I jordmekanik bestemmes jordens brudbæreevne og tilladelige jordbelastning.
Jordens grænsebæreevne er den, der opnås i det øjeblik, hvor jordbrud indtræder. Jordbrud opstår, når den belastning, som fundamentet overfører til jorden, overstiger dens forskydningsstyrke. I dette tilfælde optræder under påvirkning af fundamentlasten P fladerne med mindst modstand ACD og BCE – glideflader fig. 1, langs hvilke jorden presses ud til siderne, og samtidig sker der en opbuling af jorden over terrænfladen ved siden af anlægget DG og EF, mens selve fundamentet synker.
Fig. 1. Jordbrud under påvirkning af fundamentbelastning
Jordens forskydningsstyrke øges med funderingsdybden t, fordi den laterale udpresning bliver mindre som følge af de øverste lags vægt. Derfor medfører dybe fundamenter vanskeligere jordbrud, mens lave fundamenter er mere udsatte for brud. Ligeledes medfører brede fundamenter vanskeligere jordbrud, fordi glidefladerne ligger dybere.
Tilladelige belastning af jorden er den belastning, der kan tillades at virke på jorden, således at der ikke fremkaldes brud i jorden under de mest ugunstige mulige forhold. Den tilladelige jordbelastning bestemmes på grundlag af jordens grænsebæreevne ved anvendelse af sikkerhedsfaktoren. Sikkerhedsfaktorens størrelse afhænger af flere faktorer, blandt hvilke de vigtigste er nøjagtigheden af jordens fysiske egenskaber, muligheden for ændringer i værdierne af jordens indre modstandselementer, især kohæsionen, hvis værdi kan variere over brede grænser under påvirkning af vand i jorden, samt indflydelsen af mulige andre faktorer, såsom belastningsforholdene (mulighed for pludselig og dynamisk belastning), funderingsdybden og bredden af fundamentfoden.
Jordens bæreevne kan bestemmes på grundlag af jordbrud, som giver den grænsebærende evne. Ved jordens grænsebærende evne forstås den belastning, der forårsager brud. Der findes to måder at bestemme den grænsebærende evne på grundlag af jordbrud, nemlig den matematiske løsning og prøvebelastning.
Matematisk løsning
Mange forskere har forsøgt at finde en matematisk løsning til bestemmelse af jordens brudgrænsebæreevne på grundlag af kendskab til de påvirkende faktorer og under forskellige antagelser om brudforholdene. De påvirkende faktorer er jordens fysiske egenskaber, som bestemmes ved laboratorieforsøg på uforstyrrede jordprøver, grundvandets tilstand, fundamentets dybde, den belastede flades størrelse og form samt belastningsmåden, dvs. jævn eller ujævn, centrisk eller excentrisk belastning af jorden. Antagelserne om brudforholdene er baseret på plasticitetsteorien og elasticitetsteorien. Moderne metoder til bestemmelse af jordens bæreevne er imidlertid baseret på plasticitetsteorien, som kombineres med nogle forenklede antagelser.
Her vil vi fremlægge flere kendte beregningsmetoder til bestemmelse af den grænse bæreevne, dvs. jordens tilladte belastning.
Prandtl-Caquota-formlen
Hvis fundamentfoden AB er funderet i en dybde t under terrænets overflade, hersker der på denne dybde et kontakttryk p som følge af fundamentets belastning og et sidepres p=γt som følge af jordens vægt over fundamentfodens niveau til terrænets overflade (fig. 2).
Under fundamentets direkte påvirkning, i det øjeblik jordens grænsebæreevne overskrides, optræder de plane glideflader AC og BC, som danner vinklen α = 45° + ϕ/2 med den belastede overflade. Disse glideflader danner den aktive jordkile ABC.
Fig. 2. Glideflader af logaritmisk spiralfacon under påvirkning af en centrisk belastet fundamentsfod ifølge Prandtl-Caquot
Under påvirkning af trykket fra den aktive jordkile dannes laterale passive jordkiler ADD1 og BEE1, som den søger at skubbe opad langs glidefladerne DD1 og EE1, under en vinkel på 45°-ϕ/2 med horisontalen. Mellem zonen for aktivt og passivt jordtryk findes en zone for radial forskydning ACD henholdsvis BCE, hvor glidning ved overskridelse af grænseligevægt opstår langs krumme glideflader. Résal beregnede, at glidefladerne i zonen for radial forskydning har form af en logaritmisk spiral med pol i A henholdsvis B, hvis ligning er r=r0 eπ tg_ϕ_
Til bestemmelse af jordens grænsebelastning er følgende antagelser gjort:
- at fundamentet er glat, dvs. friktionen mellem fundamentfoden og jorden negligeres;
- at forskydningsstyrken i jorden langs overfladerne D1M og E1N ikke findes, henholdsvis negligeres;
- at jordens rumvægt under fundamentets bund γ=0, dvs. at påvirkningen af jordens vægt under fundamentssålen i området med plastisk ligevægt negligeres.
Prandtl-Caquots formel lyder:
Jordens grænsebæreevne er
Hvis vi sætter:
grænsebæreevnen for kohæsivt jord er qf = γtm + cm1.
For forskellige værdier af jordens indre friktionsvinkel er værdierne for m og m1 angivet i tabel 1.
Tabel 1. Værdier af koefficienterne m og m__1 for forskellige værdier af jordens indre friktionsvinkel
Den tilladte jordbelastning er qa = pdozv = qf/F hvor F er sikkerhedsfaktoren. For anvendelse af Prandtl-Caquot-formlen antages F = 4, og derfor er qa = qf/4.
Terzaghis formel
Terzaghi gav en semiempirisk formel til beregning af jordens grænsebæreevne under belastning af stribe-, kvadrat- og cirkulære fundamenter. Han betragtede et fundament anlagt i dybden Df under terrænets overflade, med bredden B (fig. 3), og antog, at der findes friktion mellem fundamentssålen AB og jorden, som modvirker jordens laterale forskydning, og at glidefladerne AB og BC danner en vinkel af indre friktion med den belastede flade.
Sl. 3. Jordens grænsebæreevne efter Terzaghi
Derfor forbliver jorden i jordkilen ABC, der er afgrænset mellem fundamentet AB og glidefladerne AC og BC, i en tilstand af elastisk ligevægt og opfører sig som en del af fundamentet. Prismen ABC kan ikke presses længere ned, før trykkene på dens sider AC og BC er lige store som det passive jordtryk fra sideprismene, hvilket betyder, at når ligevægtens grænsetilstand overskrides, virker det resulterende jordtryk q under vinklen ϕ i forhold til normalen til glidefladen, dvs. i lodret retning (fig. 3). Da kilen under påvirkning af belastningen bevæger sig lodret nedad, reduceres ligevægtsproblemet i jorden til bestemmelse af det passive jordtryk. Men da den nøjagtige beregning af jordens bæreevne efter denne metode er kompliceret, gav Terzaghi en forenklet løsning. Terzaghis formel til beregning af jordens grænsebæreevne _q_f lyder
- Til en stribeformet fundamentfod
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
hvor c er jordens kohæsion
γ1 rumvægt af jorden over fundamentets bund
Df funderingsdybde under terræn til fundamentsbund
γ2 jordens rumvægt under fundamentets bund
B bredden af fundamentfoden.
Nc, Nq, Nγ er bæreevnefaktorer, afhængige af jordens indre friktionsvinkel. Værdierne for denne faktor er givet ved følgende udtryk:
Nq er faktoren som følge af vægten af det laterale jordlag ned til funderingsdybden: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc er faktor som følge af kohæsionen: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ er faktoren som følge af jordkileens egenvægt under fundamentfoden, dvs. under fodens bredde AB. Værdien af denne faktor anbefaler Brinch Hansen som en tilnærmelse: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
Fig. 4. Fordeling af de spændinger, som jorden optager ved vertikal centrisk belastning af fundamentet
På grund af den lille forskel i jordens rumvægt antages ofte γ1= γ2= γ. Ifølge ovenstående ligning afhænger jordens bæreevne (fig. 4) af: kohæsionen i undergrunden c, jordbelastningen ved siden af fundamentet _γ1 D_F, egenvægten af den aktive glideprisme med bredden B.
Men mens spændingsfordelingen, som jorden optager på grund af kohæsionens virkning c og funderingsdybden Df, er jævn over hele bredden, dvs. rektangulær, er spændingsfordelingen, som jorden optager på grund af bredden B, trekantet, dvs. de største spændinger optages i midten af fundamentet og aftager mod kanterne, hvor de er lig nul.
Fig. 5. Diagram over bæreevnefaktoren i forhold til jordens indre friktionsvinkel ifølge Terzaghi
For forskellige værdier af vinklen fra 0 til 40°, udarbejdede Terzaghi bæreevnekurver (fig. 5). Bæreevnefaktorerne Nc, Nq og Nγ (fuldt optrukne linjer på fig. 5) kan dog kun anvendes i tilfælde af tæt og fast jord. Hvis jorden er løs eller mere kompressibel, bør bæreevnefaktorerne N’c, N’q og N’γ (stiplede linjer på fig. 5) anvendes, hvilket giver 2/3 værdier af friktionsmodstanden. Desuden skal man i dette tilfælde tage 2/3 værdier af kohæsionen c bestemt i laboratoriet, således at vi i dette tilfælde har qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.
2. For en fundamentfod af rektangulær form
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ hvor L er længden af fundamentfoden
3. For et jordfundament med kvadratisk form
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. For den cirkulære fundamentfod
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ hvor r er fundamentssålens radius.
Ved beregning af den tilladte jordbelastning anvendes sikkerhedsfaktoren F: qa = qf/F. Værdien af sikkerhedsfaktoren ligger fra 2 til 3 afhængigt af jord- og belastningsforholdene.
Anvendelse af matematiske formler
Anvendelsen af matematiske udtryk til bestemmelse af den tilladelige jordbelastning kræver kendskab til jordens geomekaniske egenskaber, nemlig kohæsion og indre friktion på funderingsdybden samt jordens rumvægt over og under fundamentets bund. Hvis funderingsjorden ligger under grundvandsspejlet, skal opdrift også tages i betragtning ved bestemmelse af jordens rumvægt.
Ved større jordbelastninger og større konstruktioner, når den opnåede værdi af den tilladelige jordbelastning på grundlag af matematiske formler udnyttes fuldt ud, bør beregningen af jordens bæreevne ledsages af en beregning af sætninger. Den beregnede bæreevne for jorden anvendes kun, hvis sætningberegningen giver en mindre sætning end den tilladte for den pågældende type konstruktion. Hvis sætningen ifølge beregningen er større end den tilladte, anvendes den beregnede værdi af den tilladte jordbelastning efter regneformlerne ikke, men funderingsmåden må ændres, så der opnås en mindre sætning, inden for grænserne for den tilladte sætning for den pågældende konstruktionsudførelse.
Fig. 6. Effektiv funderingsdybde D__f
I de matematiske formler til bestemmelse af jordens brudgrænsebæreevne er der ikke taget hensyn til friktionen langs fundamentets yderside, som også virker som modstand mod belastningens virkning, hvis fundamentet har tæt kontakt med jorden på siderne. Modstanden fra overfladefriktionen bør ikke medregnes, fordi reel overfladefriktion kun findes ved pæle, der rammes ned i jorden, mens den ved fundamentfødder er ubetydelig, da fodene udføres i på forhånd udgravede gruber.
Anvendelsen af matematiske formler, hvor der ikke tages hensyn til fundamentets form, giver de mest tilnærmede resultater for stribefundamenter, dvs. når fundamentets længde er mere end to gange så stor som dets bredde. Forsøg har vist, at ved fundamentblokke med kvadratisk eller cirkulær form indtræffer bruddet ved en grænsebelastning, som er 10-30% større end den, der beregnes efter de matematiske formler. Fundamentblokke af trekantet form har en mindre bæreevne end stribefundamenter, og den mindste bæreevne har ringformede blokke, hvis de ikke er fyldte.
Fundamentsdybden Df beregnes som den effektive fundamentsdybde fra terrænet under fundamentets sål til fundamentsbunden (fig. 6). Ved fundamenter under underjordiske rum er den effektive fundamentsdybde Df forskellig fra fundamentsdybden under terrænets overflade. I sådanne tilfælde skal Df altid anvendes ved beregning af den grænse- og tilladelige jordbelastning, da der over fundamentets sål er luft, som ikke modstår den laterale forskydning af jorden under påvirkning af fundamentbelastningen P.