토질역학에서는 _토양의 극한 지지력_과 _토양의 허용하중_을 산정한다.
토양의 _극한 지지력_은 토양 파괴가 발생하는 순간에 도달하는 값이다. 토양 파괴는 기초가 토양에 가하는 하중이 토양의 전단 강도를 초과할 때 발생한다. 이 경우 기초 하중 _P_의 작용으로 최소 저항면 _ACD_와 BCE – 미끄럼면 그림 1이 나타나며, 이를 따라 토양이 측면으로 밀려나고 동시에 _DG_와 EF 옆 지표면 위의 토양이 융기하는 반면, 기초 자체는 침하한다.
그림 1. 기초 하중 작용에 의한 토양 파괴
토양의 전단강도는 기초 깊이 _t_와 함께 증가하는데, 이는 상부 층의 무게로 인해 측방 압출 가능성이 감소하기 때문이다. 따라서 깊은 기초는 토양 파괴를 일으키기 어렵고, 얕은 기초는 파괴에 취약하다. 마찬가지로 넓은 기초도 미끄럼면이 더 깊기 때문에 토양 파괴를 일으키기 어렵다.
허용 지지력 _토양_에 대해 허용되는 것은, 가장 불리할 수 있는 조건에서 토양 파괴가 일어나지 않도록 토양에 작용하도록 허용할 수 있는 하중이다. 토양의 허용 하중은 안전계수를 적용하여 토양의 극한 지지력에 근거해 결정한다. 안전계수의 크기는 여러 요인에 따라 달라지며, 그중 가장 중요한 것은 토양의 물리적 특성의 정확성, 토양 내부 저항 요소들, 특히 응집력 값의 변화 가능성이다. 응집력의 값은 토양 내 수분의 영향으로 넓은 범위에서 변동할 수 있다. 또한 하중 조건(급작스럽고 동적인 하중 가능성), 기초 근입 깊이, 그리고 기초 저판의 폭과 같은 다른 가능한 요인의 영향도 포함된다.
토양의 지지력은 토양 파괴를 기준으로 결정할 수 있으며, 이는 한계 지지력을 제공한다. 토양의 한계 지지력은 파괴를 유발하는 하중의 크기를 의미한다. 토양 파괴를 기준으로 한 한계 지지력의 결정 방법에는 _수학적 해법_과 _시험 하중_의 두 가지가 있다.
수학적 해법
많은 학자들이 영향 요인에 대한 지식과 다양한 파괴 조건 가정에 기초하여 토양의 한계 지지력을 결정하는 수학적 해법을 찾으려 했다. 영향 요인에는 교란되지 않은 토양 시료에 대한 실험실 시험으로 결정되는 토양의 물리적 특성, 지하수 상태, 기초 깊이, 하중을 받는 면적의 크기와 형상, 그리고 하중 방식, 즉 토양에 대한 균등 또는 불균등, 중심 또는 편심 하중이 포함된다. 파괴 조건에 대한 가정은 소성 이론과 탄성 이론에 기초한다. 그러나 현대의 토양 지지력 결정 방법은 소성 이론에 기반하며, 여기에 몇 가지 단순화된 가정을 결합한다.
여기서는 한계 지지력, 즉 토양의 허용 하중을 산정하는 몇 가지 잘 알려진 계산 방법을 제시한다.
Prandtl-Caquot 형식
기초 저판 _AB_가 지표면 아래 깊이 _t_에 기초되어 있다면, 이 깊이에서는 기초 하중으로 인한 접촉압과 기초 저판 수준에서 지표면까지의 상부 토양의 자중으로 인한 측압 p=_γt_가 작용한다(그림 2).
기초의 중량이 직접 작용하면, 지반의 극한 지지력을 초과하는 순간 실제 미끄럼면 _AC_와 _BC_가 생기며, 이들은 하중을 받는 면과 α = 45° + ϕ/2의 각을 이룬다. 이러한 미끄럼면은 활성 토압 쐐기 _ABC_를 형성한다.
그림 2. Prandtl-Caquot에 따른 중심 하중을 받는 기초 확저에 의해 생기는 로그나선형의 미끄럼면
능동 토압의 압력 작용으로 측방 수동 흙쐐기 ADD1 및 _BEE1_가 형성되며, 이는 _DD1_와 _EE1_의 미끄럼면을 따라, 수평면과 45°-ϕ/2의 각도로 위쪽으로 밀려 올라가려 한다. 능동 및 수동 토압 구역 사이에는 방사형 전단 구역 ACD 또는 _BCE_가 존재하며, 그곳에서는 한계 평형을 초과하면 곡선형 미끄럼면을 따라 활주가 발생한다. Résal은 방사형 전단 구역의 미끄럼면이 A 또는 _B_를 극으로 하는 로그나선 형태이며, 그 방정식은 r=r0 eπ tg_ϕ_라고 계산하였다
토양의 한계 하중을 결정하기 위해 다음과 같은 가정을 두었다:
- 기초가 평탄하다고 가정하며, 즉 기초 저판과 토양 사이의 마찰은 무시한다;
- 전단면 D1M 및 _E1N_을 따라 토양의 전단강도는 존재하지 않는 것으로, 즉 무시하는 것으로 본다;
- 토양의 단위중량이 기초 저면 아래에서 γ=0임을, 즉 기초 밑부분 아래 토양의 자중 영향은 소성 평형 구역에서 무시된다는 것을 의미한다.
Prandtl-Caquot 식은 다음과 같다:
지반의 한계 지지력은
다음과 같이 두면:
결합토의 한계 지지력은 qf = γtm + _cm1_이다.
토양의 내부마찰각의 서로 다른 값에 대해 m 및 _m1_의 값은 표 1에 제시되어 있다.
표 1. 토양의 내부마찰각의 다양한 값에 대한 계수 m 및 m__1_의 값
허용 지반지지력은 qa = pdozv = qf/F 이며, 여기서 _F_는 안전계수이다. Prandtl-Caquot 식을 적용할 때는 F = 4를 채택하므로, qa = qf/4 이다.
Terzaghiev 공식
테르자기는 띠형, 정사각형 및 원형 판 하중 작용 하에서 토양의 극한 지지력을 계산하기 위한 반경험적 식을 제시하였다. 그는 지표면 아래 깊이 Df, 폭 _B_의 기초(그림 3)를 고찰하고, 기초 저면 _AB_와 토양 사이에 마찰이 있어 토양의 측방 변위를 억제하며, 미끄럼면 _AB_와 _BC_가 하중 면과 내부마찰각을 이룬다고 가정하였다.
그림 3. Terzaghi에 따른 토양의 한계 지지력
그 결과, 기초 _AB_와 미끄럼면 AC 및 BC 사이에 포함된 흙쐐기 _ABC_의 토양은 탄성 평형 상태를 유지하며 기초의 일부처럼 거동합니다. 프리즘 _ABC_는 그 측면 _AC_와 _BC_에 작용하는 압력이 측면 프리즘의 수동 토압과 같아질 때까지는 더 밀려나갈 수 없습니다. 이는 평형의 한계 상태를 초과하면 결과 토압 _q_가 미끄럼면의 법선에 대해 각도 _ϕ_로, 즉 수직 방향으로 작용함을 의미합니다(그림 3). 하중의 작용으로 쐐기는 수직 아래쪽으로 움직이므로, 토양 내 평형 문제는 수동 토압을 구하는 것으로 귀결됩니다. 그러나 이 방법으로 토양의 지지력을 정확하게 계산하는 것은 복잡하므로, Terzaghi는 단순화된 해를 제시했습니다. 토양의 한계 지지력 _q_f_를 계산하기 위한 Terzaghi의 식은 다음과 같습니다
- 띠형 기초판의 경우
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
여기서 _c_는 토양의 점착력
γ1 기초 바닥면 위의 토양의 체적중량
Df 지표면 아래에서 기초 저면까지의 기초 깊이
γ2 기초 저면 아래 토양의 체적중량
B 기초 저판의 폭.
Nc, Nq, _Nγ_는 토양의 내부마찰각에 따라 달라지는 지지력 계수이며, 이 계수들의 값은 다음 식으로 주어진다:
Nq_는 기초 깊이까지의 측면 토층의 자중에 의한 계수이다: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ
Nc_는 응집에 의한 계수이다: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ
_Nγ_는 기초 저면 아래의 토질 쐐기, 즉 저면 폭 AB 아래의 자중에 의한 계수이다. Brinch Hansen은 이 계수의 근사값으로 Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_를 권장한다.
Sl. 4. 기초의 수직 중심 하중에 의해 지반이 받는 응력 분포
토양의 단위중량 차이가 작기 때문에 흔히 _γ1= γ2= γ_로 둔다. 앞의 식에 따르면 지지력은 (그림 4) 다음에 좌우된다: 기초지반의 점착력 c, 기초 옆 토양의 하중 γ1 D_F, 폭 _B_의 활동 미끄럼 쐐기의 토양 자중.
그러나 점착력 _c_와 기초 매입 깊이 _Df_의 영향으로 토양이 받는 응력의 분포는 전체 폭에서 균일, 즉 직사각형인 반면, 폭 B의 영향으로 토양이 받는 응력의 분포는 삼각형이며, 즉 최대 응력은 기초의 중앙에서 발생하고 가장자리로 갈수록 감소하여 가장자리에서는 0이 된다.
그림 5. 테르자기에 따른 토양의 내부마찰각에 따른 지지력 계수 도표
각도가 0부터 40°까지의 여러 값에 대해 Terzaghi는 지지력 계수 도표를 작성하였다(그림 5). 그러나 지지력 계수 Nc, Nq 및 Nγ (그림 5의 실선)는 다짐이 잘 되고 단단한 토양의 경우에만 채택할 수 있다. 토양이 느슨하거나 더 잘 압축되면, 지지력 계수 N’c, N’q 및 N’γ (그림 5의 점선)를 채택해야 하며, 이는 마찰 저항 값의 2/3을 준다. 또한 이 경우 실험실에서 얻은 결합력 _c_의 2/3 값을 취해야 하므로, 이 경우 qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 _γ2 BN’γ._가 된다.
2. 직사각형 형태의 기초 저판에 대하여
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ 여기서 _L_은 기초 저판의 길이
3. 사각형 형태의 지반기초의 경우
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. 원형 기초 저판의 경우
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ 여기서 _r_은 기초 저면의 반지름이다.
지반의 허용 하중을 계산할 때 안전계수 _F_를 적용한다: qa = qf/F. 안전계수의 값은 지반 및 하중 조건에 따라 2부터 3까지이다.
수학적 식의 적용
지반의 허용 지지력을 산정하기 위한 수학적 공식의 적용에는 기초저면 깊이에서의 지반의 지오메커니컬 특성, 즉 응집력과 내부마찰각, 그리고 기초저면 위와 아래 토양의 체적중량을 알아야 한다. 기초 지반이 지하수위 아래에 있으면, 토양의 체적중량을 결정할 때 부력도 고려해야 한다.
더 큰 지반 하중과 더 큰 구조물의 경우, 수학적 식에 따라 산정된 허용 지반하중 값이 완전히 활용될 때에는 지반 지지력 계산과 함께 침하 계산도 병행해야 한다. 계산된 지반 지지력은 침하 계산 결과 해당 구조물 유형에 허용되는 침하보다 작은 침하가 얻어진 경우에만 채택한다. 계산 결과 허용치를 넘는 침하가 산정된 경우에는 계산식에 의해 얻은 허용 지반하중 값은 채택하지 않고, 해당 구조물의 허용 침하 범위 내에서 더 작은 침하가 얻어지도록 기초 형식을 변경해야 한다.
그림 6. 기초의 유효 근입 깊이 D__f
토양의 극한 지지력을 구하는 수학적 공식에서는 기초 옆면이 토양과 단단히 접촉하는 경우에도 하중 작용에 대한 저항으로서 작용하는 기초 외피 마찰을 고려하지 않았다. 외피 마찰 저항은 고려할 필요가 없다. 실제 외피 마찰은 지반에 박아 넣는 말뚝에서만 존재하며, 기초 저판의 경우에는 미리 굴착한 구덩이에서 시공되므로 외피 마찰은 미미하기 때문이다.
기초 형상을 고려하지 않는 수학적 공식의 적용은 띠형 기초에서 가장 근사한 결과를 준다. 즉, 기초의 길이가 너비의 두 배보다 클 때이다. 실험에 의해, 정사각형 또는 원형 기초판의 경우 파괴는 수학적 공식으로 계산된 값보다 10-30% 더 큰 한계하중에서 발생하는 것으로 밝혀졌다. 삼각형 형상의 기초판은 띠형보다 지지력이 작고, 충전되지 않은 링형 기초판은 가장 작은 지지력을 갖는다.
기초깊이 _Df_는 기초 바닥면의 지반 아래에서 기초 저면까지의 유효 기초깊이로 계산한다(그림 6). 지하 공간 아래의 기초에서는 유효 기초깊이 _Df_가 지면 아래의 기초깊이와 다르다. 이러한 경우 극한 및 허용 지반하중을 계산할 때는 항상 _Df_를 채택해야 하는데, 기초 바닥면 위에는 기초하중 _P_의 작용 아래 지반의 측방 변위를 저지하지 않는 공기가 있기 때문이다.