ในกลศาสตร์ดิน จะกำหนด กำลังรับน้ำหนักวิบัติของดิน และ แรงกระทำที่ยอมให้ของดิน
กำลังรับน้ำหนักจำกัด ของดินคือค่าที่ได้ถึง ณ ขณะที่ดินเกิดการวิบัติ การวิบัติของดินเกิดขึ้นเมื่อภาระที่ฐานรากกระทำต่อดินเกินกำลังต้านทานแรงเฉือนของมัน ในกรณีนี้ ภายใต้ภาระจากฐานราก P จะเกิดพื้นผิวความต้านทานน้อยที่สุด ACD และ BCE – พื้นผิวลื่น รูป 1 ตามแนวที่ดินถูกดันออกด้านข้าง และในขณะเดียวกันดินเหนือระดับพื้นดินข้างอาคาร DG และ EF จะยกตัวขึ้น ขณะที่ฐานรากเองทรุดตัว
รูป 1. การแตกหักของดินภายใต้แรงกระทำจากน้ำหนักฐานราก
กำลังต้านทานแรงเฉือนของดินเพิ่มขึ้นตามความลึกของฐานราก t เพราะภายใต้น้ำหนักของชั้นบนโอกาสที่จะถูกดันออกด้านข้างจะลดลง ดังนั้น ฐานรากลึกจึงมีแนวโน้มก่อให้เกิดการวิบัติของดินน้อยกว่า ขณะที่ฐานรากตื้นมีความเสี่ยงต่อการวิบัติ นอกจากนี้ ฐานรากที่กว้างก็มีแนวโน้มก่อให้เกิดการวิบัติของดินน้อยกว่า เพราะผิวเลื่อนอยู่ลึกกว่า
น้ำหนักบรรทุกที่อนุญาต ของ ดิน คือภาระที่สามารถยอมให้กระทำต่อดินได้โดยไม่ก่อให้เกิดการวิบัติของดินภายใต้สภาวะที่ไม่พึงประสงค์ที่สุดที่เป็นไปได้ น้ำหนักบรรทุกที่อนุญาตของดินกำหนดจากกำลังรับน้ำหนักขีดจำกัดของดินโดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ความปลอดภัย ขนาดของค่าสัมประสิทธิ์ความปลอดภัยขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย โดยปัจจัยที่สำคัญที่สุดคือความถูกต้องของคุณลักษณะทางกายภาพของดิน ความเป็นไปได้ที่ค่าขององค์ประกอบความต้านทานภายในของดิน โดยเฉพาะอย่างยิ่งความยึดเหนี่ยว จะเปลี่ยนแปลงได้ ซึ่งค่าดังกล่าวอาจแปรผันได้ในช่วงกว้างภายใต้อิทธิพลของน้ำในดิน รวมทั้งอิทธิพลของปัจจัยอื่นที่อาจมี เช่น สภาวะการรับน้ำหนัก (ความเป็นไปได้ของการรับน้ำหนักฉับพลันและแบบไดนามิก) ความลึกของฐานราก และความกว้างของฐานรองฐานราก
กำลังรับน้ำหนักของดินสามารถกำหนดได้จากการแตกหักของดิน ซึ่งให้กำลังรับน้ำหนักจำกัด ภายใต้กำลังรับน้ำหนักจำกัดของดินหมายถึงขนาดของแรงกระทำที่ทำให้เกิดการแตกหัก มีสองวิธีในการกำหนดกำลังรับน้ำหนักจำกัดจากการแตกหักของดิน คือ วิธีคำนวณทางคณิตศาสตร์ และ การทดสอบรับน้ำหนัก
วิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
นักวิชาการจำนวนมากพยายามหาวิธีแก้เชิงคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดกำลังรับน้ำหนักวิกฤตของดิน โดยอาศัยการรู้ปัจจัยที่มีอิทธิพลและภายใต้สมมติฐานต่างๆ เกี่ยวกับสภาวะการวิบัติ ปัจจัยที่มีอิทธิพลคือคุณลักษณะทางกายภาพของดิน ซึ่งกำหนดได้ด้วยการทดสอบในห้องปฏิบัติการบนตัวอย่างดินที่ไม่ถูกรบกวน สภาวะของน้ำใต้ดิน ความลึกของฐานราก ขนาดและรูปทรงของพื้นที่รับแรง รวมถึงลักษณะของการรับแรง กล่าวคือ การรับแรงแบบสม่ำเสมอหรือไม่สม่ำเสมอ การรับแรงแบบศูนย์กลางหรือเยื้องศูนย์ สมมติฐานเกี่ยวกับสภาวะการวิบัติอาศัยทฤษฎีพลาสติกและทฤษฎียืดหยุ่น อย่างไรก็ตาม วิธีสมัยใหม่ในการกำหนดกำลังรับน้ำหนักของดินอาศัยทฤษฎีพลาสติก ซึ่งนำมาผสมกับสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นบางประการ
ที่นี่เราจะนำเสนอวิธีคำนวณที่เป็นที่รู้จักหลายวิธีสำหรับการกำหนดกำลังรับน้ำหนักวิกฤต หรือกล่าวอีกอย่างคือ ภาระที่อนุญาตของดิน
รูปแบบ Prandtl-Caquota
หากฐานราก AB วางอยู่ที่ความลึก t ใต้ผิวดิน ที่ระดับนี้จะมีความดันสัมผัส po เนื่องจากน้ำหนักบรรทุกของฐานราก และมีความดันด้านข้าง p=γt เนื่องจากน้ำหนักของดินเหนือระดับฐานรากจนถึงผิวดิน (รูป 2)
ภายใต้อิทธิพลโดยตรงของน้ำหนักฐานราก ในขณะที่ดินรับน้ำหนักได้ถึงขีดจำกัด จะเกิดผิวเลื่อนตรง AC และ BC ซึ่งทำมุม α = 45° + ϕ/2 กับผิวที่รับแรง ผิวเลื่อนเหล่านี้ก่อให้เกิดปริซึมดินดันแบบแอ็กทีฟ ABC.
รูป 2. พื้นผิวลื่นรูปเกลียวลอการิทึมภายใต้การกระทำของฐานรากที่รับแรงแบบศูนย์กลางตาม Prandtl-Caquot
ภายใต้แรงดันของลิ่มดินด้านรับแรง จะเกิดลิ่มดินด้านข้างแบบพาสซีฟ ADD1 และ BEE1 ซึ่งมันมีแนวโน้มจะดันขึ้นด้านบนตามระนาบการไถล DD1 และ EE1 โดยทำมุม 45°-ϕ/2 กับแนวนอน ระหว่างเขตแรงดันดินแบบแอกทีฟและแบบพาสซีฟมีเขตเฉือนแบบรัศมี ACD หรือ BCE ซึ่งเมื่อเกินภาวะสมดุลขอบเขตแล้ว การไถลจะเกิดตามผิวไถลโค้ง Résal คำนวณว่าผิวไถลในเขตเฉือนแบบรัศมีมีรูปเป็นสไปรัลลอการิทึม โดยมีขั้วอยู่ที่ A หรือ B, และมีสมการ r=r0 eπ tg_ϕ_
เพื่อกำหนดแรงกดจำกัดของดิน ได้ตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้:
- ว่าฐานรากมีผิวเรียบ กล่าวคือไม่คำนึงถึงแรงเสียดทานระหว่างฐานรากกับดิน;
- ว่า ความแข็งแรงเฉือนของดินตามแนวพื้นผิว D1M และ E1N ไม่มีอยู่ หรือไม่ได้นำมาพิจารณา;
- โดยถือว่าน้ำหนักจำเพาะของดินใต้ฐานราก γ=0 หรือกล่าวคือไม่นำอิทธิพลของน้ำหนักดินใต้ฐานแผ่รากมาพิจารณา ในเขตสมดุลพลาสติก
รูปแบบของ Prandtl-Caquota มีดังนี้:
กำลังรับน้ำหนักวิกฤตของดินคือ
ถ้าเราวาง:
กำลังรับน้ำหนักวิกฤตของดินยึดเหนี่ยวคือ qf = γtm + cm1.
สำหรับค่ามุมเสียดทานภายในของดินที่แตกต่างกัน ค่า m และ m1 แสดงไว้ในตาราง 1
ตารางที่ 1. ค่าของสัมประสิทธิ์ m และ m__1 สำหรับค่ามุมเสียดทานภายในของดินต่าง ๆ
น้ำหนักบรรทุกที่อนุญาตของดินคือ qa = pdozv = qf/F โดยที่ F คือปัจจัยความปลอดภัย สำหรับการใช้รูปแบบของ Prandtl-Caquot กำหนดให้ F = 4 ดังนั้น qa = qf/4
สูตรของ Terzaghi
Terzaghi ได้เสนอรูปแบบกึ่งประจักษ์สำหรับการคำนวณกำลังรับน้ำหนักวิบัติของดินภายใต้แรงกระทำของฐานรากรูปแถบ สี่เหลี่ยม และแผ่นวงกลม เขาพิจารณาฐานรากที่วางอยู่ที่ความลึก Df ใต้ผิวดิน มีความกว้าง B (รูป 3) และสมมติว่ามีแรงเสียดทานระหว่างฐานราก AB กับดิน ซึ่งต้านการดันดินออกทางด้านข้าง และว่าพื้นผิวการเลื่อน AB และ BC ทำมุมของแรงเสียดทานภายในกับผิวรับแรง
รูป 3. กำลังรับน้ำหนักจำกัดของดินตามเทอร์ซากี
ด้วยเหตุนี้ ดินในลิ่มดิน ABC ที่อยู่ระหว่างฐานราก AB และผิวเลื่อน AC กับ BC จึงยังคงอยู่ในสภาวะสมดุลยืดหยุ่นและทำหน้าที่เสมือนเป็นส่วนหนึ่งของฐานราก ปริซึม ABC ไม่สามารถถูกดันลงไปได้จนกว่าความดันบนด้าน AC และ BC จะเท่ากับแรงดันดินแบบพาสซีฟของปริซึมด้านข้าง ซึ่งหมายความว่าเมื่อเกินสภาวะสมดุลวิกฤต ความดันดินลัพธ์ q จะกระทำทำมุม ϕ กับแนวตั้งฉากต่อผิวเลื่อน กล่าวคือในแนวดิ่ง (รูป 3) เนื่องจากลิ่มเคลื่อนตัวลงในแนวดิ่งภายใต้การกระทำของแรงกระทำ ปัญหาสมดุลในดินจึงลดลงเหลือการหาค่าแรงดันดินแบบพาสซีฟ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการคำนวณกำลังรับน้ำหนักของดินด้วยวิธีนี้มีความซับซ้อน เทอร์ซากีจึงเสนอวิธีที่ง่ายลง สูตรของ Terzaghi สำหรับการคำนวณกำลังรับน้ำหนักวิกฤตของดิน _q_f ระบุว่า
- สำหรับฐานรากรูปแถบ
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
โดยที่ c คือความเหนียวแน่นของดิน
γ1 น้ำหนักจำเพาะเชิงปริมาตรของดินเหนือก้นฐานราก
Df ความลึกของฐานรากวัดจากผิวดินถึงท้องฐานราก
γ2 น้ำหนักจำเพาะปริมาตรของดินใต้ฐานราก
B ความกว้างของฐานราก
Nc, Nq, Nγ เป็นตัวประกอบกำลังรับน้ำหนัก ซึ่งขึ้นกับมุมเสียดทานภายในของดิน ค่าของตัวประกอบนี้กำหนดได้ด้วยสูตรต่อไปนี้:
Nq เป็นปัจจัยเนื่องจากน้ำหนักของชั้นดินด้านข้างจนถึงความลึกของฐานราก: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc คือปัจจัยเนื่องจากการยึดเกาะ: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ เป็นปัจจัยเนื่องจากน้ำหนักตัวเองของลิ่มดินใต้ฐานราก หรือใต้ความกว้างของฐาน AB ค่าของปัจจัยนี้ Brinch Hansen แนะนำเป็นค่าโดยประมาณ: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
รูป 4. การกระจายของความเค้นที่ดินรับเมื่อฐานรากรับแรงกดแนวดิ่งที่จุดกึ่งกลาง
เนื่องจากความแตกต่างของน้ำหนักจำเพาะของดินมีน้อย จึงมักกำหนดให้ γ1= γ2= γ. ตามสมการข้างต้น กำลังรับน้ำหนักของดินขึ้นอยู่กับ (รูป 4) ดังนี้: ความยึดเหนี่ยวของดินฐานราก c, น้ำหนักบรรทุกของดินข้างฐานราก _γ1 D_F, และน้ำหนักของปริซึมลื่นไถลที่เป็นตัวการซึ่งมีความกว้าง B.
อย่างไรก็ตาม ในขณะที่การกระจายของความเค้นที่ดินรับเนื่องจากอิทธิพลของการยึดเหนี่ยว c และความลึกของฐานราก Df มีการกระจายสม่ำเสมอตลอดความกว้างทั้งหมด กล่าวคือเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า การกระจายของความเค้นที่ดินรับเนื่องจากอิทธิพลของความกว้าง B จะเป็นรูปสามเหลี่ยม กล่าวคือ ความเค้นสูงสุดจะเกิดที่กึ่งกลางฐานราก และลดลงไปยังขอบซึ่งมีค่าเป็นศูนย์
รูป 5. แผนภาพปัจจัยกำลังรับน้ำหนักตามมุมเสียดทานภายในของดินตาม Terzaghi
สำหรับค่ามุมต่างๆ ตั้งแต่ 0 ถึง 40° เทอร์ซากีได้จัดทำแผนภาพค่าสัมประสิทธิ์กำลังรับน้ำหนักบรรทุก (รูป 5). อย่างไรก็ตาม ค่าสัมประสิทธิ์กำลังรับน้ำหนักบรรทุก Nc, Nq และ Nγ (เส้นทึบบนรูป 5) สามารถนำมาใช้ได้เฉพาะในกรณีของดินที่แน่นและแข็งเท่านั้น หากดินร่วนหรืออัดตัวได้มากกว่า ก็ต้องใช้ค่าสัมประสิทธิ์กำลังรับน้ำหนักบรรทุก N’c, N’q และ N’γ (เส้นประบนรูป 5) ซึ่งให้ค่าแรงต้านทานเสียดทานเป็น 2/3 นอกจากนี้ ในกรณีนี้ต้องใช้ค่า 2/3 ของเอกภาพ c ที่ได้จากการทดสอบในห้องปฏิบัติการ ดังนั้นในกรณีนี้จะได้ qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 _γ2 BN’γ.
2. สำหรับฐานรากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ โดยที่ L คือความยาวของฐานรากแถบ
3. สำหรับฐานรากดินรูปสี่เหลี่ยม
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. สำหรับฐานรากเดี่ยวทรงกลม
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ โดยที่ r คือรัศมีของฐานราก
ในการคำนวณค่าบรรทุกที่อนุญาตของดิน จะกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ความปลอดภัย F: qa = qf/F ค่าของสัมประสิทธิ์ความปลอดภัยอยู่ในช่วง 2 ถึง 3 ตามสภาพของดินและการรับน้ำหนัก
การประยุกต์ใช้รูปแบบทางคณิตศาสตร์
การใช้รูปแบบทางคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดน้ำหนักบรรทุกที่ยอมให้ของดิน จำเป็นต้องทราบคุณลักษณะทางจีโอเมคานิกของดิน ได้แก่ การยึดเหนี่ยวและแรงเสียดทานภายในที่ระดับความลึกของฐานราก รวมทั้งน้ำหนักจำเพาะปริมาตรของดินเหนือและใต้ท้องฐานราก หากชั้นดินฐานรากอยู่ต่ำกว่าระดับน้ำใต้ดิน ต้องคำนึงถึงแรงลอยตัวในการกำหนดน้ำหนักจำเพาะปริมาตรของดินด้วย
สำหรับการรับน้ำหนักดินที่มากขึ้นและอาคารขนาดใหญ่ เมื่อค่าของน้ำหนักบรรทุกที่ยอมให้ของดินซึ่งได้มาจากสูตรคณิตศาสตร์ถูกใช้เต็มที่แล้ว การคำนวณกำลังรับน้ำหนักของดินควรประกอบด้วยการคำนวณการทรุดตัวด้วย จะยอมรับกำลังรับน้ำหนักของดินที่คำนวณได้ก็ต่อเมื่อการคำนวณการทรุดตัวให้ค่าการทรุดตัวน้อยกว่าค่าที่ยอมได้สำหรับอาคารประเภทนั้น ในกรณีที่การคำนวณให้ค่าการทรุดตัวมากกว่าค่าที่ยอมได้ ค่าของน้ำหนักบรรทุกที่ยอมให้ของดินซึ่งคำนวณได้ด้วยสูตรจึงไม่อาจยอมรับได้ แต่ต้องเปลี่ยนวิธีการวางฐานรากให้ได้การทรุดตัวน้อยลง ภายในขอบเขตของการทรุดตัวที่ยอมได้สำหรับโครงสร้างอาคารนั้น
รูป 6. ความลึกเชิงประสิทธิผลของฐานราก D__f
ในสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับการกำหนดกำลังรับน้ำหนักวิกฤตของดิน มิได้คำนึงถึงแรงเสียดทานที่ผิวรอบฐานราก ซึ่งก็มีส่วนเป็นแรงต้านต่อการกระทำของน้ำหนักบรรทุกเช่นกัน หากฐานรากสัมผัสดินแน่นหนาที่ด้านข้าง ไม่ควรนำแรงต้านจากแรงเสียดทานผิวรอบฐานมาพิจารณา เพราะแรงเสียดทานผิวรอบฐานที่แท้จริงมีเฉพาะในเสาเข็มที่ตอกลงไปในดินเท่านั้น ส่วนในฐานรากแผ่แรงเสียดทานผิวรอบฐานมีน้อยมาก เนื่องจากฐานรากเหล่านี้ก่อสร้างในหลุมที่ขุดไว้ล่วงหน้า
การใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ไม่คำนึงถึงรูปทรงของฐานรากให้ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงที่สุดสำหรับฐานรากแบบแถบ กล่าวคือเมื่อความยาวของฐานรากมากกว่าความกว้างของมันมากกว่าสองเท่า การทดสอบได้ยืนยันว่า สำหรับฐานรากแบบฐานเดี่ยวรูปสี่เหลี่ยมหรือวงกลม การวิบัติเกิดขึ้นที่โหลดวิกฤตซึ่งสูงกว่าที่คำนวณได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อยู่ 10-30%% ฐานเดี่ยวรูปสามเหลี่ยมให้ความสามารถรับน้ำหนักต่ำกว่าฐานแบบแถบ และความสามารถรับน้ำหนักต่ำที่สุดคือฐานเดี่ยวรูปวงแหวน หากไม่ได้ถูกเติมเต็ม
ความลึกฐานราก Df คำนวณเป็นความลึกใช้งานจริงจากใต้ระดับฐานรองรากถึงท้องฐานราก (รูป 6). สำหรับฐานรากใต้พื้นที่ใต้ดิน ความลึกฐานรากใช้งานจริง Df จะแตกต่างจากความลึกฐานรากที่วัดจากผิวดินด้วย ในกรณีเช่นนี้ สำหรับการคำนวณน้ำหนักบรรทุกวิกฤตและน้ำหนักบรรทุกที่อนุญาตของดิน ควรใช้ Df เสมอ เนื่องจากเหนือฐานรองรากเป็นอากาศซึ่งไม่ต้านการดันดินด้านข้างภายใต้การกระทำของน้ำหนักบรรทุกฐานราก P