Capacitat portant del sòl

En mecànica de sòls es determinen la capacitat portant límit del sòl i la càrrega admissible del sòl.

La capacitat portant límit del terreny és la que s’assoleix en el moment en què es produeix la ruptura del terreny. La ruptura del terreny es produeix quan la càrrega amb què la fonamentació actua sobre el terreny supera la seva resistència al tall. En aquest cas, sota l’acció de la càrrega de la fonamentació P apareixen les superfícies de mínima resistència ACD i BCE – superfícies de lliscament fig. 1, per les quals el terreny és expulsat lateralment i, alhora, es produeix l’aixecament del terreny per sobre de la superfície del terreny al costat de l’obra DG i EF, mentre la mateixa fonamentació s’enfonsa.

Fig. 1. Ruptura del sòl sota l’acció de la càrrega de la fonamentació

La resistència al tall del terreny augmenta amb la profunditat de fonamentació t, perquè, a causa del pes de les capes superiors, disminueix la possibilitat d’expulsió lateral. Per tant, els fonaments profunds tendeixen menys a provocar la ruptura del terreny, mentre que els fonaments superficials són perillosos pel que fa a la ruptura. De la mateixa manera, els fonaments amples tendeixen menys a provocar la ruptura del terreny, perquè les superfícies de lliscament són més profundes.

La càrrega admissible del sòl és aquella que es pot permetre que actuï sobre el sòl sense provocar-ne la ruptura en les condicions més desfavorables possibles. La càrrega admissible del sòl es determina sobre la base de la capacitat portant límit del sòl mitjançant l’aplicació d’un factor de seguretat. La magnitud del factor de seguretat depèn de diversos factors, entre els quals els més importants són la precisió de les característiques físiques del sòl, la possibilitat de variacions en els valors dels elements de resistència interna del sòl, especialment la cohesió, el valor de la qual pot variar en amplis marges sota la influència de l’aigua del sòl, i també la influència d’altres factors possibles, com ara les condicions de càrrega (possibilitat de càrrega sobtada i dinàmica), la profunditat d’assentament i l’amplada de la sabata de fonamentació.

La capacitat portant del sòl es pot determinar a partir de la ruptura del sòl, que proporciona la capacitat portant límit. Per capacitat portant límit del sòl s’entén la magnitud de la càrrega que provoca la ruptura. Hi ha dues maneres de determinar la capacitat portant límit a partir de la ruptura del sòl, és a dir, la solució matemàtica i la càrrega de prova.

Solució matemàtica

Molts científics han intentat trobar una solució matemàtica per determinar la capacitat portant límit del sòl, basant-se en el coneixement dels factors influents i sota diverses hipòtesis de les condicions de ruptura. Els factors influents són les característiques físiques del sòl, que es determinen mitjançant assaigs de laboratori sobre mostres de sòl no alterades, l’estat de les aigües subterrànies, la profunditat de fonamentació, la mida i la forma de la superfície carregada, així com la manera de càrrega, és a dir, càrrega uniforme o no uniforme, centrada o excèntrica del sòl. Les hipòtesis sobre les condicions de ruptura es basen en la teoria de la plasticitat i la teoria de l’elasticitat. Tanmateix, els mètodes moderns per determinar la capacitat portant del sòl es basen en la teoria de la plasticitat, combinada amb algunes hipòtesis simplificades.

Aquí exposarem diversos mètodes de càlcul coneguts per determinar la capacitat portant límit, és a dir, la càrrega admissible del sòl.

Forma de Prandtl-Caquota

Si la sabata de fonamentació AB està fonamentada a una profunditat t sota la superfície del terreny, a aquesta profunditat actua la pressió de contacte po deguda a la càrrega de la fonamentació i la pressió lateral p=γt deguda al pes del terreny per sobre del nivell de la sabata de fonamentació fins a la superfície del terreny (fig. 2).

Sota l’acció directa del pes de la fonamentació, en el moment de superar la capacitat portant límit del sòl apareixen les superfícies reals de lliscament AC i BC, que formen amb la superfície carregada un angle α = 45° + ϕ/2. Aquestes superfícies de lliscament formen la prisma activa de terra ABC.

Fig. 2. Superfícies de lliscament en forma d’espiral logarítmica sota l’acció d’una sabata de fonamentació carregada centrípicament segons Prandtl-Caquot

Sota l’acció de la pressió de la prisma de terreny actiu es formen lateralment les prismes de terreny passiu ADD1 i BEE1, que tendeix a empènyer cap amunt per les superfícies de lliscament DD1 i EE1, amb un angle de 45°-ϕ/2 amb l’horitzontal. Entre la zona de pressió de terres activa i la passiva hi ha una zona de cisallament radial ACD o bé BCE, en la qual, quan se supera l’equilibri límit, el lliscament es produeix per superfícies de lliscament corbes. Résal va calcular que les superfícies de lliscament a la zona de cisallament radial tenen la forma d’una espiral logarítmica amb pol en A o bé en B, l’equació de la qual és r=r0 eπ tg_ϕ_

Per determinar la càrrega límit del sòl s’han fet les hipòtesis següents:

• que la fonamentació és llisa, és a dir, es descarta el fregament entre la sabata de fonamentació i el terreny;
• que la resistència al tall del sòl al llarg de les superfícies D1M i E1N no existeix, és a dir, es negligeix;
• que el pes volumètric del sòl sota la base de fonamentació γ=0, és a dir, es negligencia la influència del pes del sòl sota la sabata de fonamentació, en la zona d’equilibri plàstic.

La fórmula de Prandtl-Caquota és:

La capacitat portant límit del sòl és

Si posem:

la capacitat portant límit del sòl cohesiu és qf = γtm + cm1.

Per a diferents valors de l’angle de fregament intern del sòl, els valors de m i m1 es donen a la taula 1.

Taula 1. Valors dels coeficients m i m__1 per a diferents valors de l’angle de fricció interna del sòl

La càrrega admissible del sòl és qa = pdozv = qf/F on F és el factor de seguretat. Per a l’aplicació de la fórmula de Prandtl-Caquot s’adopta F = 4, de manera que qa = qf/4.

Fórmula de Terzaghi

Terzaghi va donar una fórmula semiemprírica per calcular la capacitat portant límit del sòl sota l’acció de càrregues de forma de cinta, quadrada i placa circular. Va considerar un fonament assentat a una profunditat Df sota la superfície del terreny, d’amplada B (fig. 3), i va admetre que existeix fricció entre la sabata de fonament AB i el sòl, que s’oposa a l’expulsió lateral del sòl, i que les superfícies de lliscament AB i BC formen amb la superfície carregada un angle de fricció interna.

Fig. 3. Capacitat portant última del terreny segons Terzaghi

Com a conseqüència, el sòl del prisma de terra ABC, comprès entre la fonamentació AB i les superfícies de lliscament AC i BC, roman en estat d’equilibri elàstic i es comporta com a part de la fonamentació. El prisma ABC no pot ser empès fins que les pressions sobre els seus costats AC i BC no siguin iguals a la pressió passiva del terreny dels prismes laterals, la qual cosa significa que, en superar-se l’estat límit d’equilibri, la pressió resultant del sòl q actua amb un angle ϕ respecte de la normal a la superfície de lliscament, és a dir, en direcció vertical (fig. 3). Com que sota l’acció de la càrrega el prisma es desplaça verticalment cap avall, el problema de l’equilibri en el sòl es redueix a determinar la pressió passiva del terreny. Tanmateix, com que el càlcul exacte de la capacitat portant del sòl segons aquest mètode és complicat, Terzaghi va proposar una solució simplificada. La fórmula de Terzaghi per al càlcul de la capacitat portant límit del sòl _q_f és:

1. Per a una sabata de fonamentació en forma de cinta

qf = cNc + γ1 DfNq + 0,5 γ2 BNγ  

on c és la cohesió del sòl

γ1 pes volumètric del sòl per sobre de la base de fonamentació

Df fondària de fonamentació sota la superfície del terreny fins a la base de fonamentació

γ2 pes específic del terreny sota la base de fonamentació

B amplada de la sabata de fonamentació.

Nc, Nq, Nγ són factors de capacitat portant, dependents de l’angle de fricció interna del sòl; els valors d’aquest factor es donen amb les fórmules següents:

Nq és el factor degut al pes de la capa lateral de sòl fins a la profunditat de fonamentació: Nq = tg2 (45° + ϕ/2) eπ tg_ϕ_

Nc és el factor degut a la cohesió: Nc = (Nq – 1) ctg_ϕ_

Nγ és el factor degut al pes propi de la falca de terreny sota la sabata de fonamentació, és a dir, sota l’amplada de la sabata AB. Brinch Hansen recomana per a aquest factor el valor aproximat: Nγ ≈ 1,8 (Nq – 1) tg_ϕ_

Fig. 4. Distribució de les tensions que rep el terreny sota una càrrega vertical centrada de la fonamentació

A causa de la petita diferència de pes volumètric del sòl, sovint s’adopta γ1= γ2= γ. Segons l’equació anterior, la capacitat portant del sòl depèn (fig. 4) de: la cohesió del terreny de fonamentació c, la càrrega del sòl al costat de la fonamentació _γ1 D_F, i el pes propi del sòl de la prisma lliscant activa d’amplada B.

No obstant això, mentre que la distribució de les tensions que rep el terreny a causa de l’acció de la cohesió c i de la profunditat de fonamentació Df és uniforme al llarg de tota l’amplada, és a dir, rectangular, la distribució de les tensions que rep el terreny a causa de la influència de l’amplada B és triangular, és a dir, les tensions màximes es transmeten al centre de la fonamentació i disminueixen cap a les vores, on són iguals a zero.

Fig. 5. Diagrama del factor de capacitat portant en funció de l’angle de fricció interna del sòl segons Terzaghi

Per a diferents valors de l’angle de 0 a 40°, Terzaghi va elaborar diagrames dels factors de capacitat portant (fig. 5). Tanmateix, els factors de capacitat portant Nc, Nq i Nγ (línies contínues a la figura 5) només es poden adoptar en el cas de sòl compactat i ferm. Si el sòl és solt o més compressible, cal adoptar els factors de capacitat portant N’c, N’q i N’γ (línies discontínues a la fig. 5), que donen valors de 2/3 de la resistència al fregament. A més, en aquest cas cal prendre 2/3 dels valors de cohesió c obtinguts per via de laboratori, de manera que en aquest cas tenim qf = 2/3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ.

2. Per a una sabata de fonamentació de forma rectangular

qf = 2/3 (1+0,3 B/L) cN’c + γ1 DfN’q + 0,5 γ2 BN’γ  on L és la longitud de la sabata de fonamentació

3. Per a una sabata de fonamentació de forma quadrada

qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,4 γ2 BN’γ  

4. Per a la sabata de fonamentació d’una forma circular

qf = 2/3 1,3 cN’c + γ1 DfN’q + 0,6 γ2 rN’γ  on r és el radi de la base de fonamentació.

Per al càlcul de la càrrega admissible del sòl s’adopta el factor de seguretat F: qa = qf/F. El valor del factor de seguretat oscil·la entre 2 i 3 segons les condicions del sòl i de la càrrega.

Aplicació de patrons matemàtics

L’aplicació de fórmules matemàtiques per determinar la càrrega admissible del sòl exigeix conèixer les característiques geomecàniques del terreny, és a dir, la cohesió i la fricció interna a la cota de fonamentació, així com el pes específic del terreny per sobre i per sota de la base de fonamentació. Si el terreny de fonamentació es troba per sota del nivell freàtic, també cal tenir en compte l’empenta d’Arquimedes en determinar el pes específic del sòl.

En el cas de càrregues més grans sobre el sòl i d’obres més grans, quan el valor obtingut de la càrrega admissible del terreny, sobre la base de fórmules matemàtiques, s’aprofita completament, el càlcul de la capacitat portant del sòl ha d’anar acompanyat del càlcul dels assentaments. La capacitat portant calculada del sòl només s’admet si el càlcul d’assentaments ha donat un assentament inferior a l’admissible per al tipus d’obra corresponent. En el cas que el càlcul doni un assentament superior a l’admissible, el valor calculat de la càrrega admissible del terreny mitjançant fórmules de càlcul no s’admet, sinó que cal modificar el sistema de fonamentació de manera que s’obtingui un assentament menor, dins dels límits d’assentament admissible per a l’estructura corresponent de l’obra.

Fig. 6. Profunditat efectiva de fonamentació D__f

En les fórmules matemàtiques per determinar la capacitat portadora límit del terreny no s’ha tingut en compte el fregament de la carcassa de la fonamentació, que també intervé com a resistència davant l’acció de la càrrega, sempre que la fonamentació estigui en contacte ferm amb el terreny pels costats. La resistència per fregament de la carcassa no s’ha de considerar, perquè el fregament real de la carcassa només existeix en els pilots clavats al terreny, mentre que en les sabates de fonamentació el fregament de la carcassa és insignificant, ja que les sabates es fan en rases prèviament excavades.

L’aplicació de fórmules matemàtiques que no tenen en compte la forma de la fonamentació dóna els resultats més aproximats per a fonamentacions en forma de cinta, és a dir, quan la longitud de la fonamentació és més del doble de la seva amplada. Els assaigs han establert que, en sabates de fonamentació de forma quadrada o circular, la ruptura es produeix sota una càrrega límit que és de 10-30% superior a la calculada segons les fórmules matemàtiques. Les sabates de forma triangular donen una capacitat portant menor que la cinta, i la capacitat portant més baixa la presenten les sabates de forma anular, si no estan reomplertes.

La profunditat de fonamentació Df es calcula com la profunditat efectiva de fonamentació des del terreny de base de la fonamentació fins al fons de la fonamentació (fig. 6). En les fonamentacions sota espais subterranis, la profunditat efectiva de fonamentació Df difereix de la profunditat de fonamentació també per sota de la superfície del terreny. En aquests casos, per al càlcul de la càrrega límit i de la càrrega admissible del terreny, sempre s’ha d’adoptar Df, ja que per sobre del terreny de base de la fonamentació hi ha aire que no s’oposa al desplaçament lateral del sòl sota l’acció de la càrrega de la fonamentació P.