માટી યાંત્રિકશાસ્ત્રમાં માટીની સીમાસર વહન ક્ષમતા અને માટીના અનુમોદિત ભાર નક્કી કરવામાં આવે છે.
અંતિમ ધારણ ક્ષમતા એ છે જે જમીનના ભંગ થવાના ક્ષણે પ્રાપ્ત થાય છે. જમીનનો ભંગ ત્યારે થાય છે જ્યારે પાયો જમીન પર જે ભાર મૂકે છે તે તેની શીયર મજબૂતાઈને વટાવી જાય છે. આ સ્થિતિમાં, પાયા _P_ના ભારણ હેઠળ સૌથી ઓછા પ્રતિરોધની સપાટીઓ ACD અને BCE – સરકાવ સપાટીઓ આકૃતિ 1 મુજબ દેખાય છે, જેઓ પર જમીન બાજુ તરફ ધકેલાય છે અને સાથે સાથે ઇમારતની બાજુમાં ભૂમિ સપાટી ઉપર જમીન ઉંચી થાય છે DG અને EF, જ્યારે પાયો પોતે બેસી જાય છે.
આકૃતિ 1. પાયો પરના ભારની અસર હેઠળ જમીનનું ભંગાણ
માટીનું કાપણ-પ્રતિરોધક દૃઢતા પાયાની ઊંડાઈ t સાથે વધે છે, કારણ કે ઉપરનાં સ્તરોના વજનને કારણે બાજુ તરફ દબાઈ જવાની શક્યતા ઘટે છે. તેથી, ઊંડા પાયા માટીનો ભંગ સર્જવાની સંભાવના ઓછી રાખે છે, જ્યારે ઊથલ પાયા માટે ભંગનો જોખમ વધારે હોય છે. તેવી જ રીતે, પહોળા પાયા પણ માટીનો ભંગ કરાવવાની શક્યતા ઓછી રાખે છે, કારણ કે સરકવાના સપાટીઓ વધુ ઊંડે બને છે.
મન્ય ભૂમિ ભાર તે છે જેને જમીન પર કાર્ય કરવા દેવામાં આવી શકે, એવી રીતે કે સૌથી પ્રતિકૂળ સંભવિત પરિસ્થિતિઓમાં પણ જમીનનો ભંગ ન થાય. જમીનની અંતિમ વહનક્ષમતા આધારે સુરક્ષા ગુણાંક લાગુ કરીને મન્ય ભૂમિ ભાર નક્કી થાય છે. સુરક્ષા ગુણાંકનું પ્રમાણ અનેક પરિબળો પર આધારિત છે; જેમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે જમીનની ભૌતિક લાક્ષણિકતાઓની ચોકસાઈ, જમીનની આંતરિક પ્રતિરોધક તત્વોના મૂલ્યોમાં ફેરફારની શક્યતા, ખાસ કરીને સંઘટન, જેના મૂલ્યમાં જમીનના પાણીના પ્રભાવ હેઠળ વિશાળ હદ સુધી ફેરફાર થઈ શકે છે, ત્યારબાદ અન્ય સંભવિત પરિબળોનો પ્રભાવ, જેમ કે ભારણની સ્થિતિઓ (અચાનક અને ગતિશીલ ભારણની શક્યતા), પાયા ઊંડાઈ, અને પાયા ના તળિયાની પહોળાઈ.
માટીની ભારવાહક ક્ષમતા જમીનના ભંગાણના આધારે નક્કી કરી શકાય છે, જે અંતિમ ભારવાહક ક્ષમતા આપે છે. જમીનની અંતિમ ભારવાહક ક્ષમતાથી ભારની એવી માત્રા સમજાય છે, જે ભંગાણ સર્જે છે. જમીનના ભંગાણના આધારે અંતિમ ભારવાહક ક્ષમતા નક્કી કરવાની બે રીતો છે, એટલે કે ગાણિતિક ઉકેલ અને પ્રયોગાત્મક ભારણ.
ગાણિતિક ઉકેલ
અनेक વૈજ્ઞાનિકોએ પ્રભાવક પરિબળોની જાણકારી અને વિવિધ તૂટણ-શરતોની ધારણાઓના આધારે માટીની સીમાત્મક ભારવહન ક્ષમતા નક્કી કરવા માટે ગણિતીય ઉકેલ શોધવાનો પ્રયત્ન કર્યો. પ્રભાવક પરિબળોમાં માટીના ભૌતિક લક્ષણો સામેલ છે, જે અખંડિત માટીના નમૂનાઓ પર પ્રયોગશાળાના પરીક્ષણો દ્વારા નક્કી થાય છે, ભૂગર્ભજળની સ્થિતિ, ફાઉન્ડેશનની ઊંડાઈ, ભારિત સપાટીનું કદ અને આકાર, તેમજ ભાર મૂકવાની રીત, એટલે કે સમાન કે અસમાન, કેન્દ્રિત કે વિકેન્દ્રિત લોડિંગ. તૂટણ-શરતો અંગેની ધારણાઓ પ્લાસ્ટિસિટી સિદ્ધાંત અને સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. જોકે, માટીની ભારવહન ક્ષમતા નક્કી કરવાની આધુનિક પદ્ધતિઓ પ્લાસ્ટિસિટી સિદ્ધાંત પર આધારિત છે, જેને કેટલીક સરળ ધારણાઓ સાથે જોડવામાં આવે છે.
અહીં અમે મર્યાદિત વહનક્ષમતા, એટલે કે માટીના અનુમેય ભારણની ગણતરી માટેની કેટલીક જાણીતી પદ્ધતિઓ રજૂ કરીશું.
પ્રાન્ડ્ટલ-કાકુટાનો આકાર
જો ફાઉન્ડેશન પાદ AB જમીનની સપાટીથી નીચે t ઊંડાઈએ સ્થાપિત હોય, તો આ ઊંડાઈએ ફાઉન્ડેશનના ભારને કારણે સંપર્ક દબાણ અને ફાઉન્ડેશન પાદના સ્તરથી જમીનની સપાટી સુધી ઉપરની માટીના વજનને કારણે બાજુ દબાણ p=γt કાર્ય કરે છે (આકૃતિ 2).
આધારના વજનના સીધા પ્રભાવ હેઠળ, જમીનની સીમિત વહનક્ષમતા વટાવવાના ક્ષણે, AC અને BC નામની સીધી સરકાણ સપાટીઓ ઉત્પન્ન થાય છે, જે ભારિત સપાટી સાથે α = 45° + ϕ/2 કોણ બનાવે છે. આ સરકાણ સપાટીઓ સક્રિય જમીન પ્રિઝમ ABC બનાવે છે.
આકૃતિ 2. પ્રાન્ડ્ટલ-કાકોટ મુજબ કેન્દ્રિય ભાર ધરાવતા ફાઉન્ડેશન ફૂટિંગના પ્રભાવ હેઠળ લોગારિધ્મિક સર્પાકાર આકારની સરકાવ સપાટીઓ
સક્રિય માટી પ્રિઝમના દબાણના પ્રભાવ હેઠળ બાજુમાં નિષ્ક્રિય માટી પ્રિઝમો ADD1 અને BEE1 બને છે, જેને તે ઢાળ સપાટીઓ DD1 અને EE1 સાથે, ક્ષિતિજ સાથે 45°-ϕ/2 ના કોણે, ઉપર ધકેલવાનો પ્રયત્ન કરે છે. સક્રિય અને નિષ્ક્રિય માટી દબાણની ઝોન વચ્ચે રેડિયલ કાતરણીની ઝોન ACD એટલે કે BCE હોય છે, જેમાં સીમા સમતોલતા પાર થતાં વક્ર સ્લાઇડિંગ સપાટીઓ પર સરકણ થાય છે. Résal એ ગણતરી કરી હતી કે રેડિયલ કાતરણીની ઝોનમાં સ્લાઇડિંગ સપાટીઓ A અથવા B ખાતે ધ્રુવ ધરાવતી લૉગારિદ્મિક સર્પાકાર સ્વરૂપની હોય છે, જેનું સમીકરણ r=r0 eπ tg_ϕ_ છે
માટીના મર્યાદિત ભારણને નક્કી કરવા માટે નીચેની ધારણાઓ કરવામાં આવી છે:
- કે આધાર સમતળ છે, એટલે કે ફાઉન્ડેશન પાદ અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ અવગણવામાં આવે છે;
- કે જમીનની કાપણી શક્તિ D1M અને E1N સપાટીઓ বরાબર અસ્તિત્વમાં નથી, એટલે કે અવગણવામાં આવે છે;
- કે પાયાના તળિયા નીચેની માટીની ઘનભારતા γ=0, એટલે કે પાયા નીચેની માટીના વજનના પ્રભાવને, પ્લાસ્ટિક સંતુલનની ઝોનમાં, અવગણવામાં આવે છે.
પ્રાન્ડ્ટલ-કાક્વોટનું સૂત્ર આ પ્રમાણે છે:
માટીની સીમાંત ભારવહન ક્ષમતા એ
જો આપણે મૂકી દઈએ:
બંધાયેલ જમીનની મર્યાદા ભારવહન ક્ષમતા qf = γtm + cm1. છે
માટીના આંતરિક ઘર્ષણના કોણના વિવિધ મૂલ્યો માટે m અને m1 ના મૂલ્યો કોષ્ટક 1 માં આપેલા છે.
કોષ્ટક 1. માટીના આંતરિક ઘર્ષણના વિવિધ કોણોની કિંમત માટે m અને m__1 ગુણાંકોના મૂલ્યો_
મંજૂર માટી ભાર qa = pdozv = qf/F છે, જ્યાં F સલામતી ગુણાંક છે. Prandtl-Caquot ના સૂત્રના ઉપયોગ માટે F = 4 સ્વીકારવામાં આવે છે, તેથી qa = qf/4.
ટર્ઝાગીનું સૂત્ર
Terzaghi એ પટ્ટા, ચોરસ અને વર્તુળાકાર પ્લેટના આકારના ભારની અસર હેઠળ માટીની અંતિમ ધારણ ક્ષમતા ગણવા માટે અર્ધ-પ્રયોગાત્મક સૂત્ર આપ્યું હતું. તેણે જમીનની સપાટીથી નીચે Df ઊંડાઈએ સ્થાપિત, B પહોળાઈ ધરાવતા પાયા (આકૃતિ 3)ને ધ્યાનમાં લીધો અને માની લીધું કે પાયાની પાથરણી AB અને માટી વચ્ચે ઘર્ષણ છે, જે માટીના બાજુએ ધકેલાવાને વિરોધ કરે છે, અને કે સ્લાઇડિંગ સપાટીઓ AB અને BC ભારિત સપાટિ સાથે આંતરિક ઘર્ષણનો કોણ બનાવે છે.
આકૃતિ 3. Terzaghi અનુસાર માટીની અંતિમ વહન ક્ષમતા
તેના પરિણામે, માટીના કિમાં ABC, જે આધાર AB અને સરકવાની સપાટી AC તથા BC વચ્ચે આવેલો છે, લવચીક સમતોલની સ્થિતિમાં રહે છે અને આધારના ભાગની જેમ વર્તે છે. પ્રિઝમ ABC ને ત્યાં સુધી દબાવી શકાતી નથી જ્યાં સુધી તેની બાજુઓ AC અને BC પરનો દબાણ બાજુના પ્રિઝમોના નિષ્ક્રિય માટી દબાણ જેટલો ન થાય, એટલે કે સમતોલની સીમા સ્થિતિ પસાર થાય ત્યારે પરિણામી માટી દબાણ q સરકવાની સપાટી પરની લંબ રેખા સામે ϕ કોણે કાર્ય કરે છે, એટલે કે ઊર્ધ્વ દિશામાં (આકૃતિ 3). ભારના પ્રભાવ હેઠળ કિમાં ઊભી રીતે નીચે જાય છે, તેથી માટીમાં સમતોલની સમસ્યા નિષ્ક્રિય માટી દબાણ નક્કી કરવાની બની જાય છે. જોકે આ પદ્ધતિથી માટીની વહનક્ષમતા નું ચોક્કસ ગણિત મુશ્કેલ હોવાથી, Terzaghiએ સરળ ઉકેલ આપ્યો. માટીની સીમાવર્તી વહનક્ષમતા q_f ગણવાનો Terzaghiનો સૂત્ર આ પ્રમાણે છે
- પટ્ટી આકારના પાયાની તળિયા માટે
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
જ્યાં c માટીનું સંયોજન છે
γ1 પાયાના તળિયાથી ઉપરની માટીનું ઘન વજન
Df જમીનની સપાટીથી ફાઉન્ડેશનના તળિયા સુધીનો સ્થાપન-ઊંડાણ
γ2 પાયા તળિયા નીચેની જમીનનું ઘનફળ-વજન
B પાયાની તળિયાની પહોળાઈ.
Nc, Nq, Nγ એ ભારવહન ક્ષમતાના ગુણાંક છે, જે જમીનના આંતરિક ઘર્ષણના કોણ પર આધારિત છે. આ ગુણાંક માટેનાં સૂત્રો નીચે મુજબ આપવામાં આવ્યા છે:
Nq એ પાયા મૂકવાની ઊંડાઈ સુધીની બાજુના માટીના સ્તરના વજનને કારણે મળતો પરિબળ છે: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc સંગ્રહણને કારણેનો ગુણાંક છે: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ એ પાયા હેઠળના માટીના ખૂણાના સ્વજનનથી ઉત્પન્ન ગુણાંક છે, એટલે કે આધારપાદ AB ની પહોળાઈ હેઠળનો. આ ગુણાંકનું અંદાજિત મૂલ્ય Brinch Hansen દ્વારા આમ સૂચવવામાં આવે છે: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
Sl. 4. પાયાના ઊભા કેન્દ્રીય ભાર હેઠળ જમીન પર પડતા તાણનું વિતરણ
માટી અને જમીનની ઘનતા વચ્ચેનો તફાવત નાનો હોવાથી ઘણી વાર γ1= γ2= γ સ્વીકારવામાં આવે છે. ઉપરની સમીકરણ મુજબ જમીનની વહનક્ષમતા (આકૃતિ 4) નીચેના પર આધારિત છે: આધારભૂમિની સંયોજકતા c, પાયા પાસેની માટીનો ભાર γ1 D_F, સક્રિય સ્લાઇડિંગ પ્રિઝમની પહોળાઈ B ની માટીની સ્વતઃ વજન.
પરંતુ જ્યાં મૃદા પર સહેજન c અને પાયો બેસાડવાની ઊંડાઈ _Df_ના પ્રભાવથી પ્રાપ્ત દબાણનું વિતરણ આખી પહોળાઈમાં સમાન, એટલે કે ચોરસાકાર હોય છે, ત્યાં પહોળાઈ Bના પ્રભાવથી પ્રાપ્ત દબાણનું વિતરણ ત્રિકોણાકાર હોય છે, એટલે કે સૌથી મોટા દબાણ પાયાના મધ્યમાં લેવાય છે અને કિનારીઓ તરફ જઈ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આકૃતિ 5. Terzaghi મુજબ માટીના આંતરિક ઘર્ષણના કોણ પર આધારિત ધારણ ક્ષમતાના ગુણાંકનો આલેખ
0 થી 40° સુધીના કોણના વિવિધ મૂલ્યો માટે, Terzaghiએ વહન ક્ષમતા ફેક્ટરોના આલેખો તૈયાર કર્યા (આકૃતિ 5). જોકે વહન ક્ષમતા ફેક્ટરો Nc, Nq અને Nγ (આકૃતિ 5 પરની પૂર્ણ રેખાઓ) માત્ર સંકુચિત અને મજબૂત માટીના કિસ્સામાં જ અપનાવી શકાય છે. જો માટી ઢીલી અથવા વધુ સંકોચનક્ષમ હોય, તો N’c, N’q અને N’γ (આકૃતિ 5 પરની તૂટક રેખાઓ) વહન ક્ષમતા ફેક્ટરો અપનાવવા જોઈએ, જે ઘર્ષણ પ્રતિકારના 2/3 મૂલ્યો આપે છે. ઉપરાંત, આ કિસ્સામાં પ્રયોગશાળામાં મેળવેલ સહસંયોજન c ના 2/3 મૂલ્યો લેવાના રહે છે, તેથી આ સ્થિતિમાં આપણને qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ. મળે છે.
2. લંબચોરસ આકારનો આધારપાદ
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ જ્યાં L પાયા પાટાનું લંબાઈ છે
3. ચોરસ આકારના જમીની પાયા માટે
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. વર્તુળાકાર આધાર તળિયા માટે
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ જ્યાં r આધારપાદનો અર્ધવ્યાસ છે.
માટીના સ્વીકાર્ય ભારણની ગણતરી માટે સલામતી ગુણાંક F લેવાય છે: qa = qf/F. સલામતી ગુણાંકનું મૂલ્ય માટી અને ભારણની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર 2 થી 3 વચ્ચે રહે છે.
ગણિતીય નમૂનાઓનો ઉપયોગ
જમીનની અનુમોદિત ભારવહન ક્ષમતા નક્કી કરવા માટેના ગણિતીય સૂત્રોના ઉપયોગ માટે જમીનની જીઓમેકેનિકલ લાક્ષણિકતાઓ, એટલે કે પાયાની ઊંડાઈએ સંયોજન અને આંતરિક ઘર્ષણ, તેમજ પાયા તળિયા ઉપર અને નીચેની જમીનનું ઘનફળ-વજન જાણવું જરૂરી છે. જો પાયાની જમીન ભૂગર્ભજળના સ્તર નીચે હોય, તો જમીનના ઘનફળ-વજન નક્કી કરતી વખતે ઉત્થાનબળને પણ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ.
માટી પરના વધુ ભાર અને મોટા બાંધકામો માટે, જ્યારે ગણિતીય સૂત્રોના આધારે પ્રાપ્ત થયેલ મંજૂર જમીન-ભાર મૂલ્ય સંપૂર્ણ રીતે ઉપયોગમાં લેવાય, ત્યારે જમીનની વહનક્ષમતાની ગણતરી સાથે સ્લેગણની ગણતરી પણ કરવી જરૂરી છે. ગણિતથી મળેલી જમીન વહનક્ષમતા માત્ર ત્યારે જ સ્વીકારવામાં આવે, જો સ્લેગણની ગણતરીથી 해당 પ્રકારની રચના માટે મંજૂર કરતાં ઓછું સ્લેગણ મળ્યું હોય. જો ગણતરીમાં મળેલ સ્લેગણ મંજૂર કરતાં વધારે હોય, તો ગણિતીય સૂત્રોથી કાઢેલ મંજૂર જમીન-ભારનું મૂલ્ય સ્વીકારવામાં આવતું નથી; બદલે આધારની પદ્ધતિમાં ફેરફાર કરીને એવું કરવું પડે કે 해당 બાંધકામની રચના માટે મંજૂર સ્લેગણની મર્યાદામાં ઓછું સ્લેગણ પ્રાપ્ત થાય.
ચિત્ર 6. આધારસ્થાપનની અસરકારક ઊંડાઈ D__f
જમીનની સીમાવર્તી ધારણ ક્ષમતા નક્કી કરવા માટેના ગણિતીય સૂત્રોમાં પાયાના આવરણના ઘર્ષણને ગણવામાં લીધું નથી, જે ભારના પ્રભાવ સામે પ્રતિરોધ રૂપે પણ ભાગ લે છે, જો પાયો બાજુઓથી જમીનને મજબૂતીથી સ્પર્શે છે. આવરણ ઘર્ષણનો પ્રતિરોધ ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ નહીં, કારણ કે વાસ્તવિક આવરણ ઘર્ષણ માત્ર જમીનમાં ઠોકવામાં આવતા ઢગલા/પાઇલ્સમાં જ હોય છે, જ્યારે ફાઉન્ડેશન ફૂટિંગ્સમાં આવરણ ઘર્ષણ અતિ નાનું હોય છે, કારણ કે ફૂટિંગ્સ પહેલેથી ખોદેલા ખાડાઓમાં બનાવવામાં આવે છે.
પાયોનો આકાર ગણતરીમાં ન લેવાતા ગણિતીય સૂત્રોના ઉપયોગથી પટ્ટા-આકારના પાયાઓ માટે સૌથી નજીકનાં પરિણામ મળે છે, એટલે કે જ્યારે પાયાની લંબાઈ તેની પહોળાઈ કરતાં બે ગણાથી વધુ હોય. પરીક્ષણોથી સાબિત થયું છે કે ચોરસ અથવા વર્તુળાકાર પાયાના પાદોમાં તૂટણ તે મર્યાદાકીય ભાર પર થાય છે, જે ગણિતીય સૂત્રો દ્વારા ગણવામાં આવેલા ભાર કરતાં 10-30% વધુ હોય છે. ત્રિકોણાકાર પાદો પટ્ટા કરતાં ઓછી વહન ક્ષમતા આપે છે, અને જો ભરેલા ન હોય તો સૌથી ઓછી વહન ક્ષમતા વલયાકાર પાદોમાં હોય છે.
ફાઉન્ડેશનની ઊંડાઈ _Df_ની ગણતરી ફાઉન્ડેશનની બેઝની જમીન નીચેની અસરકારક ઊંડાઈથી લઈને ફાઉન્ડેશનના તળિયાં સુધી કરવામાં આવે છે (ચિત્ર 6). ભૂગર્ભ કોઠાઓ નીચેના ફાઉન્ડેશનોમાં, અસરકારક ઊંડાઈ Df જમીનની સપાટીથી નીચેની ફાઉન્ડેશન ઊંડાઈથી અલગ હોય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, માટીના સીમાવર્તી અને મંજૂર ભારની ગણતરી માટે હંમેશા Df અપનાવવી જોઈએ, કારણ કે ફાઉન્ડેશનની બેઝની ઉપર હવા હોય છે, જે ફાઉન્ડેશનના ભાર _P_ના પ્રભાવ હેઠળ માટીના બાજુના ધકેલાને રોકતી નથી.