土壤承載力

在土力學中，需確定 土壤極限承載力 與 土壤許用荷載。

土壤的_極限承載力_，是指土壤破壞發生時所達到的承載力。當基礎對土壤施加的荷載超過其抗剪強度時，就會發生土壤破壞。在這種情況下，在基礎荷載 P 的作用下，會出現最小阻力面 ACD 和 BCE – 滑動面，如圖 1 所示，土壤沿這些面向側方擠出，同時在結構 DG 和 EF 旁，地表以上的土壤會隆起，而基礎本身則下沉。

圖 1。基礎荷載作用下的土壤破壞

地基埋置深度 t 越大，土體的抗剪強度也越高，因為上覆層重量使側向擠出的可能性降低。因此，深基礎較不易引發土壤破壞，而淺基礎則有較高的破壞風險。同樣地，寬基礎也較不易引發土壤破壞，因為滑動面較深。

_土壤_的_允許荷載_是指可允許作用於土壤而不致在最不利可能條件下引起土壤破壞的荷載。土壤的允許荷載係根據土壤的極限承載力並採用安全係數來確定。安全係數的大小取決於多種因素，其中最重要的是土壤物理特性的準確性、土壤內摩擦阻力各要素特別是黏聚力數值變化的可能性，後者在土壤中水分作用下可在相當大的範圍內變動；此外還有其他可能因素的影響，如荷載條件（突然荷載與動荷載的可能性）、基礎埋置深度以及基礎底板寬度。

土壤承載力可根據土壤破壞來確定，而土壤破壞會給出極限承載力。土壤的極限承載力，是指引起破壞的荷載大小。根據土壤破壞來確定極限承載力有兩種方法，即 數學解 和 試載。

數學解答

許多學者曾嘗試在掌握影響因素並基於不同破壞條件假設的前提下，尋求確定土壤極限承載力的數學解法。影響因素包括土壤的物理特性，這些特性可透過未擾動土樣的實驗室試驗確定、地下水狀況、基礎埋置深度、受載面積的大小與形狀，以及載荷方式，即土壤受均勻或不均勻、中心或偏心載荷。對破壞條件的假設基於塑性理論與彈性理論。然而，現代土壤承載力的確定方法是基於塑性理論，並與某些簡化假設相結合。

在此我們將列出幾種已知的計算方法，用以確定極限承載力，亦即地基的許可承載。

Prandtl-Caquot 公式

若基腳 AB 埋置於地表以下深度 t，則在此深度處，由於基礎荷載產生接觸壓力，並由於自基腳標高至地表之間土壤重量產生側壓 p=γt（圖 2）。

在基礎重量的直接作用下，當土壤極限承載力被超越時，會出現真正的滑動面 AC 與 BC，其與受載表面所夾角為 α = 45° + ϕ/2。這些滑動面形成主動土楔 ABC。

圖 2。Prandtl-Caquot 理論下，受中心荷載基礎底板作用的對數螺旋形滑動面

在主動土楔壓力作用下，會形成側向被動土楔 ADD1 與 BEE1，其傾向沿滑動面 DD1 與 EE1 向上推移，與水平面夾角為 45°-ϕ/2。在主動與被動土壓區之間存在徑向剪切區 ACD 與 BCE，在極限平衡被超過時，會沿曲線滑動面發生滑動。Résal 計算出，徑向剪切區中的滑動面呈對數螺線形狀，其極點分別位於 A 與 B，其方程為 r=r0 eπ tg_ϕ_

為確定土壤的極限荷載，作出了以下假設：

• 地基為平整，即忽略基腳與土壤之間的摩擦；
• 即沿 D1M 與 E1N 兩平面的土壤抗剪強度不存在，亦即可忽略；
• 土壤在基礎底面下方的體積重量 γ=0，也就是說，可忽略基礎底腳下方土壤重量在塑性平衡區中的影響。

Prandtl-Caquot 公式如下：

土壤極限承載力是

如果我們代入：

黏結土的極限承載力為 qf = γtm + cm1.

對於土壤內摩擦角的不同數值，m 與 m1 的值列於表 1。

表 1。不同土壤內摩擦角對應的係數 m 與 m__1 值_

土的允許承載力為 qa = pdozv = qf/F，其中 F 為安全係數。對 Prandtl-Caquot 公式採用 F = 4，因此 qa = qf/4。

Terzaghiev 公式

Terzaghi 提出了一個半經驗公式，用以計算條形、方形與圓形板荷載作用下土的極限承載力。他考察了埋置於地表以下 Df 深度、寬度為 B 的基礎（圖 3），並假定基礎底面 AB 與土之間存在摩擦，該摩擦力抵抗土的側向擠出；同時，滑動面 AB 與 BC 與受荷表面所夾的角為內摩擦角。

圖 3。 Terzaghi 的土壤極限承載力

因此，位於基礎 AB 與滑動面 AC、BC 之間的土楔 ABC 仍處於彈性平衡狀態，並表現得如同基礎的一部分。只要其側面 AC 與 BC 上的壓力尚未等於側向棱體的被動土壓，棱體 ABC 就無法被推動，這表示當達到極限平衡狀態時，結果土壓 q 會以與滑動面法線成 ϕ 角的方向作用，也就是垂直方向（圖 3）。由於在荷載作用下，楔體向下垂直移動，土體平衡問題便歸結為求被動土壓。然而，由於依此方法精確計算地基承載力相當複雜，因此 Terzaghi 提出了簡化解。Terzaghi 用於計算土壤極限承載力 q_f 的公式如下

1. 帶狀基礎底座

qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ  

其中 c 為土壤的凝聚力

γ1 基礎底面以上土體的單位重

Df 基礎底面埋置於地表以下至基底的深度

γ2 基礎底面以下土壤的單位重

B 基礎底座寬度。

Nc、Nq、Nγ 為承載力係數，取決於土壤內摩擦角。這些係數的數值可由下列公式求得：

Nq 是由基礎深度範圍內側向土層重量所產生的係數：Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_

Nc 為內聚作用係數：Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_

Nγ 是由基礎底板下方土楔自重所產生的係數，即在底板寬度 AB 下方的土楔。Brinch Hansen 建議此係數的近似值為：Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_

圖 4。基礎在垂直中心荷載作用下土體所承受應力的分布

由於土壤容重差異很小，常採用 γ1= γ2= γ。依據上述公式，地基承載力取決於（圖 4）：基礎土的黏聚力 c、基礎旁土壤荷載 _γ1 D_F、寬度為 B 的主動滑動楔體土自重。

然而，土體因黏聚力 c 與基礎埋深 Df 所承受的應力分布在整個寬度上是均勻的，即矩形分布；而土體因寬度 B 的影響所承受的應力分布則為三角形，即最大應力出現在基礎中央，並向邊緣遞減至零。

圖 5。Terzaghi 按土內摩擦角變化的承載力係數圖

對於角度從 0 到 40° 的不同取值，Terzaghi 製作了承載力係數圖表（圖 5）。然而，承載力係數 Nc、Nq 和 Nγ（圖 5 中的實線）只可在土壤密實且堅硬的情況下採用。若土壤鬆散或可壓縮性較大，則應採用承載力係數 N’c、N’q 和 N’γ（圖 5 中的虛線），其給出 2/3 的摩擦阻力值。此外，在此情況下還應採用經實驗室方法得到的黏聚力 c 的 2/3 值，因此此時有 qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.

2. 矩形基礎底座

qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ 　其中 L 為基礎底板長度

3. 地面方形基礎

qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ  

4. 用於圓形基礎底座

qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ  其中 r 為基礎底板半徑。

土壤允許承載力的計算採用安全係數 F：qa = qf/F。安全係數的數值依土壤與荷載條件而定，範圍為 2 至 3。

數學模式的應用

應用數學公式來確定地基土容許承載壓力，需要了解土壤的地工特性，即在基礎埋置深度處的黏聚力與內摩擦，以及基礎底面以上與以下土壤的單位重。若地基土位於地下水位以下，則在確定土壤單位重時也應考慮浮力。

在較大的地基荷載與較大型構造物中，當依數學公式求得的允許地基承載力已被充分利用時，地基承載力的計算應同時配合沉陷計算。只有當沉陷計算得到的沉陷量小於該類構造物允許值時，才採用計算所得的地基承載力。若計算得到的沉陷量大於允許值，則不採用以計算公式求得的允許地基荷載值，而必須改變基礎形式，以便在該構造物結構所允許的沉陷範圍內得到較小的沉陷。

圖 6。 基礎的有效埋深 D__f

在用於確定土壤極限承載力的數學公式中，並未考慮基礎外壁摩擦；若基礎與土壤側面緊密接觸，該摩擦也會作為抵抗荷載作用的阻力之一。外壁摩擦阻力不應納入考慮，因為真正的外壁摩擦只存在於打入土中的樁，而基礎底座的外壁摩擦則可忽略不計，因為底座是在預先挖好的坑內施工的。

採用不考慮基礎形狀的數學公式，對帶狀基礎可得最接近實際的結果，也就是當基礎長度大於其寬度兩倍以上時。試驗證實，對方形或圓形基礎墊腳而言，破壞會在臨界荷載下發生，而該荷載比按數學公式計算的值大 10-30%。三角形墊腳的承載力低於帶狀基礎，而環形墊腳若未填實，承載力最低。

基礎埋深 Df 是指自基礎底面以下至基礎底部的有效埋深（圖 6）。對於地下空間下方的基礎，Df 的有效埋深與地面以下的埋深並不相同。在這種情況下，計算地基極限與允許荷載時，應一律採用 Df，因為基礎底面上方為空氣，無法抵抗基礎荷載 P 作用下土體的側向擠出。