I jordmekanikk bestemmes grense bæreevne for jord og tillatt belastning på jord.
Grenselasten til jorden er den som oppnås i det øyeblikket jordbrudd inntreffer. Jordbrudd oppstår når belastningen som fundamentet overfører til jorden, overstiger dens skjærstyrke. I så fall opptrer, under påvirkning av fundamentlasten P, flater med minst motstand ACD og BCE – glideflater fig. 1, langs hvilke jorden presses sideveis ut, og samtidig skjer det en heving av jorden over terrengnivå ved siden av objektet DG og EF, mens selve fundamentet synker.
Fig. 1. Jordbrudd under påvirkning av fundamentlast
Jordens skjærfasthet øker med fundamenteringsdybden t, fordi muligheten for sideveis utpressing reduseres på grunn av vekten av de øvre lagene. Derfor fører dype fundamenter vanskeligere til brudd i grunnen, mens grunne fundamenter er utsatt for brudd. På samme måte fører brede fundamenter vanskeligere til brudd i grunnen, fordi glideflatene blir dypere.
Tillatt belastning på jord er den belastningen som kan tillates å virke på jorden slik at det ikke oppstår brudd i jorden under de mest ugunstige mulige forhold. Tillatt jordbelastning fastsettes på grunnlag av jordens grensebæreevne ved bruk av sikkerhetsfaktor. Størrelsen på sikkerhetsfaktoren avhenger av flere faktorer, blant de viktigste er nøyaktigheten i jordens fysiske egenskaper, muligheten for endringer i verdiene til jordens indre motstandselementer, særlig kohesjon, hvis verdi kan variere innen brede grenser under påvirkning av vann i jorden, deretter innvirkningen av mulige andre faktorer, som belastningsforhold (mulighet for plutselig og dynamisk belastning), fundamenteringsdybde og bredde på fundamentfoten.
Jordens bæreevne kan bestemmes på grunnlag av jordbrudd, som gir den grensebærende bæreevnen. Med grensebærende bæreevne menes den laststørrelsen som forårsaker brudd. Det finnes to måter å bestemme grensebærende bæreevne på grunnlag av jordbrudd, nemlig matematisk løsning og prøvelast.
Matematisk løsning
Mange forskere har forsøkt å finne en matematisk løsning for å bestemme jordas grensebæreevne, på grunnlag av kjennskap til påvirkningsfaktorene og under ulike antakelser om bruddforholdene. Påvirkningsfaktorene er jordas fysiske egenskaper, som bestemmes ved laboratorieforsøk på uforstyrrede jordprøver, grunnvannstilstanden, fundamenteringsdybden, størrelsen og formen på den belastede flaten, samt lasttypen, dvs. jevn eller ujevn, sentrisk eller eksentrisk belastning av jorda. Antakelsene om bruddforhold bygger på plastisitetsteori og elastisitetsteori. Moderne metoder for bestemmelse av jordas bæreevne bygger imidlertid på plastisitetsteori, som kombineres med noen forenklede antakelser.
Her vil vi presentere flere kjente beregningsmetoder for å bestemme grenselast, henholdsvis jordens tillatte belastning.
Prandtl-Caquots skjema
Hvis fundamentfoten AB er fundamentert i dybden t under terrengoverflaten, virker det på denne dybden et kontakttrykk på grunn av fundamentlasten og et sidetrykk p=γt som følge av vekten av jorden over nivået til fundamentfoten og opp til terrengoverflaten (fig. 2).
Under den direkte virkningen av fundamentets egenvekt, når jordens grensebæreevne overskrides, oppstår de rette glideflatene AC og BC, som danner vinkelen α = 45° + ϕ/2 med den belastede flaten. Disse glideflatene danner den aktive jordprismen ABC.
Fig. 2. Glideflater i form av en logaritmisk spiral under påvirkning av en sentrisk belastet fundamentfot etter Prandtl-Caquot
Under trykket fra den aktive jordprismen dannes laterale passive jordprismene ADD1 og BEE1, som den forsøker å presse oppover langs glideflatene DD1 og EE1, under vinkelen 45°-ϕ/2 med horisontalen. Mellom sonen for aktivt og passivt jordtrykk finnes en sone med radial skjæring ACD henholdsvis BCE, der glidning ved overskridelse av grenselikevekten skjer langs krumme glideflater. Résal beregnet at glideflatene i sonen for radial skjæring har form som en logaritmisk spiral med pol i A henholdsvis B, og ligningen er r=r0 eπ tg_ϕ_
For å bestemme jordas grensebelastning er følgende forutsetninger gjort:
- at fundamentet er glatt, dvs. friksjonen mellom fundamentfoten og grunnen neglisjeres;
- at jordens skjærstyrke langs flatene D1M og E1N ikke finnes, henholdsvis neglisjeres;
- at jordens volumvekt under fundamentbunnen γ=0, det vil si at virkningen av jordens egenvekt under fundamentfoten i sonen for plastisk likevekt neglisjeres.
Prandtl-Caquots formel lyder:
Jordens grensebæreevne er
Hvis vi setter:
grensbæreevnen til kohesjonsjord er qf = γtm + cm1.
For ulike verdier av jordens friksjonsvinkel er verdiene for m og m1 gitt i tabell 1.
Tab. 1. Verdier for koeffisientene m og m__1 for ulike verdier av jordens indre friksjonsvinkel
Den tillatte jordbelastningen er qa = pdozv = qf/F der F er sikkerhetsfaktoren. For anvendelse av Prandtl-Caquot-formelen settes F = 4, og dermed er qa = qf/4.
Terzaghi-formelen
Terzaghi ga en semi-empirisk formel for beregning av jordens grensebæreevne under belastning av bånd-, kvadrat- og sirkelformet plate. Han betraktet et fundament grunnlagt i dybden Df under terrengoverflaten, med bredde B (fig. 3), og la til grunn at det finnes friksjon mellom fundamentfoten AB og jorden, som motvirker sideveis utpressing av jorden, og at glideflatene AB og BC danner en vinkel med den belastede flaten som svarer til den indre friksjonsvinkelen.
Fig. 3. Jordas grensebæreevne etter Terzaghi
Som følge av dette forblir jorden i jordkilen ABC, som ligger mellom fundamentet AB og glideflatene AC og BC, i en tilstand av elastisk likevekt og oppfører seg som en del av fundamentet. Prismen ABC kan ikke presses videre før trykkene på sidene AC og BC er like den passive jordtrykkraften fra sideprismene, noe som betyr at ved overskridelse av grenselikevektstilstanden virker det resulterende jordtrykket q under vinkelen ϕ mot normalen på glideflaten, dvs. i vertikal retning (fig. 3). Ettersom kilen under påvirkning av belastningen beveger seg vertikalt nedover, reduseres likevektsproblemet i jorden til å bestemme det passive jordtrykket. Siden en nøyaktig beregning av jordens bæreevne etter denne metoden er komplisert, ga Terzaghi en forenklet løsning. Terzaghis uttrykk for beregning av jordens grensebæreevne _q_f lyder
- For fundamentfot av stripeform
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
hvor c er jordens kohesjon
γ1 jordens volumvekt over fundamentbunnen
Df fundamenteringsdybde under terrengoverflaten til fundamentbunnen
γ2 jordens romvekt under fundamentbunnen
B bredde på fundamentfoten.
Nc, Nq, Nγ er bæreevnefaktorer, avhengige av jordens vinkel for indre friksjon. Verdiene for denne faktoren gis ved følgende uttrykk:
Nq er en faktor som følge av vekten av det laterale jordlaget ned til fundamenteringsdybden: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc er en faktor som følge av kohesjon: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ er faktoren som skyldes egenvekten til jordkile under fundamentfoten, det vil si under fotbredden AB. Verdien av denne faktoren anbefales av Brinch Hansen som tilnærmet: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
Fig. 4. Fordeling av spenninger som jorden mottar ved vertikal sentrisk belastning av fundamentet
På grunn av den lille forskjellen i jordens volumbelastning antar man ofte γ1= γ2= γ. I henhold til den foregående ligningen avhenger jordens bæreevne (fig. 4) av: kohesjonen i grunnjorden c, jordlasten ved siden av fundamentet γ1 D_F, jordens egenvekt i den aktive glideprismen med bredde B.
Imidlertid, mens spenningsfordelingen som jorden mottar på grunn av kohesjonen c og fundamenteringsdybden Df er jevn over hele bredden, dvs. rektangulær, er spenningsfordelingen som jorden mottar på grunn av bredden B trekantformet, dvs. de største spenningene opptas i midten av fundamentet og avtar mot kantene hvor de er lik null.
Fig. 5. Diagram over bæreevnefaktoren som funksjon av jordens indre friksjonsvinkel etter Terzaghi
For ulike verdier av vinkelen fra 0 til 40°, utarbeidet Terzaghi diagrammer for bæreevnefaktorer (fig. 5). Bæreevnefaktorene Nc, Nq og Nγ (heltrukne linjer på figur 5) kan imidlertid bare anvendes ved fast og kompakt jord. Hvis jorda er løs eller mer komprimerbar, må bæreevnefaktorene N’c, N’q og N’γ (stiplede linjer på fig. 5) anvendes, som gir 2/3 av friksjonsmotstanden. I tillegg må man i dette tilfellet ta 2/3 av kohesjonen c som er bestemt i laboratoriet, slik at vi i dette tilfellet får qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.
2. For en fundamentfot med rektangulær form
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ der L er lengden på fundamentfoten
3. For en jordfot med kvadratisk form
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. For et sirkulært fundamentfot
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ hvor r er fundamentets radius.
Ved beregning av den tillatte jordlasten legges sikkerhetsfaktoren F til grunn: qa = qf/F. Verdien av sikkerhetsfaktoren ligger fra 2 til 3 avhengig av grunnforhold og belastning.
Anvendelse av matematiske uttrykk
Bruken av matematiske formler for å bestemme jordens tillatte belastning krever kjennskap til jordens geomekaniske egenskaper, nemlig kohesjon og indre friksjon på fundamenteringsdybden samt romvekten til jorden over og under fundamentbunnen. Dersom grunnen ligger under grunnvannsnivået, må også oppdrift tas i betraktning ved bestemmelse av jordens romvekt.
Ved større jordbelastninger og større byggverk, når den oppnådde verdien av tillatt jordtrykk på grunnlag av matematiske uttrykk utnyttes fullt ut, må beregningen av jordens bæreevne ledsages av en beregning av setninger. Den beregnede bæreevnen for jorden tas bare i bruk dersom setningsberegningen gir en mindre setning enn den som er tillatt for den aktuelle bygningstypen. Dersom beregnet setning er større enn den tillatte, tas ikke den beregnede verdien av tillatt jordbelastning etter beregningsformlene i bruk, men fundamenteringsmåten må endres slik at det oppnås mindre setning, innenfor grensene for tillatt setning for den aktuelle konstruksjonen.
Fig. 6. Effektiv fundamenteringsdybde D__f
I de matematiske uttrykkene for bestemmelse av jordens grensebæreevne er det ikke tatt hensyn til friksjonen langs fundamentets mantel, som også virker som motstand mot belastningen, forutsatt at fundamentet har fast kontakt med jorden på sidene. Friksjonsmotstanden langs mantel skal ikke tas med, fordi reell mantel-friksjon bare finnes ved peler som drives ned i jorden, mens den for fundamentfoter er ubetydelig, siden fotene lages i forhåndsgravde groper.
Bruken av matematiske uttrykk der man ikke tar hensyn til fundamentets form, gir de mest tilnærmede resultatene for stripefundamenter, dvs. når fundamentets lengde er mer enn dobbelt så stor som bredden. Forsøk har vist at for fundamentplinter med kvadratisk eller rund form inntreffer brudd ved en grensebelastning som er for 10-30% større enn den som er beregnet etter matematiske uttrykk. Plinter med trekantform gir lavere bæreevne enn stripefundamenter, og den laveste bæreevnen har ringformede plinter, dersom de ikke er fylt.
Fundamenteringsdybden Df beregnes som den effektive fundamenteringsdybden fra underlaget under fundamentets såle til fundamentbunnen (fig. 6). For fundamenter under underjordiske rom skiller den effektive fundamenteringsdybden Df seg fra fundamenteringsdybden også under terrengoverflaten. I slike tilfeller skal Df alltid legges til grunn ved beregning av jordens grense- og tillatte belastning, siden det over fundamentets såle er luft som ikke motsetter seg sideveis fortrengning av jorden under påvirkning av fundamentlasten P.