. Indien de berekening een zetting oplevert die groter is dan de toegestane, wordt de berekende waarde van de toelaatbare bodemdruk volgens de rekenformules niet aanvaard, maar moet de funderingsmethode zodanig worden gewijzigd dat een kleinere zetting wordt bereikt, binnen de grenzen van de toegestane zetting voor de betreffende constructie.
Afb. 6. Effectieve funderingsdiepte D__f
In de wiskundige formules voor het bepalen van het grensdraagvermogen van de bodem is geen rekening gehouden met de wrijving langs de funderingsomtrek, die eveneens als weerstand tegen de belasting werkt, mits de fundering aan de zijkanten stevig contact maakt met de bodem. De omtrekwrijving moet niet in aanmerking worden genomen, omdat echte omtrekwrijving alleen voorkomt bij palen die in de grond worden geheid, terwijl bij funderingszolen de omtrekwrijving verwaarloosbaar is, aangezien de zolen in vooraf uitgegraven putten worden aangebracht.
Het toepassen van wiskundige formules waarbij geen rekening wordt gehouden met de vorm van de fundering geeft de meest benaderende resultaten voor strookfunderingen, d.w.z. wanneer de lengte van de fundering meer dan tweemaal zo groot is als de breedte. Uit proeven is vastgesteld dat bij funderingszolen in de vorm van een vierkant of cirkel het bezwijken optreedt bij een grensbelasting die 10-30% groter is dan die berekend volgens de wiskundige formules. Driehoekige zolen geven een lager draagvermogen dan stroken, en het kleinste draagvermogen wordt geleverd door ringvormige zolen, indien zij niet zijn gevuld.
De funderingsdiepte Df wordt berekend als de effectieve funderingsdiepte onder de ondergrond van de funderingsvoet tot aan de funderingsbodem (Afb. 6). Bij funderingen onder ondergrondse ruimten verschilt de effectieve funderingsdiepte Df van de funderingsdiepte onder het maaiveld. In dergelijke gevallen moet voor de berekening van de grens- en toegestane grondbelasting altijd Df worden genomen, aangezien boven de ondergrond van de funderingsvoet lucht aanwezig is die zich niet verzet tegen de zijdelingse verplaatsing van de grond onder invloed van de belasting van de fundering P.