Fil-mekkanika tal-ħamrija jiġu determinati l-kapaċità ta’ ġarr limitu tal-ħamrija u l-tagħbija permessa tal-ħamrija.
Il-kapaċità ta’ ġarr limitu tal-ħamrija hija dik li tintlaħaq fil-mument meta jseħħ it-tkissir tal-ħamrija. It-tkissir tal-ħamrija jseħħ meta t-tagħbija li biha l-pedament jaġixxi fuq il-ħamrija taqbeż is-saħħa tagħha kontra l-qtugħ. F’dan il-każ, taħt l-azzjoni tat-tagħbija tal-pedament P jidhru l-uċuħ tal-inqas reżistenza ACD u BCE – uċuħ ta’ skidding fig. 1, li fuqhom il-ħamrija tiġi mbuttata lejn il-ġenb u fl-istess ħin iseħħ titqajjem tal-ħamrija ’l fuq mill-wiċċ tat-terren ħdejn l-oġġett DG u EF, filwaqt li l-pedament innifsu jinżel.
Fig. 1. Ksur tal-ħamrija taħt l-azzjoni tat-tagħbija tal-pedament
Is-saħħa tat-tqattigħ tal-ħamrija tiżdied mal-fond tal-fondazzjoni t, għax minħabba l-piż tas-saffi ta’ fuq tonqos il-possibbiltà ta’ spinta laterali. Għaldaqstant, fondazzjonijiet profondi inqas faċilment jikkawżaw ksur tal-ħamrija, filwaqt li fondazzjonijiet baxxi huma perikolużi għall-ksur. Bl-istess mod, fondazzjonijiet wesgħin inqas faċilment jikkawżaw ksur tal-ħamrija, għax il-wiċċijiet ta’ żliq ikunu aktar fil-fond.
It-tagħbija permessa tal-ħamrija hija dik li jista’ jitħalla jaġixxi fuq il-ħamrija b’tali mod li ma jikkawżax ksur tal-ħamrija taħt l-aktar kundizzjonijiet sfavorevoli possibbli. It-tagħbija permessa tal-ħamrija tiġi determinata fuq il-bażi tal-kapaċità ta’ ġarr limitu tal-ħamrija bl-użu ta’ fattur ta’ sigurtà. Id-daqs tal-fattur ta’ sigurtà jiddependi fuq diversi fatturi, fosthom l-aktar importanti huma l-eżattezza tal-karatteristiċi fiżiċi tal-ħamrija, il-possibbiltà ta’ tibdil fil-valuri tal-elementi tar-reżistenza interna tal-ħamrija, speċjalment il-koeżjoni, li l-valur tagħha jista’ jvarja f’firxiet wiesgħa taħt l-azzjoni tal-ilma fil-ħamrija, imbagħad l-influwenza ta’ fatturi oħra possibbli, bħalma huma l-kundizzjonijiet tat-tagħbija (il-possibbiltà ta’ tagħbija f’daqqa u dinamika), il-fond tal-fondazzjoni, u l-wisa’ tas-saqajn tal-pedament.
Il-kapaċità li ġġorr il-ħamrija tista’ tiġi determinata fuq il-bażi tal-ksur tal-ħamrija, li jagħti l-kapaċità massima li ġġorr. Bil-kapaċità massima li ġġorr il-ħamrija nifhmu l-ammont ta’ tagħbija li jikkawża l-ksur. Hemm żewġ modi kif tiġi determinata l-kapaċità massima li ġġorr fuq il-bażi tal-ksur tal-ħamrija, jiġifieri soluzzjoni matematika u tagħbija ta’ prova.
Soluzzjoni matematika
Bosta xjenzati ppruvaw isibu soluzzjoni matematika biex jiddeterminaw il-kapaċità ta’ ġarr limitu tal-ħamrija, ibbażati fuq l-għarfien tal-fatturi influwenti u taħt assunzjonijiet differenti ta’ kundizzjonijiet ta’ ksur. Il-fatturi influwenti huma l-karatteristiċi fiżiċi tal-ħamrija, li jiġu determinati permezz ta’ testijiet fil-laboratorju fuq kampjuni tal-ħamrija mhux imħarbta, l-istat tal-ilma ta’ taħt l-art, il-fond tal-fondazzjoni, id-daqs u l-forma tal-wiċċ mgħobbi, kif ukoll il-mod tat-tagħbija, jiġifieri tagħbija uniformi jew mhux uniformi, ċentrika jew eċċentrika tal-ħamrija. L-assunzjonijiet dwar il-kundizzjonijiet ta’ ksur huma bbażati fuq it-teorija tal-plastiċità u t-teorija tal-elastiċità. Madankollu, il-metodi moderni għad-determinazzjoni tal-kapaċità ta’ ġarr tal-ħamrija huma bbażati fuq it-teorija tal-plastiċità, li tiġi kkombinata ma’ xi assunzjonijiet simplifikati.
Hawnhekk se nippreżentaw diversi metodi ta’ kalkolu magħrufa għad-determinazzjoni tal-kapaċità ta’ ġarr limitu, jiġifieri tat-tagħbija permissibbli tal-ħamrija.
Il-forma ta’ Prandtl-Caquota
Jekk il-qiegħ tal-fondazzjoni AB ikun fondat f’fond t taħt il-wiċċ tat-terren, f’dan il-fond ikun hemm pressjoni ta’ kuntatt minħabba l-piż tal-fondazzjoni u pressjoni laterali p=γt minħabba l-piż tal-ħamrija fuq il-livell tal-qiegħ tal-fondazzjoni sal-wiċċ tat-terren (fig. 2).
Taħt l-azzjoni diretta tal-piż tal-fondazzjoni, fil-mument li tinqabeż il-kapaċità ta’ ġarr limitu tal-ħamrija, jidhru l-uċuħ veri ta’ żlieq AC u BC, li jagħlqu angolu α = 45° + ϕ/2 mal-wiċċ mgħobbi. Dawn l-uċuħ ta’ żlieq jiffurmaw il-priżma attiva tal-art ABC.
Fig. 2. Uċuħ ta’ skidding fil-forma ta’ spirali loġaritmika taħt l-effett ta’ pedament mgħobbi b’mod ċentriku skont Prandtl-Caquot
Taħt l-azzjoni tal-pressjoni tal-priżma attiva tal-ħamrija jiffurmaw priżmi tal-ħamrija passiva laterali ADD1 u BEE1, li din tfittex li tgħolli ’l fuq fuq il-wiċċijiet ta’ tiżloq DD1 u EE1, b’angolu 45°-ϕ/2 mal-orizzontali. Bejn iż-żona tal-pressjoni attiva u dik passiva tal-ħamrija teżisti żona ta’ qtugħ radjali ACD rispettivament BCE, fejn, meta tinqabeż l-ekwilibriju limitu, it-tiżloq iseħħ fuq uċuħ mgħawġa ta’ tiżloq. Résal ikkalkula li l-uċuħ ta’ tiżloq fiż-żona ta’ qtugħ radjali għandhom l-għamla ta’ spirali loġaritmika b’polu f’A rispettivament B, li l-ekwazzjoni tagħhom hija r=r0 eπ tg_ϕ_
Għad-determinazzjoni tat-tagħbija limitu tal-ħamrija saru dawn l-assunzjonijiet li ġejjin:
- il-fondazzjoni tkun lixxa, jiġifieri l-frizzjoni bejn il-qiegħ tal-fondazzjoni u l-ħamrija tiġi injorata;
- li s-saħħa tal-qtugħ tal-ħamrija tul l-uċuħ D1M u E1N ma teżistix, jiġifieri tiġi injorata;
- li l-piż volumetriku tal-ħamrija taħt il-qiegħ tal-fondazzjoni γ=0, jiġifieri jiġi injorat l-effett tal-piż tal-ħamrija taħt il-pedament, fiż-żona tal-ekwilibriju plastiku.
Il-forma ta’ Prandtl-Caquot tgħid:
Il-kapaċità limitu ta’ ġarr tal-ħamrija hi
Jekk inpoġġu:
il-kapaċità ġeotektika tal-ħamrija koeżiva hija qf = γtm + cm1.
Għal valuri differenti tal-angolu tal-frizzjoni interna tal-ħamrija, il-valuri għal m u m1 huma mogħtija fit-tabella 1.
Tab. 1. Valuri tal-koeffiċjenti m u m__1 għal valuri differenti tal-angolu tal-frizzjoni interna tal-ħamrija
It-tagħbija permessa tal-ħamrija hija qa = pdozv = qf/F fejn F huwa l-fattur ta’ sigurtà. Għall-applikazzjoni tal-formula ta’ Prandtl-Caquot jittieħed F = 4, għalhekk qa = qf/4.
Il-formola ta’ Terzaghi
Terzaghi ta forma semiempirika għall-kalkolu tal-kapaċità ta’ ġarr limitu tal-art taħt l-effett ta’ tagħbija ta’ forma ta’ strixxa, kwadru u pjanċa ċirkolari. Huwa kkunsidra pedament mibni fuq fond Df taħt il-wiċċ tal-art, b’wisa’ B (fig. 3), u aċċetta li teżisti frizzjoni bejn il-qiegħ tal-pedament AB u l-art, li tikkontrobatti l-ispostament laterali tal-art, u li l-uċuħ ta’ skidd AB u BC jiffurmaw mal-wiċċ mgħobbi angolu ta’ frizzjoni interna.
Fig. 3. Kapaċità limitata ta’ ġarr tal-ħamrija skont Terzaghi
B’riżultat ta’ dan, il-ħamrija fil-kunjun tal-art ABC, imdawra bejn il-pedament AB u l-uċuħ ta’ żliq AC u BC, tibqa’ fi stat ta’ bilanċ elastiku u taġixxi bħala parti mill-pedament. Il-priżma ABC ma tistax tiġi mbuttata sakemm il-pressjonijiet fuq il-ġnub tagħha AC u BC ma jkunux ugwali għall-pressjoni passiva tal-ħamrija tal-priżmi tal-ġnub, jiġifieri li, meta jinqabeż l-istat ta’ bilanċ limitu, il-pressjoni riżultanti tal-ħamrija q taġixxi taħt angolu ϕ lejn in-normal għall-wiċċ ta’ żliq, jiġifieri fid-direzzjoni vertikali (fig. 3). Peress li taħt l-influwenza tat-tagħbija l-kunjun jiċċaqlaq vertikalment ’l isfel, il-problema tal-bilanċ fil-ħamrija titnaqqas għad-determinazzjoni tal-pressjoni passiva tal-ħamrija. Madankollu, peress li l-kalkolu preċiż tal-kapaċità li ġġorr il-ħamrija skont dan il-metodu huwa kkumplikat, Terzaghi pprovda soluzzjoni simplifikata. Il-formula ta’ Terzaghi għall-kalkolu tal-kapaċità li ġġorr finali tal-ħamrija _q_f hija kif ġej
- Għal sieq tal-pedament b’forma ta’ strixxa
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
fejn c hija l-koeżjoni tal-ħamrija
γ1 piż volumetriku tal-ħamrija fuq il-qiegħ tal-pedament
Df fondazzjoni taħt il-wiċċ tat-terren sal-qiegħ tal-fondazzjoni
γ2 piż volumetriku tal-ħamrija taħt il-qiegħ tal-pedament
B wisa’ tas-sieq tal-pedament.
Nc, Nq, Nγ huma fatturi ta’ kapaċità ta’ ġarr, dipendenti fuq l-angolu tal-frizzjoni interna tal-ħamrija. Il-valuri ta’ dan il-fattur jingħataw mill-forom li ġejjin:
Nq huwa l-fattur minħabba l-piż tas-saff laterali tal-ħamrija sal-fond tal-fondazzjoni: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc huwa l-fattur minħabba l-koeżjoni: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ huwa l-fattur minħabba l-piż proprju tal-kunjard tal-ħamrija taħt il-pedament, jiġifieri taħt il-wisa’ tal-qiegħ AB. Il-valur ta’ dan il-fattur huwa rrakkomandat minn Brinch Hansen bħala approssimazzjoni: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
Fig. 4. Distribuzzjoni tal-istress li tirċievi l-ħamrija taħt tagħbija ċentrika vertikali tal-pedament
Minħabba d-differenza żgħira fil-piż volumetriku tal-ħamrija, spiss jiġi adottat γ1= γ2= γ. Skont l-ekwazzjoni ta’ qabel, il-kapaċità li ġġorr il-ħamrija tiddependi (fig. 4) minn: il-koeżjoni tal-ħamrija tal-pedament c, it-tagħbija tal-ħamrija ħdejn il-pedament _γ1 D_F, il-piż tagħha stess tal-priżma ta’ żlieq attiva b’wisa’ B.
Madankollu, filwaqt li d-distribuzzjoni tal-istress li jġarrab il-ħamrija minħabba l-azzjoni tal-koeżjoni c u l-fond tal-fondazzjoni Df tkun uniformi fuq il-wisa’ kollha, jiġifieri rettangolari, min-naħa l-oħra d-distribuzzjoni tal-istress li jġarrab il-ħamrija minħabba l-influwenza tal-wisa’ B tkun trijangulari, jiġifieri l-akbar stress jintlaqa’ fin-nofs tal-pedament, u jonqos lejn it-truf fejn ikun ugwali għal żero.
Fig. 5. Dijagramma tal-fattur tal-kapaċità ta’ ġarr skont l-angolu tal-frizzjoni interna tal-art skont Terzaghi
Għal valuri differenti tal-angolu minn 0 sa 40°, Terzaghi ħejja dijagrammi tal-fattur ta’ kapaċità ta’ ġarr (fig. 5). Madankollu, il-fatturi ta’ kapaċità ta’ ġarr Nc, Nq u Nγ (linji sħaħ fil-figura 5) jistgħu jiġu adottati biss fil-każ ta’ ħamrija kompatta u soda. Jekk il-ħamrija tkun maħlula jew aktar kompressibbli, allura għandhom jiġu adottati l-fatturi ta’ kapaċità ta’ ġarr N’c, N’q u N’γ (linji miksura fil-fig. 5), li jagħtu 2/3 tal-valuri tar-reżistenza tal-frizzjoni. Barra minn hekk, f’dan il-każ għandhom jittieħdu 2/3 tal-valuri tal-koeżjoni c miksuba fil-laboratorju, b’tali mod li f’dan il-każ ikollna qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.
2. Għall-qiegħ tal-fondazzjoni b’forma rettangolari
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ fejn L hija t-tul tas-saqajn tal-pedament
3. Għal pedament tal-ħamrija b’forma ta’ kwadru
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. Għall-footing bażiku ta’ forma ċirkolari
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ fejn r huwa r-raġġ tas-sieq tal-pedament.
Għall-kalkolu tat-tagħbija permissibbli tal-ħamrija jittieħed il-fattur ta’ sigurtà F: qa = qf/F. Il-valur tal-fattur ta’ sigurtà jvarja minn 2 sa 3 skont il-kundizzjonijiet tal-ħamrija u t-tagħbija.
Applikazzjoni ta’ mudelli matematiċi
L-użu ta’ forom matematiċi biex jiġi determinat it-tagħbija ammissibbli tal-ħamrija jirrikjedi għarfien tal-karatteristiċi ġeomekkaniċi tal-ħamrija, jiġifieri l-koeżjoni u l-frizzjoni interna fil-fond tal-fondazzjoni u l-piż volumetriku tal-ħamrija ’l fuq u ’l isfel mill-qiegħ tal-pedament. Jekk il-ħamrija tal-fondazzjoni tinsab taħt il-livell tal-ilma ta’ taħt l-art, għandu jittieħed inkunsiderazzjoni wkoll il-bużżieqa idrostatika meta jiġi ddeterminat il-piż volumetriku tal-ħamrija.
F’każ ta’ tagħbijiet akbar fuq il-ħamrija u strutturi akbar, meta l-valur miksub tat-tagħbija permissibbli fuq il-ħamrija fuq il-bażi ta’ mudelli matematiċi jintuża sal-aħħar, il-kalkolu tal-kapaċità ta’ ġarr tal-ħamrija għandu jkun akkumpanjat b’kalkolu tas-sedimentazzjoni. Il-kapaċità ta’ ġarr ikkalkulata tal-ħamrija tiġi aċċettata biss meta l-kalkolu tas-sedimentazzjoni jagħti sedimentazzjoni iżgħar minn dik permissibbli għat-tip ta’ struttura kkonċernata. Jekk il-kalkolu jagħti sedimentazzjoni akbar minn dik permissibbli, il-valur ikkalkulat tat-tagħbija permissibbli fuq il-ħamrija permezz tal-formuli ta’ kalkolu ma jiġix aċċettat, iżda għandu jinbidel il-mod ta’ fondazzjoni sabiex tinkiseb sedimentazzjoni iżgħar, fil-limiti tas-sedimentazzjoni permissibbli għall-kostruzzjoni partikolari tal-bini.
Fig. 6. Fond effettiv tal-fondazzjoni D__f
Fil-formuli matematiċi għad-determinazzjoni tal-kapaċità ta’ ġarr limitu tal-ħamrija ma tqisx il-frizzjoni tal-kisi tal-pedament, li wkoll tikkontribwixxi bħala reżistenza kontra l-azzjoni tat-tagħbija, sakemm il-pedament ikun f’kuntatt sod mal-ħamrija fuq il-ġnub. Ir-reżistenza tal-frizzjoni tal-kisi m’għandhiex tiġi kkunsidrata, għax il-frizzjoni reali tal-kisi teżisti biss fil-piluni li jiġu misjuqa fil-ħamrija, filwaqt li fil-pedamenti l-frizzjoni tal-kisi hija żgħira ħafna, peress li l-pedamenti jsiru f’ħofor imħaffrin minn qabel.
L-applikazzjoni ta’ mudelli matematiċi fejn il-forma tal-pedament ma tittieħedx inkunsiderazzjoni tagħti l-eqreb riżultati għall-pedamenti ta’ forma ta’ strixxa, jiġifieri meta t-tul tal-pedament ikun aktar minn darbtejn akbar mill-wisa’ tiegħu. Permezz ta’ testijiet ġie stabbilit li, fil-każ ta’ pedamenti kwadri jew ċirkolari, il-ksur iseħħ taħt tagħbija kritika li tkun għal 10-30% ogħla minn dik ikkalkulata skont il-mudelli matematiċi. Pedamenti ta’ forma trijangolari jagħtu kapaċità ta’ ġarr iżgħar minn dik tal-istrixxa, u l-iżgħar kapaċità ta’ ġarr tingħata minn pedamenti ta’ forma ta’ ċirku, jekk ma jkunux mimlija.
Il-fond tal-pedament Df jiġi kkalkulat bħala l-fond effettiv tal-pedament taħt il-ħamrija tal-bażi tal-pedament sal-qiegħ tal-pedament (Fig. 6). Fil-każ ta’ pedamenti taħt kmamar taħt l-art, il-fond effettiv tal-pedament Df huwa differenti mill-fond tal-pedament u wkoll minn dak taħt il-wiċċ tal-art. F’każijiet bħal dawn, għall-kalkolu tat-tagħbija limitu u tat-tagħbija permessa tal-ħamrija dejjem għandu jittieħed Df, peress li fuq il-ħamrija tal-bażi tal-pedament hemm arja li ma topponix ruħha għall-ispostament laterali tal-ħamrija taħt l-effett tat-tagħbija tal-pedament P.