במכניקת הקרקע נקבעים כושר הנשיאה הסופי של הקרקע ו-העומס המותר על הקרקע.
כושר הנשיאה הטרמינלי של הקרקע הוא זה שמושג ברגע שבו מתרחש כשל בקרקע. כשל הקרקע מתרחש כאשר העומס שבו היסוד פועל על הקרקע עולה על חוזקה בגזירה. במקרה זה, תחת פעולת העומס של היסוד P מופיעים משטחי ההתנגדות המינימלית ACD ו־BCE – משטחי ההחלקה איור 1, שלאורכם הקרקע נדחקת הצידה ובו בזמן מתרחש התרוממות הקרקע מעל פני השטח ליד המבנה DG ו־EF, בעוד שהיסוד עצמו שוקע.
איור 1. כשל הקרקע בהשפעת עומס היסוד
חוזק הגזירה של הקרקע גדל עם עומק היסוד t, משום שבעקבות משקל השכבות העליונות פוחתת האפשרות ללחיצה צידית החוצה. לפיכך, יסודות עמוקים נוטים פחות לגרום לכשל הקרקע, בעוד שיסודות רדודים מסוכנים מבחינת כשל. גם יסודות רחבים נוטים פחות לגרום לכשל הקרקע, משום שמשטחי ההחלקה עמוקים יותר.
העומס המותר על הקרקע הוא זה שניתן להרשות שיפעל על הקרקע, כך שלא ייגרם כשל בקרקע בתנאים הבלתי-נוחים ביותר האפשריים. העומס המותר על הקרקע נקבע על סמך כושר הנשיאה הגבולי של הקרקע באמצעות מקדם בטיחות. גודל מקדם הבטיחות תלוי בכמה גורמים, שהחשובים שבהם הם דיוק המאפיינים הפיזיקליים של הקרקע, האפשרות לשינויים בערכי רכיבי ההתנגדות הפנימית של הקרקע, במיוחד הלכידות, שערכה יכול להשתנות בטווח רחב עקב השפעת המים בקרקע, וכן השפעת גורמים אפשריים אחרים, כגון תנאי העמסה (אפשרות להעמסה פתאומית ודינמית), עומק היסוד ורוחב כף היסוד.
את כושר הנשיאה של הקרקע ניתן לקבוע על סמך כשל הקרקע, המעניק את כושר הנשיאה הגבולי. בכושר הנשיאה הגבולי של הקרקע הכוונה היא לעומס הגורם לכשל. קיימות שתי שיטות לקביעת כושר הנשיאה הגבולי על סמך כשל הקרקע, והן פתרון מתמטי ו-עומס ניסיוני.
פתרון מתמטי
מדענים רבים ניסו למצוא פתרון מתמטי לקביעת כושר הנשיאה הסופי של הקרקע, על בסיס הכרת הגורמים המשפיעים ובהנחות שונות לגבי תנאי הכשל. הגורמים המשפיעים הם המאפיינים הפיזיקליים של הקרקע, הנקבעים בניסויי מעבדה על דגימות קרקע בלתי מופרעות, מצב מי התהום, עומק היסוד, גודל וצורת השטח המועמס, וכן אופן ההעמסה, כלומר העמסה אחידה או לא אחידה, מרכזית או אקסצנטרית של הקרקע. ההנחות לגבי תנאי הכשל מבוססות על תורת הפלסטיות ועל תורת האלסטיות. אולם שיטות מודרניות לקביעת כושר הנשיאה של הקרקע מבוססות על תורת הפלסטיות, המשולבת בכמה הנחות מפושטות.
כאן נביא כמה שיטות חישוב מוכרות לקביעת כושר הנשיאה הסופי, כלומר העומס המותר על הקרקע.
תבנית פרנדטל-קקואט
אם יסוד הרצועה AB נוסד בעומק t מתחת לפני הקרקע, בעומק זה שורר לחץ מגע p עקב עומס היסוד ולחץ צדדי p=γt עקב משקל הקרקע שמעל מפלס יסוד הרצועה עד פני הקרקע (איור 2).
בהשפעת המשקל הישיר של היסוד, ברגע של חריגה מנשיאת הקרקע המותרת, מופיעים משטחי ההחלקה הישרים AC ו-BC, היוצרים זווית α = 45° + ϕ/2 עם המשטח העמוס. משטחי החלקה אלה יוצרים את הפריזמה האדמתית הפעילה ABC.
איור 2. משטחי החלקה בצורת ספירלה לוגריתמית תחת השפעת יסוד בהעמסה מרוכזת לפי Prandtl-Caquot
בהשפעת הלחץ של הפריזמה הפעילה של הקרקע נוצרים בצד פריזמות קרקע פסיביות ADD1 ו־BEE1, שהיא שואפת לדחוף כלפי מעלה על פני משטחי ההחלקה DD1 ו־EE1, בזווית 45°-ϕ/2 עם האופק. בין אזור הלחץ האקטיבי של הקרקע לבין אזור הלחץ הפסיבי קיים אזור גזירה רדיאלי ACD או BCE, שבו, בעת חריגה משיווי המשקל הגבולי, ההחלקה נוצרת לאורך משטחי החלקה מעוקלים. Résal חישב כי משטחי ההחלקה באזור הגזירה הרדיאלי הם בצורת ספירלה לוגריתמית שמרכזה ב־A או ב־B, ושמשוואתה היא r=r0 eπ tg_ϕ_
לקביעת העומס הגביל של הקרקע נעשו ההנחות הבאות:
- שהיסוד חלק, כלומר החיכוך בין סוליית היסוד לבין הקרקע מוזנח;
- שחוזק הגזירה של הקרקע לאורך המשטחים D1M ו-E1N אינו קיים, כלומר מוזנח;
- שמשקל הנפח של הקרקע מתחת לבסיס היסוד הוא γ=0, כלומר מתעלמים מהשפעת משקל הקרקע מתחת ליסוד, באזור של שיווי משקל פלסטי.
הנוסחה של Prandtl-Caquota היא:
כושר הנשיאה הגבולי של הקרקע הוא
אם נניח:
כושר הנשיאה הגביל של קרקע מלוכדת הוא qf = γtm + cm1.
עבור ערכים שונים של זווית החיכוך הפנימי של הקרקע, הערכים של m ו-m1 נתונים בטבלה 1.
טבל. 1. ערכי המקדמים m ו-m__1 עבור ערכים שונים של זווית החיכוך הפנימי של הקרקע
עומס הקרקע המותר הוא qa = pdozv = qf/F כאשר F הוא מקדם הביטחון. ליישום נוסחת Prandtl-Caquot מאמצים F = 4, ולכן qa = qf/4.
נוסחת טרזאגי
טרזאגי נתן נוסחה חצי־אמפירית לחישוב כושר הנשיאה הסופי של הקרקע תחת השפעת עומסים בצורת פס, ריבוע ולוח עגול. הוא בחן יסוד המונח בעומק Df מתחת לפני השטח, ברוחב B (איור 3), וקבע כי קיים חיכוך בין כף היסוד AB לבין הקרקע, המתנגד לסחיטה הצדית של הקרקע, וכי משטחי ההחלקה AB ו-BC סוגרים זווית של חיכוך פנימי עם המשטח הטעון.
איור 3. כושר הנשיאה הגרניצי של הקרקע לפי טרזאגי
כתוצאה מכך, הקרקע בטריז העפר ABC, הכלואה בין היסוד AB ובין משטחי ההחלקה AC ו-BC, נשארת במצב של שיווי־משקל אלסטי ומתנהגת כחלק מהיסוד. אי אפשר לדחוף את הפריזמה ABC עד אשר הלחצים על פניה AC ו-BC יהיו שווים ללחץ העפר הפסיבי של הפריזמות הצדדיות, כלומר, בעת חריגה ממצב שיווי־המשקל הגבולי הלחץ המתקבל של הקרקע q פועל בזווית ϕ ביחס לנורמל למשטח ההחלקה, כלומר בכיוון האנכי (איור 3). מאחר שבתחת השפעת העומס הטריז נע כלפי מטה אנכית, בעיית שיווי־המשקל בקרקע מצטמצמת לקביעת הלחץ העפר הפסיבי. אולם מכיוון שחישוב מדויק של כושר הנשיאה של הקרקע בשיטה זו מסובך, Terzaghi נתן פתרון מפושט. הנוסחה של Terzaghi לחישוב כושר הנשיאה הגבולי של הקרקע _q_f היא
- לכף יסוד בצורת פס
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
כאשר c הוא קוהזיית הקרקע
γ1 משקל נפחי של הקרקע מעל תחתית היסוד
Df עומק היסוד מתחת לפני הקרקע עד תחתית היסוד
γ2 המשקל הנפחי של הקרקע מתחת לתחתית היסוד
B רוחב כף היסוד.
Nc, Nq, Nγ הם גורמי נשיאה, התלויים בזווית החיכוך הפנימי של הקרקע; נוסחאותיו של גורם זה נתונות על פי הביטויים הבאים:
Nq הוא גורם הנובע ממשקל שכבת הקרקע הצדדית עד לעומק היסוד: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc הוא גורם עקב הלכידות: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ הוא גורם עקב משקלו העצמי של טריז הקרקע מתחת ליסוד הרדוד, כלומר מתחת לרוחב היסוד AB. את ערך גורם זה ממליץ Brinch Hansen כבקירוב: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
איור 4. חלוקת המאמצים שהקרקע מקבלת בעומס אנכי מרכזי של היסוד
בשל ההבדל הקטן במשקל הנפחי של הקרקע, מקובל לעיתים קרובות להניח γ1= γ2= γ. לפי המשוואה שלעיל, כושר הנשיאה של הקרקע תלוי (איור 4) ב: הלכידות של הקרקע התשתיתית c, העומס של הקרקע בצד יסוד _γ1 D_F, ומשקלה העצמי של הקרקע של פריזמת ההחלקה הפעילה ברוחב B.
אולם בעוד שהתפלגות המאמצים שהקרקע קולטת עקב פעולת הקוהזיה c ועומק היסוד Df היא אחידה על פני כל הרוחב, כלומר מלבנית, הרי שהתפלגות המאמצים שהקרקע קולטת עקב השפעת הרוחב B היא משולשת, כלומר המאמצים המרביים נקלטים במרכז היסוד ויורדים לעבר הקצוות, שם הם שווים לאפס.
איור 5. דיאגרמת מקדם כושר הנשיאה כתלות בזווית החיכוך הפנימי של הקרקע לפי טרזאגי
לערכים שונים של הזווית מ-0 עד 40°, טרזאגי הכין דיאגרמות של מקדם הנשיאה (איור 5). עם זאת, מקדמי הנשיאה Nc, Nq ו-Nγ (הקווים הרציפים באיור 5) ניתנים לאימוץ רק במקרה של קרקע דחוסה ומוצקה. אם הקרקע רופפת או דחיסה יותר, יש לאמץ את מקדמי הנשיאה N’c, N’q ו-N’γ (הקווים המקווקווים באיור 5), שנותנים ערכי 2/3 של התנגדות החיכוך. בנוסף, במקרה זה יש לקחת ערכי 2/3 של הלכידות c שהתקבלו במעבדה, כך שבמקרה זה מתקבל qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.
2. עבור יסוד בודד בצורת מלבן
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ כאשר L הוא אורך בסיס היסוד
3. עבור יסוד קרקע בצורת ריבוע
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. ליסוד רדוד עגול
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ כאשר r הוא רדיוס בסיס היסוד.
לחישוב העומס המותר על הקרקע מאמצים מקדם בטיחות F: qa = qf/F. ערך מקדם הבטיחות נע מ-2 עד 3 בהתאם לתנאי הקרקע והעומס.
יישום נוסחאות מתמטיות
יישום נוסחאות מתמטיות לקביעת העומס המותר על הקרקע מחייב הכרת המאפיינים הגאומכניים של הקרקע, כלומר הלכידות והחיכוך הפנימי בעומק התשתית, וכן המשקל הנפחי של הקרקע מעל ומתחת לתחתית היסוד. אם קרקע היסוד נמצאת מתחת למפלס מי התהום, יש להביא בחשבון גם את כוח העילוי בעת קביעת המשקל הנפחי של הקרקע.
בעומסי קרקע גדולים יותר ובמבנים גדולים יותר, כאשר הערך המתקבל של העומס המותר על הקרקע, על סמך נוסחאות מתמטיות, מנוצל במלואו, יש ללוות את חישוב כושר הנשיאה של הקרקע בחישוב שקיעות. כושר הנשיאה המחושב של הקרקע מתקבל רק אם חישוב השקיעות הניב שקיעה קטנה מן המותר עבור סוג המבנה הנתון. במקרה שחישוב השקיעות מניב שקיעה גדולה מן המותר, הערך המחושב של העומס המותר על הקרקע באמצעות נוסחאות חישוביות אינו מתקבל, ויש לשנות את שיטת היסוד כך שתתקבל שקיעה קטנה יותר, בתחום השקיעה המותרת עבור המבנה הנתון.
איור 6. עומק היסוד האפקטיבי D__f
בנוסחאות המתמטיות לקביעת כושר הנשיאה הסופי של הקרקע לא נלקח בחשבון חיכוך מעטפת היסוד, שגם הוא משתתף כהתנגדות לפעולת העומס, אם היסוד נוגע היטב בקרקע בצדדיו. אין להביא בחשבון את התנגדות חיכוך המעטפת, משום שחיכוך מעטפת ממשי קיים רק אצל כלונסאות הננעצות בקרקע, בעוד שאצל יסודות בודדים חיכוך המעטפת זניח, שכן היסודות מבוצעים בבורות שנחפרו מראש.
יישום נוסחאות מתמטיות שאינן מביאות בחשבון את צורת היסוד נותן את התוצאות הקרובות ביותר עבור יסודות בצורת רצועה, כלומר כאשר אורך היסוד גדול פי יותר משניים מרוחבו. בניסויים נמצא כי ביסודות בודדים בצורת ריבוע או עיגול מתרחש שבר בעומס גבולי שהוא גבוה ב־10-30% מן המחושב לפי הנוסחאות המתמטיות. יסודות בצורת משולש נותנים כושר נשיאה נמוך יותר מזה של רצועה, וכושר הנשיאה הנמוך ביותר מתקבל ביסודות טבעתיים, אם אינם מלאים.
עומק היסוד Df מחושב כעומק היסוד האפקטיבי מתחת לקרקע הבסיס של היסוד עד תחתית היסוד (איור 6). ביסודות שמתחת לחללים תת-קרקעיים, עומק היסוד האפקטיבי Df שונה מעומק היסוד גם מתחת לפני הקרקע. במקרים כאלה, לצורך חישוב העומס הסופי והמותר על הקרקע יש לאמץ תמיד Df, שכן מעל לקרקע הבסיס של היסוד יש אוויר שאינו מתנגד לדחיקה הצידית של הקרקע תחת פעולת עומס היסוד P.