V mechanice zemin se určují mezní únosnost zeminy a přípustné zatížení zeminy.
Mezní únosnost půdy je ta, které se dosáhne v okamžiku, kdy nastane porušení půdy. Porušení půdy nastává, když zatížení, kterým základ působí na půdu, překročí její pevnost ve smyku. V takovém případě se při působení zatížení základu P objevují plochy nejmenšího odporu ACD a BCE – kluzné plochy obr. 1, po nichž je půda vytlačována do stran a současně dochází k vyzdvižení půdy nad terénem vedle objektu DG a EF, zatímco samotný základ klesá.
Obr. 1. Porušení půdy působením zatížení základů
Smyková pevnost zeminy se s hloubkou založení t zvyšuje, protože se vlivem tíhy svrchních vrstev zmenšuje možnost bočního vytlačování. Proto hluboké základy těžko vyvolávají porušení zeminy, zatímco mělké základy jsou k porušení náchylné. Stejně tak široké základy těžko vyvolávají porušení zeminy, protože kluzné plochy jsou hlubší.
Přípustné zatížení základové půdy je takové zatížení, které lze připustit, aby na půdu působilo, aniž by došlo k porušení půdy za nejnepříznivějších možných podmínek. Přípustné zatížení půdy se stanovuje na základě mezní únosnosti půdy použitím bezpečnostního součinitele. Velikost bezpečnostního součinitele závisí na více faktorech, mezi nimiž jsou nejdůležitější přesnost fyzikálních charakteristik půdy, možnost změn hodnot prvků vnitřního odporu půdy, zejména koheze, jejíž hodnota se může vlivem vody v půdě měnit v širokých mezích, dále vliv možných dalších faktorů, jako jsou podmínky zatížení (možnost náhlého a dynamického zatížení), hloubka založení a šířka základové patky.
Únosnost půdy lze určit na základě porušení půdy, které dává mezní únosnost. Pod mezní únosností půdy se rozumí velikost zatížení, které vyvolá porušení. Existují dva způsoby stanovení mezní únosnosti na základě porušení půdy, a to matematické řešení a zatěžovací zkouška.
Matematické řešení
Mnozí vědci se pokoušeli nalézt matematické řešení pro určení mezní únosnosti půdy na základě znalosti ovlivňujících faktorů a při různých předpokladech podmínek porušení. Ovlivňující faktory jsou fyzikální vlastnosti půdy, které se určují laboratorními zkouškami na neporušených vzorcích půdy, stav podzemní vody, hloubka založení, velikost a tvar zatěžované plochy, jakož i způsob zatížení, tj. rovnoměrné nebo nerovnoměrné, centrální nebo excentrické zatížení půdy. Předpoklady o podmínkách porušení vycházejí z teorie plasticity a teorie pružnosti. Moderní metody určování únosnosti půdy se však zakládají na teorii plasticity, která se kombinuje s některými zjednodušenými předpoklady.
Zde uvedeme několik známých výpočetních metod stanovení mezní únosnosti, respektive dovoleného zatížení zeminy.
Vzorec Prandtl-Caquota
Je-li základová patka AB založena v hloubce t pod povrchem terénu, vládne v této hloubce kontaktní tlak po způsobený zatížením základu a boční tlak p=γt způsobený tíhou zeminy nad úrovní základové patky až k povrchu terénu (obr. 2).
Působením vlastní tíhy základu se v okamžiku překročení mezní únosnosti půdy objevují přímé kluzné plochy AC a BC, které svírají úhel α = 45° + ϕ/2 s zatíženým povrchem. Tyto kluzné plochy vytvářejí aktivní zemní klín ABC.
Obr. 2. Kluzné plochy tvaru logaritmické spirály při účinku středově zatížené základové patky podle Prandtla-Caquota
Účinkem tlaku aktivního zemního klínu vznikají po stranách pasivní zemní klíny ADD1 a BEE1, které se snaží vytlačit vzhůru po kluzných plochách DD1 a EE1, pod úhlem 45°-ϕ/2 s horizontálou. Mezi zónou aktivního a pasivního zemního tlaku existuje zóna radiálního smyku ACD resp. BCE, v níž při překročení mezní rovnováhy nastává klouzání po zakřivených kluzných plochách. Résal vypočítal, že kluzné plochy v zóně radiálního smyku mají tvar logaritmické spirály s pólem v A resp. B, jejíž rovnice je r=r0 eπ tg_ϕ_
Pro stanovení mezního zatížení půdy byly učiněny tyto předpoklady:
- že je základ hladký, tedy tření mezi základovou patkou a zeminou se zanedbává;
- že pevnost smyku půdy podél ploch D1M a E1N neexistuje, tedy se zanedbává;
- že objemová tíha zeminy pod základovou spárou γ=0, tedy se zanedbává vliv tíhy zeminy pod základovou patkou v oblasti plastické rovnováhy.
Vzorec Prandtl-Caquota zní:
Mezní únosnost půdy je
Pokud položíme:
mezní únosnost soudržné půdy je qf = γtm + cm1.
Pro různé hodnoty úhlu vnitřního tření zeminy jsou hodnoty m a m1 uvedeny v tabulce 1.
Tab. 1. Hodnoty součinitelů m a m__1 pro různé hodnoty úhlu vnitřního tření půdy
Přípustné zatížení zeminy je qa = pdozv = qf/F, kde F je bezpečnostní součinitel. Pro použití Prandtl-Caquotova vzorce se přijímá F = 4, tedy qa = qf/4.
Terzaghův vzorec
Terzaghi uvedl poloempirický vztah pro výpočet mezní únosnosti půdy při zatížení pásového, čtvercového a kruhového základu. Uvažoval základ založený v hloubce Df pod povrchem terénu, o šířce B (obr. 3), a přijal, že mezi základovou patkou AB a zeminou existuje tření, které brání bočnímu vytlačování zeminy, a že kluzné plochy AB a BC svírají s zatíženým povrchem úhel vnitřního tření.
Obr. 3. Mezní únosnost zeminy podle Terzaghihо
V důsledku toho zůstává půda v zeminovém klínu ABC, vymezeném mezi základem AB a kluznými plochami AC a BC, ve stavu pružné rovnováhy a chová se jako část základu. Prizma ABC nemůže být posunuto tak daleko, dokud tlaky na jeho stranách AC a BC nebudou rovny pasivnímu zemnímu tlaku bočních prizm, což znamená, že při překročení mezního stavu rovnováhy působí výsledný tlak půdy q pod úhlem ϕ k normále ke kluzné ploše, tj. ve svislém směru (obr. 3). Jelikož se klín vlivem zatížení pohybuje svisle dolů, redukuje se problém rovnováhy v půdě na stanovení pasivního zemního tlaku. Protože však přesný výpočet únosnosti půdy touto metodou je složitý, dal Terzaghi zjednodušené řešení. Terzaghiho vzorec pro výpočet mezní únosnosti půdy _q_f zní
- Pro základovou patku pásového tvaru
qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ
kde c je soudržnost zeminy
γ1 objemová tíha půdy nad základovou spárou
Df hloubka založení pod povrchem terénu až k základové spáře
γ2 objemová tíha půdy pod základovou spárou
B šířka základové patky.
Nc, Nq, Nγ jsou nosné faktory závislé na úhlu vnitřního tření půdy; hodnoty tohoto faktoru jsou dány následujícími vzorci:
Nq je součinitel vlivu tíhy boční vrstvy zeminy do hloubky založení: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_
Nc je faktor vlivem koheze: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_
Nγ je faktor vzhledem k vlastní tíze zemního klínu pod základovou patou, případně pod šířkou paty AB. Hodnotu tohoto faktoru doporučuje Brinch Hansen jako přibližnou: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_
Obr. 4. Rozdělení napětí, které přijímá půda při svislém soustředném zatížení základů
Vzhledem k malé rozdílnosti objemové hmotnosti půdy se často přijímá γ1= γ2= γ. Podle předchozí rovnice závisí únosnost půdy (obr. 4) na: kohezi základové půdy c, zatížení půdy vedle základu γ1 D_F, vlastní tíze půdy aktivního kluzného klínu šířky B.
Avšak zatímco rozložení napětí, které půda přenáší vlivem soudržnosti c a hloubky založení Df, je po celé šířce rovnoměrné, tj. obdélníkové, rozložení napětí, které půda přenáší vlivem šířky B, je trojúhelníkové, tj. největší napětí se přenášejí uprostřed základu a směrem k okrajům, kde jsou rovna nule, klesají.
Obr. 5. Diagram součinitele únosnosti v závislosti na úhlu vnitřního tření zeminy podle Terzaghiho
Pro různé hodnoty úhlu od 0 do 40° Terzaghi sestavil diagramy únosnostních faktorů (obr. 5). Avšak únosnostní faktory Nc, Nq a Nγ (plné čáry na obrázku 5) lze přijmout pouze v případě hutné a pevné zeminy. Je-li zemina sypká nebo silněji stlačitelná, je třeba použít únosnostní faktory N’c, N’q a N’γ (čárkované čáry na obr. 5), které dávají 2/3 hodnoty třecího odporu. Kromě toho je v tomto případě třeba vzít 2/3 hodnoty soudržnosti c získané laboratorně, takže pak platí qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.
2. Pro základovou patku obdélníkového tvaru
qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ kde L je délka základové patky
3. Pro zemní patku čtvercového tvaru
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ
4. Pro základovou patku kruhového tvaru
qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ kde r je poloměr základové patky.
Pro výpočet dovoleného zatížení půdy se zavádí bezpečnostní faktor F: qa = qf/F. Hodnota bezpečnostního faktoru se pohybuje od 2 do 3 podle podmínek půdy a zatížení.
Použití matematických vzorců
Použití matematických vzorců pro určení dovoleného zatížení půdy vyžaduje znalost geomechanických charakteristik půdy, a to soudržnosti a vnitřního tření v hloubce založení a objemové tíhy půdy nad i pod základovou spárou. Nachází-li se základová půda pod úrovní podzemní vody, je třeba při určování objemové tíhy půdy vzít v úvahu také vztlak.
Při větších zatíženích půdy a větších objektech, kdy se získaná hodnota dovoleného zatížení půdy na základě matematických vzorců plně využívá, má být výpočet únosnosti podloží doprovázen výpočtem sedání. Vypočtená únosnost podloží se přebírá jen tehdy, pokud je výpočtem sedání zjištěno menší sedání, než je přípustné pro daný druh objektu. V případě, že je výpočtem získáno sedání větší než dovolené, vypočtená hodnota dovoleného zatížení půdy pomocí výpočetních vzorců se nepřebírá, ale je nutné změnit způsob založení tak, aby se dosáhlo menšího sedání, v mezích dovoleného sedání pro danou konstrukci objektu.
Obr. 6. Efektivní hloubka založení D__f
V matematických vzorcích pro stanovení mezní únosnosti půdy se neuvažuje tření pláště základu, které se rovněž uplatňuje jako odpor proti účinku zatížení, pokud základ pevně přiléhá k půdě na bočních stranách. Odpor tření pláště není třeba brát v úvahu, protože skutečné tření pláště existuje jen u pilot zatlačovaných do zeminy, zatímco u základových patek je tření pláště zanedbatelné, neboť patky se zhotovují v předem vykopaných jámách.
Použití matematických vzorců, které neberou v úvahu tvar základu, dává nejpřesnější výsledky pro pásové základy, tj. když je délka základu více než dvakrát větší než jeho šířka. Pokusy prokázaly, že u základových patek čtvercového nebo kruhového tvaru nastává porušení při mezním zatížení, které je o 10-30% větší, než je vypočteno matematickými vzorci. Patky trojúhelníkového tvaru dávají menší únosnost než pásové a nejmenší únosnost dávají patky prstencového tvaru, pokud nejsou vyplněny.
Základová hloubka Df se počítá jako efektivní hloubka založení pod úrovní základové spáry až ke dnu základu (obr. 6). U základů pod podzemními prostory se efektivní hloubka založení Df liší od hloubky založení i pod povrchem terénu. V takových případech je pro výpočet mezního a dovoleného zatížení zeminy třeba vždy uvažovat Df, protože nad základovou spárou je vzduch, který neklade odpor bočnímu vytlačování zeminy vlivem zatížení základu P.