Inom geotekniken bestäms jordens gränsbärförmåga och tillåten markbelastning.
Bärförmågan i brottgränstillstånd hos jorden är den som uppnås i det ögonblick då markbrott inträffar. Markbrott uppstår när belastningen som grunden verkar med på jorden överskrider dess skjuvhållfasthet. I detta fall uppträder, under grundens belastning P, ytor med minsta motstånd ACD och BCE – glidytor fig. 1, längs vilka jorden pressas ut åt sidan och samtidigt sker en upplyftning av jorden ovan markytan intill objektet DG och EF, medan själva grunden sjunker.
Fig. 1. Jordbrott under inverkan av grundlast
Jordens skjuvhållfasthet ökar med grundläggningsdjupet t, eftersom möjligheten till sidoutpressning minskar under de övre lagrens tyngd. Därför leder djupa grunder svårare till brott i jorden, medan grunda grunder innebär risk för brott. Likaså är breda grunder mindre benägna att orsaka jordbrott, eftersom glidytorna ligger djupare.
Tillåten belastning av jorden är den belastning som får verka på jorden utan att jordbrott uppstår under de mest ogynnsamma möjliga förhållandena. Den tillåtna jordbelastningen bestäms utifrån jordens gränsbärförmåga genom tillämpning av en säkerhetsfaktor. Storleken på säkerhetsfaktorn beror på flera faktorer, bland vilka de viktigaste är noggrannheten hos jordens fysikaliska egenskaper, möjligheten till förändringar i värdena för jordens inre motståndselement, särskilt kohesionen, vars värde kan variera inom vida gränser under påverkan av vatten i jorden, samt inverkan av möjliga andra faktorer, såsom belastningsförhållanden (möjlighet till plötslig och dynamisk belastning), grundläggningsdjup och bredden på grundsulan.
Jordens bärförmåga kan bestämmas utifrån jordbrottet, vilket ger den gränsiga bärförmågan. Med jordens gränsiga bärförmåga avses den belastningsstorlek som orsakar brott. Det finns två sätt att bestämma den gränsiga bärförmågan utifrån jordbrott, nämligen matematisk lösning och provbelastning.
Matematisk lösning
Många forskare har försökt finna en matematisk lösning för att bestämma jordens gränsbärförmåga, med utgångspunkt i kännedom om påverkande faktorer och under olika antaganden om brottvillkoren. De påverkande faktorerna är jordens fysikaliska egenskaper, vilka bestäms genom laboratorieförsök på oförstörda jordprover, grundvattenförhållanden, grundläggningsdjup, storlek och form på den belastade ytan samt belastningssättet, dvs. jämn eller ojämn, centrerad eller excentrisk belastning av jorden. Antagandena om brottvillkoren grundar sig på plasticitetsteorin och elasticitetsteorin. De moderna metoderna för bestämning av jordens bärförmåga grundar sig emellertid på plasticitetsteorin, som kombineras med vissa förenklade antaganden.
Här ska vi redovisa några kända beräkningsmetoder för bestämning av bärförmågegränsen, respektive jordens tillåtna belastning.
Prandtl-Caquots formel
Om grundsulan AB är grundlagd på djupet t under markytan, råder på detta djup ett kontakttryck till följd av grundens belastning och ett sidotryck p=γt till följd av jordens tyngd ovanför grundsulans nivå ned till markytan (fig. 2).
Under fundamentets direkta inverkan av tyngden, i det ögonblick då markens gränsbärförmåga överskrids, uppstår de raka glidytorna AC och BC, som bildar vinkeln α = 45° + ϕ/2 med den belastade ytan. Dessa glidytor bildar den aktiva jordprismen ABC.
Fig. 2. Glidytor i form av logaritmiska spiraler under påverkan av en centriskt belastad grundsula enligt Prandtl-Caquot
Under trycket från den aktiva jordprismen bildas lateralt passiva jordprismor ADD1 och BEE1, som den strävar efter att pressa uppåt längs glidytorna DD1 och EE1, med vinkeln 45°-ϕ/2 mot horisontalen. Mellan zonen för aktivt och passivt jordtryck finns zonen för radiell skjuvning ACD respektive BCE, där glidning vid överskridande av gränsekvilibrium uppstår längs krökta glidytor. Résal beräknade att glidytorna i zonen för radiell skjuvning har formen av en logaritmisk spiral med pol i A respektive B, vars ekvation är r=r0 eπ tg_ϕ_
För att bestämma jordens gränslast har följande antaganden gjorts:
- att grunden är slät, det vill säga att friktionen mellan grundsulan och marken försummas;
- att jordens skjuvhållfasthet längs ytorna D1M och E1N inte förekommer, dvs. försummas;
- att jordens volymvikt under grundbottnen γ=0, dvs. att inverkan av jordens tyngd under grundsulan försummas, i det plastiska jämviktstillståndet.
Prandtl–Caquot-formeln lyder:
Jordens gränsbärförmåga är
Om vi sätter:
den gränsbärande förmågan hos sammanhållen jord är qf = γtm + cm1.
För olika värden på jordens inre friktionsvinkel ges värdena för m och m1 i tabell 1.
Tabell 1. Värden på koefficienterna m och m__1 för olika värden på jordens inre friktionsvinkel
Det tillåtna marktrycket är qa = pdozv = qf/F där F är säkerhetsfaktorn. För tillämpning av Prandtl-Caquot-formeln antas F = 4, så att qa = qf/4.
Terzaghis formel
Terzaghi gav en semieempirisk formel för beräkning av jordens gränsbärförmåga under belastning av band-, kvadratiska och cirkulära plattor. Han betraktade ett fundament grundlagt på djupet Df under markytan, med bredden B (fig. 3), och antog att det finns friktion mellan fundamentets sula AB och jorden, vilken motverkar jordens sidoutpressning, samt att glidytorna AB och BC bildar vinkeln av inre friktion med den belastade ytan.
Sl. 3. Jordens gränsbärförmåga enligt Terzaghi
Därigenom förblir jorden i jordkilen ABC, som ligger mellan fundamentet AB och glidytorna AC och BC, i ett tillstånd av elastisk jämvikt och beter sig som en del av fundamentet. Prisman ABC kan inte pressas ned förrän trycken på dess sidor AC och BC blir lika med det passiva jordtrycket från sidoprismerna, vilket betyder att när gränstillståndet för jämvikt överskrids verkar det resulterande jordtrycket q med vinkeln ϕ mot normalen till glidytan, dvs. i vertikal riktning (fig. 3). Eftersom kilen under belastning rör sig vertikalt nedåt, reduceras jämviktsproblemet i jorden till bestämning av det passiva jordtrycket. Men eftersom en exakt beräkning av jordens bärförmåga enligt denna metod är komplicerad, gav Terzaghi en förenklad lösning. Terzaghis uttryck för beräkning av jordens gränsbärförmåga _q_f lyder
- För en remsfot
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
där c är jordens kohesion
γ1 jordens volymvikt ovanför grundsulan
Df grundläggningsdjup under markytan till grundbotten
γ2 jordens volymvikt under grundsulan
B bredd på grundsulan.
Nc, Nq, Nγ är bärförmågefaktorer, beroende av jordens inre friktionsvinkel. Värdena för denna faktor ges av följande uttryck:
Nq är en faktor till följd av vikten av det laterala jordlagret till grundläggningsdjupet: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc är faktorn på grund av kohesion: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ är faktorn till följd av jordkegels egenvikt under grundsulan, dvs. under sulans bredd AB. Värdet på denna faktor rekommenderas av Brinch Hansen som ungefärligt: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
Fig. 4. Fördelning av de spänningar som marken tar upp vid vertikal centriskt belastning av grunden
På grund av den lilla skillnaden i jordens volymvikt antas ofta γ1= γ2= γ. Enligt ovanstående ekvation beror jordens bärförmåga (fig. 4) på: grundjordens kohesion c, jordlasten intill grunden γ1 D_F, samt den aktiva glidprismans egenvikt med bredden B.
Men medan spänningsfördelningen som marken tar upp till följd av kohesionens c verkan och grundläggningsdjupet Df är jämn över hela bredden, dvs. rektangulär, är spänningsfördelningen som marken tar upp till följd av bredden B:s inverkan triangulär, dvs. de största spänningarna tas upp i mitten av grunden och avtar mot kanterna där de är lika med noll.
Fig. 5. Diagram över bärförmågefaktorn som funktion av jordens inre friktionsvinkel enligt Terzaghi
För olika värden på vinkeln från 0 till 40° utarbetade Terzaghi diagram för bärförmågefaktorerna (fig. 5). Bärförmågefaktorerna Nc, Nq och Nγ (heldragna linjer i figur 5) kan emellertid endast tillämpas för kompakt och fast jord. Om jorden är lös eller mer kompressibel, bör bärförmågefaktorerna N’c, N’q och N’γ (streckade linjer i fig. 5) tillämpas, vilka ger 2/3 av friktionsmotståndets värden. Dessutom bör i detta fall 2/3 av de laboratoriemässigt erhållna kohesionsvärdena c användas, så att vi i detta fall har qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.
2. För en grundplatta av rektangulär form
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ där L är grundsulans längd
3. För en jordfot med kvadratisk form
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. För en cirkulär grundsula
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ där r är grundsulan radie.
För beräkning av markens tillåtna belastning antas säkerhetsfaktorn F: qa = qf/F. Värdet på säkerhetsfaktorn ligger mellan 2 och 3 beroende på jord- och belastningsförhållanden.
Tillämpning av matematiska uttryck
Tillämpningen av matematiska uttryck för bestämning av tillåten markbelastning kräver kännedom om jordens geomekaniska egenskaper, nämligen kohesion och inre friktion på grundläggningsdjupet samt jordens volymvikt ovanför och under grundsulan. Om grundjorden ligger under grundvattennivån måste även lyftkraften beaktas vid bestämning av jordens volymvikt.
Vid större markbelastningar och större objekt, när det erhållna värdet på tillåten markbelastning utifrån matematiska uttryck utnyttjas fullt ut, ska beräkningen av markens bärförmåga åtföljas av en sättningsberäkning. Den beräknade markbärförmågan accepteras endast om sättningsberäkningen ger en mindre sättning än den tillåtna för den aktuella typen av objekt. Om den beräknade sättningen blir större än den tillåtna, ska det framräknade värdet för tillåten markbelastning enligt beräkningsformlerna inte godtas, utan grundläggningssättet måste ändras så att en mindre sättning erhålls, inom gränserna för den tillåtna sättningen för den aktuella byggnadskonstruktionen.
Fig. 6. Effektivt grundläggningsdjup D__f
I de matematiska formlerna för bestämning av jordens gränsbärförmåga har man inte beaktat friktionsmotståndet längs grundens mantel, som också medverkar som motstånd mot lastens verkan, om grunden har fast kontakt med jorden på sidorna. Mantelfriktionen bör inte tas med i beräkningen, eftersom verklig mantelfriktion bara förekommer hos pålar som slås ned i marken, medan mantelfriktionen hos grundsulor är försumbar, eftersom sulorna utförs i förväg utgrävda gropar.
Användning av matematiska formler där man inte tar hänsyn till grundens form ger de mest approximativa resultaten för remsfundament, dvs. när grundens längd är mer än dubbelt så stor som dess bredd. Försök har visat att för grundsulor av kvadratisk eller cirkulär form inträffar brott vid en gränslast som är 10-30% större än den som beräknats enligt matematiska formler. Sulor av triangulär form ger lägre bärförmåga än remsor, och den lägsta bärförmågan har ringformade sulor, om de inte är fyllda.
Grundläggningsdjupet Df beräknas som det effektiva grundläggningsdjupet under fundamentets bottenplan ned till grundbottnen (Fig. 6). För grunder under underjordiska utrymmen skiljer sig det effektiva grundläggningsdjupet Df från grundläggningsdjupet även under markytan. I sådana fall ska Df alltid användas vid beräkning av jordens gräns- och tillåtna belastning, eftersom det ovanför fundamentets bottenplan finns luft som inte motverkar den laterala undanträngningen av jorden under inverkan av fundamentets belastning P.