W mechanice gruntów określa się graniczną nośność gruntu i dopuszczalne obciążenie gruntu.
Nośność graniczna gruntu to ta, która zostaje osiągnięta w chwili, gdy następuje jego zniszczenie. Zniszczenie gruntu występuje wtedy, gdy obciążenie, jakim fundament oddziałuje na grunt, przekroczy jego wytrzymałość na ścinanie. W takim przypadku, pod wpływem obciążenia fundamentu P pojawiają się powierzchnie najmniejszego oporu ACD i BCE – powierzchnie poślizgu rys. 1, po których grunt jest wypychany na boki, a jednocześnie dochodzi do unoszenia gruntu ponad powierzchnię terenu przy obiekcie DG i EF, podczas gdy sam fundament osiada.
Rys. 1. Zniszczenie gruntu pod wpływem obciążenia fundamentu
Wytrzymałość gruntu na ścinanie zwiększa się wraz z głębokością posadowienia t, ponieważ wskutek ciężaru warstw górnych zmniejsza się możliwość bocznego wyciskania. W związku z tym głębokie fundamenty rzadziej powodują zniszczenie gruntu, natomiast płytkie fundamenty są pod tym względem niebezpieczne. Podobnie szerokie fundamenty rzadziej powodują zniszczenie gruntu, ponieważ powierzchnie poślizgu są głębiej położone.
Dopuszczalne obciążenie gruntu to takie, które można dopuścić do działania na grunt, tak aby nie spowodować zniszczenia gruntu w najniekorzystniejszych możliwych warunkach. Dopuszczalne obciążenie gruntu określa się na podstawie granicznej nośności gruntu z zastosowaniem współczynnika bezpieczeństwa. Wartość współczynnika bezpieczeństwa zależy od wielu czynników, spośród których najważniejsze są dokładność fizycznych właściwości gruntu, możliwość zmian wartości elementów wewnętrznego oporu gruntu, zwłaszcza spójności, której wartość może się zmieniać w szerokich granicach pod wpływem wody w gruncie, a także wpływ innych możliwych czynników, takich jak warunki obciążenia (możliwość nagłego i dynamicznego obciążenia), głębokość posadowienia oraz szerokość ławy fundamentowej.
Nośność gruntu można określić na podstawie zniszczenia gruntu, które daje nośność graniczną. Przez graniczną nośność gruntu rozumie się wartość obciążenia powodującego zniszczenie. Istnieją dwa sposoby określania granicznej nośności na podstawie zniszczenia gruntu, a mianowicie rozwiązanie matematyczne i obciążenie próbne.
Rozwiązanie matematyczne
Wielu naukowców próbowało znaleźć matematyczne rozwiązanie do określenia granicznej nośności gruntu, w oparciu o znajomość czynników wpływających i przy różnych założeniach warunków zniszczenia. Czynniki wpływające to właściwości fizyczne gruntu, określane laboratoryjnie na niezakłóconych próbkach gruntu, stan wody gruntowej, głębokość posadowienia, wielkość i kształt obciążonej powierzchni, a także sposób obciążenia, tj. równomierne lub nierównomierne, centralne lub mimośrodowe obciążenie gruntu. Założenia dotyczące warunków zniszczenia opierają się na teorii plastyczności i teorii sprężystości. Jednak nowoczesne metody określania nośności gruntu opierają się na teorii plastyczności, łączonej z niektórymi uproszczonymi założeniami.
Przedstawimy tu kilka znanych metod obliczeniowych wyznaczania nośności granicznej, względnie dopuszczalnego obciążenia gruntu.
Przypadek Prandtl-Caquota
Jeżeli stopa fundamentowa AB jest posadowiona na głębokości t poniżej powierzchni terenu, na tej głębokości występuje ciśnienie kontaktowe po wskutek obciążenia fundamentu oraz boczny nacisk p=γt wskutek ciężaru gruntu od poziomu stopy fundamentowej do powierzchni terenu (rys. 2).
Pod bezpośrednim działaniem ciężaru fundamentu, w chwili przekroczenia granicznej nośności gruntu pojawiają się proste powierzchnie poślizgu AC i BC, które tworzą z obciążoną powierzchnią kąt α = 45° + ϕ/2. Te powierzchnie poślizgu tworzą aktywny klin gruntu ABC.
Rys. 2. Powierzchnie poślizgu w kształcie spirali logarytmicznej pod działaniem centralnie obciążonej stopy fundamentowej według Prandtla-Caquota
Pod wpływem nacisku aktywnej klina gruntowego tworzą się boczne bierne klina gruntowe ADD1 i BEE1, które ta dąży wypchnąć ku górze po powierzchniach poślizgu DD1 i EE1, pod kątem 45°-ϕ/2 względem poziomu. Między strefą aktywnego i biernego parcia gruntu istnieje strefa ścinania promieniowego ACD względnie BCE, w której po przekroczeniu stanu granicznej równowagi poślizg powstaje po krzywych powierzchniach poślizgu. Résal obliczył, że powierzchnie poślizgu w strefie ścinania promieniowego mają kształt spirali logarytmicznej z biegunem w A względnie B, której równanie r=r0 eπ tg_ϕ_
Do określenia granicznego obciążenia gruntu przyjęto następujące założenia:
- że fundament jest gładki, to znaczy tarcie między stopą fundamentową a gruntem pomija się;
- że wytrzymałość gruntu na ścinanie wzdłuż powierzchni D1M i E1N nie występuje, czyli się ją pomija;
- że ciężar objętościowy gruntu poniżej dna fundamentu γ=0, czyli pomija się wpływ ciężaru gruntu poniżej stopy fundamentowej, w strefie równowagi plastycznej.
Wzór Prandtla-Caquota brzmi:
Graniczna nośność gruntu wynosi
Jeśli podstawimy:
graniczna nośność gruntu spoistego wynosi qf = γtm + cm1.
Dla różnych wartości kąta tarcia wewnętrznego gruntu wartości m i m1 podano w tabeli 1.
Tab. 1. Wartości współczynników m i m__1 dla różnych wartości kąta tarcia wewnętrznego gruntu
Dopuszczalne obciążenie gruntu wynosi qa = pdozv = qf/F, gdzie F jest współczynnikiem bezpieczeństwa. Dla zastosowania wzoru Prandtla-Caquot przyjmuje się F = 4, zatem qa = qf/4.
Wzór Terzaghiego
Terzaghi podał półempiryczny wzór do obliczania granicznej nośności gruntu pod działaniem obciążeń w kształcie pasa, kwadratu i koła. Rozpatrywał on fundament posadowiony na głębokości Df poniżej powierzchni terenu, o szerokości B (rys. 3), i przyjął, że istnieje tarcie między stopą fundamentową AB a gruntem, które przeciwstawia się bocznemu wypychaniu gruntu, oraz że powierzchnie poślizgu AB i BC tworzą z obciążoną powierzchnią kąt tarcia wewnętrznego.
Rys. 3. Nośność graniczna gruntu według Terzaghiego
Wskutek tego grunt w klinie ziemnym ABC, zawarty między fundamentem AB a powierzchniami poślizgu AC i BC, pozostaje w stanie równowagi sprężystej i zachowuje się jak część fundamentu. Pryzmy ABC nie można przesuwać tak długo, aż naciski na jej ściany AC i BC nie staną się równe pasywnemu parciu gruntu bocznych pryzm, co oznacza, że przy przekroczeniu granicznego stanu równowagi wypadkowy nacisk gruntu q działa pod kątem ϕ względem normalnej do powierzchni poślizgu, tj. w kierunku pionowym (rys. 3). Ponieważ pod wpływem obciążenia klin przemieszcza się pionowo w dół, problem równowagi w gruncie sprowadza się do wyznaczenia pasywnego parcia gruntu. Jednak ponieważ dokładne obliczenie nośności gruntu tą metodą jest skomplikowane, Terzaghi podał rozwiązanie uproszczone. Wzór Terzaghiego do obliczania granicznej nośności gruntu _q_f brzmi
- Dla ławy fundamentowej w kształcie pasa
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
gdzie c to kohezja gruntu
γ1 ciężar objętościowy gruntu nad dnem fundamentu
Df głębokość posadowienia poniżej powierzchni terenu do spodu fundamentu
γ2 ciężar objętościowy gruntu poniżej spodu fundamentu
B szerokość ławy fundamentowej.
Nc, Nq, Nγ są współczynnikami nośności, zależnymi od kąta tarcia wewnętrznego gruntu. Wartości tego współczynnika podane są następującymi wzorami:
Nq jest współczynnikiem wynikającym z ciężaru bocznej warstwy gruntu do głębokości posadowienia: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc jest współczynnikiem wynikającym ze spójności: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ jest współczynnikiem wynikającym z ciężaru własnego klina gruntowego pod stopą fundamentową, czyli pod szerokością stopy AB. Wartość tego współczynnika Brinch Hansen zaleca jako przybliżoną: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
Rys. 4. Rozkład naprężeń przenoszonych przez grunt przy pionowym, centrycznym obciążeniu fundamentu
Ze względu na niewielką różnicę ciężaru objętościowego gruntu często przyjmuje się γ1= γ2= γ. Zgodnie z powyższym równaniem nośność gruntu zależy (rys. 4) od: spójności gruntu rodzimego c, obciążenia gruntu obok fundamentu _γ1 D_F, ciężaru własnego gruntu aktywnego klina poślizgu o szerokości B.
Jednak podczas gdy rozkład naprężeń przekazywanych gruntowi wskutek działania spójności c i głębokości posadowienia Df jest na całej szerokości równomierny, tj. prostokątny, to rozkład naprężeń przekazywanych gruntowi wskutek wpływu szerokości B jest trójkątny, tj. największe naprężenia występują w środku fundamentu i maleją ku krawędziom, gdzie są równe zeru.
Rys. 5. Wykres współczynnika nośności w zależności od kąta tarcia wewnętrznego gruntu według Terzaghiego
Dla różnych wartości kąta od 0 do 40°, Terzaghi opracował diagramy współczynników nośności (rys. 5). Jednak współczynniki nośności Nc, Nq i Nγ (linie ciągłe na rysunku 5) można przyjąć tylko w przypadku gruntu zagęszczonego i zwartego. Jeżeli grunt jest luźny lub silniej ściśliwy, należy przyjąć współczynniki nośności N’c, N’q i N’γ (linie przerywane na rys. 5), które dają 2/3 wartości oporu tarcia. Ponadto w takim przypadku należy przyjąć 2/3 wartości spójności c uzyskane laboratoryjnie, tak że w tym przypadku mamy qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.
2. Dla stopy fundamentowej o kształcie prostokąta
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ gdzie L jest długością stopy fundamentowej
3. Dla stopy fundamentowej o kształcie kwadratu
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. Dla stopy fundamentowej o kształcie kołowym
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ gdzie r jest promieniem podstawy fundamentu.
Do obliczenia dopuszczalnego obciążenia gruntu przyjmuje się współczynnik bezpieczeństwa F: qa = qf/F. Wartość współczynnika bezpieczeństwa waha się od 2 do 3 zależnie od warunków gruntowych i obciążenia.
Zastosowanie wzorów matematycznych
Zastosowanie wzorów matematycznych do określania dopuszczalnego obciążenia gruntu wymaga znajomości charakterystyk geomechanicznych gruntu, a mianowicie spójności i tarcia wewnętrznego na głębokości posadowienia oraz ciężaru objętościowego gruntu powyżej i poniżej spodu fundamentu. Jeżeli grunt podłoża znajduje się poniżej poziomu wody gruntowej, przy określaniu ciężaru objętościowego gruntu należy uwzględnić także wypór.
Przy większych obciążeniach gruntu i większych obiektach, gdy uzyskana wartość dopuszczalnego obciążenia gruntu na podstawie wzorów matematycznych jest w pełni wykorzystywana, obliczenie nośności gruntu powinno być poprzedzone obliczeniem osiadania. Obliczona nośność gruntu jest przyjmowana tylko wtedy, gdy obliczone osiadanie jest mniejsze od dopuszczalnego dla danego rodzaju obiektu. W przypadku gdy obliczeniowo otrzymane osiadanie jest większe od dopuszczalnego, obliczona wartość dopuszczalnego obciążenia gruntu według wzorów obliczeniowych nie jest przyjmowana, lecz należy zmienić sposób posadowienia tak, aby uzyskać mniejsze osiadanie, w granicach dopuszczalnego osiadania dla danej konstrukcji obiektu.
Rys. 6. Efektywna głębokość posadowienia D__f
W matematycznych wzorach do wyznaczania granicznej nośności gruntu nie uwzględniono tarcia pobocznicy fundamentu, które również uczestniczy jako opór przeciw działaniu obciążenia, jeżeli fundament mocno styka się z gruntem po bokach. Oporu tarcia pobocznicy nie należy brać pod uwagę, ponieważ rzeczywiste tarcie pobocznicy występuje tylko przy palach wbijanych w grunt, natomiast przy stopach fundamentowych tarcie pobocznicy jest nieznaczne, gdyż stopy wykonuje się w uprzednio wykopanych dołach.
Zastosowanie wzorów matematycznych, w których nie uwzględnia się kształtu fundamentu, daje najbardziej przybliżone wyniki dla fundamentów pasmowych, tj. gdy długość fundamentu jest ponad dwa razy większa od jego szerokości. Doświadczenia wykazały, że w przypadku stóp fundamentowych o kształcie kwadratu lub koła zniszczenie następuje przy obciążeniu granicznym, które jest o 10-30% większe od obliczonego według wzorów matematycznych. Stopy o kształcie trójkątnym dają mniejszą nośność niż pasmowe, a najmniejszą nośność mają stopy pierścieniowe, o ile nie są wypełnione.
Głębokość posadowienia Df oblicza się jako efektywną głębokość posadowienia od spodu fundamentu do dna fundamentu (Rys. 6). W przypadku fundamentów pod pomieszczeniami podziemnymi efektywna głębokość posadowienia Df różni się od głębokości posadowienia także poniżej powierzchni terenu. W takich przypadkach do obliczenia granicznego i dopuszczalnego obciążenia gruntu należy zawsze przyjąć Df, ponieważ nad podłożem fundamentu znajduje się powietrze, które nie przeciwdziała bocznemu wyparciu gruntu pod wpływem obciążenia fundamentu P.