Izvijanje pri savijanju

Diferencijalna jednačina za slučaj izvijanja pri savijanju

Pretpostavlja se da su zadovoljena sva idealiziranja, naročito

• da je štap potpuno prav
• da opterećenje P deluje u osovini štapa
• da naponi ostaju ispod granice proporcionalnosti
• da su deformacije dovoljno male da dozvoljavaju uobičajena uprošćavanja računa.

Ako se štap savija pod dejstvom sile P i možda još usled opterećenja q koje deluje u poprečnom smeru, onda moraju biti zadovoljeni poznati uslovi ravnoteže između spoljnih opterećenja i sila u preseku. Sem toga prirodno je da treba da postoje poznati odnosi između deformacija i sila u preseku.

Sl. 1 - Ravnoteža

Na sl. 1 predstavljen je element savijenog štapa dužine ds. Nagib v’ tangente je mali tako da se do veličine drugog reda dužina elementa može staviti da je jednaka projekciji ds=dz. Sem toga u niže navedenim ispitivanjim neće se uzimati u obzir slučajevi u kojima se P stalno menja duž ose štapa, tj. normalna sila N≈P=const. U tri uslova ravnoteže koji za element stoje na raspolaganju može se tada zanemariti izvestan broj članova. Za oznake i znakove sa sl. 10 ostaju tada u prvom približavanju jednačine

N=P,   M’=Q,   Q’=-q+Pv’’.

Poprečna sila može da se eliminiše, i tada važi M’’=Pv’’-q. Bernoulli-jev zakon M=-EI/R pruža jednačinu koja nedostaje. Krivina ose štapa po običaju iz teorije savijanja grede uprošćava se ovako

Tako je mogućno da se eliminiše moment savijanja; i sa M=-EI*v’’ dobija se diferencijalna jednačina za povijeni štap

(EI*v’’)’’ + Pv’’ = q.   (1)

U specijalnom slučaju konstantne krutosti na savijanje EI=const. uprošćava se jednačina (1) pa je

EIv’’’’ + Pv’’ = q.   (1a)

Jedn. (1) i (1a) su linearne po v prema pomenutim uprošćenjima.

Praktički je naročito važan najjednostavniji slučaj konstantne krutosti na savijanje EI=const., koji za niže navedene primere služi kao osnova.

 

Euler-ov slučaj

Pretpostavke za klasičan slučaj izvijanja jesu sem pomenutih idealiziranja: p=0, dakle N=const.=P, kao i konstantna krutost bez trenja, koji leže tačno na osi štapa. Obična diferencijalna jednačina (1a) je četvrtog reda, linearna je i homogena zbog q=0. Opšte rešenje je:

v(z) = A∙sinαz + B∙cosαz + C∙z + D,   (2)

gde su A, B, C, D četiri integracione konstante. Parametar je konačne veličine zbog pretpostavke EI≠0. Dalje važi α≠0 za P>0.

Sl. 2

Pošto je linearna diferencijalna jednačina (1a) homogena, to ovaj problem rešava takođe n∙v(z), gde je n proizvoljna konstanta. Već se iz matematičke klasifikacije diferencijalne jednačine (1a) vidi da se ne može odrediti veličina povijanja v. Za određivanje integracionih konstanti A, B, C, D u Euler-ovom slučaju (sl. 2) stoje na raspolaganju sledeći konturni uslovi: Na oba kraja štapa je zbog zglavkastog oslanjanja povijanje nula, a i moment savijanja je nula, tj.

v=0 i M=0 za z=0

v=0 i M=0 za z=s.

Zbog M=-EI∙v’’ izilazi da je M=0 vrednost v’’=0, tako da četiri konturna uslova glase:

v=0 i v’’=0 za z=0

v=0 i v’’=0 za z=s.

Iz rešenja (2) proizilaze tako četiri linearne jednačine i to:

Jedn. 3

Ove četiri homogene jednačine imaju prvo tzv. trivijalno rešenje A=B=C=D=0, koje odgovara v(z)=0. Štap koji nije savijen v(z)=0 je običan ravnotežni položaj za proizvoljne, naročito manje vrednosti opterećenja P. Nas ovde, pre svega, interesuju uslovi pod kojima se štap izvija, tj. da je v(z)≠0. Jednačine (3) nemaju ovakvo trivijalno rešenje sa A, B, C, D ≠ 0 samo tada ako je determinanta koeficijenta jednaka nuli.

Jedn. 3a

Iz uslova izvijanja Δ = α⁴∙s∙sinαs = 0 mogu da se izračunaju kritične vrednosti P_K opterećenja. Ova jednačina je zadovoljena samo ako bude sin αs = 0, tj. za α_Kms = mπ sa m=1,2,3,… Odgovarajuće vrednosti Euler-ove sile izvijanja su P_Km=EI∙α²_Km = EI(mπ/s)². Za svaku vrednost m dobija se određena sila izvijanja. U većini slučajeva od ovih sila od interesa je samo najmanja, i to

P_K1=EI(π/s)².

U donjem izvođenju biće indeks _m, odn. ₁ većinom izostavljen, pri čemu se misli na najniže od kritičnih opterećenja. Od interesa je odgovarajuća elastična linija. Iz jedn. (2) dobijaju se konstante B=C=D=0. Preostaje uslov A∙sinαs=0. Elastična linija izvijanja za gornji slučaj m=1 je, dakle, v(z) = A∙sinπz/s, gde je v(z) za α_K odn. P_K odgovarajuća sopstvena funkcija. Veličina od A ostaje neodređena.

Posmatrajmo još jedanpun celo područje opterećenja. Za proizvoljne vrednosti P, naročito za sile P<P_K1 je v(z)=0, štap ostaje prav.

Pod „postepeno rastućim“ opterečenjem P podrazumeva se u klasičnoj teoriji stabilnosti uzastopni niz veličina P, gde će se uvek iznova ispitati stabilnost posmatranog slučaja opterećenja za svaki pojedinačni stupanj opterećenja P. Za vreme ispitivanja stabilnosti ostaje veličina od P svakako nepromenjena. Ako se jedno stanje P utvrdi kao stabilno, tada se opterećenje za nešto povećava, a zbog toga se i ponovi ispitivanje stabilnosti. Ovo tačno utvrđivanje je potrebno da ne nastupi zamena sa vrstom opterećenja, kao što je to podloga za Shanley-ev efekt, kod kojeg se dešava porast opterećenja dok jednovremeno deluju mali poremećaji. Pri ispitivanju stabilnosti prema Shanley-u javlja se u području plastičnog izvijanja manja sila račvanja nego pri klasičnom načinu razmatranja.

Sledeća razmatranja pretpostavljaju prvi način porasta opterećenja: Pri postupnom porastu opterećenja P u ovom smislu dolazi se za P_K1=EI∙(π/s)² prvo na jednu račku račvanja elastične ravnoteže, sa jednostavnom sinusnom linijom kao elastičnom linijom izvijanja

v₁(z)=f∙sinπz/s.

f=A označava neodređenu amplitudu elastične linije. Za opterećenja P*>P_K1 je prema lineariziranoj teoriji Δ≠0, tj. ravnoteža tu nije mogućna. Tek za veće sile izvijanja P_K2 itd. biće opet Δ=0 i time takođe v(z)≠0. Uzrok ovog teorijskog zaključka, koji se ne podudara sa stvarnim ponašanjem, leži u lineariziranju diferencijalne jednačine.

 

Izvijanje pritisnutih štapova sastavljenih iz dva dela

Ograničavamo se na pritisnute štapove iz dva dela, a za pritisnute štapove sastavljene iz tri dela ili više delova važe slični odnosi.

Sl. 3

Prema vrsti poprečne veze razlikuju se rešetkasti štapovi (sl. 3a) i okvirni štapovi (sl. 3e). Bez poprečnih veza svaki deo štapa za sebe bi se izvio (sl. 3b). Ako je ispuna relativno slaba, onda može pojedini pojasni štap da se izvije a da se pri tom štao kao celina ne savije. Za rešetkasti štap sl. 3c može da se uporedi: levo za sistem sa zglobovima, desno za kontinualne pojaseve; a za okvirni štap sl. 3f levo za meke spojne limove, desno za krute spojne limove. Odatle se vidi da je od velikog uticaja vitkost λ₁=s₁/i₁. Za pojedinačni deo štapa je stavljeno I₁=F₁∙i₁², s₁ je razmak polja (sl. 3), i₁ se odnosi na osu 1-1 (v. sl. 4).

Sl. 4

Sila izvijanja složenih štapova koji odgovara elastičnim linijama izvijanja sl. 3d, odn. 3g bila je predmet iscrpnih teorijskih ispitivanja. Kad bi štap bio sastavljen iz jedinstvenih preseka (npr. sa rebrom) ili kad bi poprečne veze bile tako česte da se štap savijen iz dva dela po svome dejstvu ne razlikuje od jedinstvenog štapa, onda bi bilo σ_K=π²E/λ_y². Tu označava λ_y=s_K/i_y (sl. 4). Ovaj napon izvijanja ipak neće u praksi biti potpuno dostignut jer za to nema dovoljan broj poprečnih veza, a one su i elastične. Približnost koja zadovoljava u većini slučajeva dobija se ako stavimo prema predlogu F. Engesser-a da je napon izvijanja pritisnutog štapa sastavljenog iz dva dela jednak

σ_K=π²E/λ_yi².

λ_yi je takozvana idealna vitkost.

Poprečnih veza mora biti u dovoljnom broju i da su dovoljno jake da primoraju oba dela štapa da deluju zajednički. Izuzimajući sekundarne napone, poprečne veze ostaju neopterećene dogod štap ostaje prav. Tek sa izvijanjem ima da primaju sile i to moraju da prenose poprečne sile koje rastu sa savijanjem. U slučaju da je elastična linija

poprečna sila pri I=const. jednaka je

Q = M’ = - EI∙v’’’.

Sa sl. 5 može neposredno da se očita Q(z)=P_K∙v’(z). Najveća vrednost na kraju štapa je

Sl. 5

Poprečne veze moraju biti u stanju da prime ovu poprečnu silu. Pošto je odgovarajuće opterećenje sila izvijanja P_K, dovoljno je ako se za to i u poprečnim vezama – dakle jednovremeno sa celim štapom – dostigne granica nosivosti. Očigledno je da ne bi bilo koristi ako se poprečne veze mnogo jače dimenzionišu nego što je potrebno za prijem Q₀. S druge strane, suviše slabe poprečne veze prouzrokovale bi prevremeno propadanje štapa.

Gornja jednačina se otpočetka ne može koristiti jer je nepoznata veličina strele povijanja. Štap je pod P_K u indiferentnoj ravnoteži i može, bar u prvom stepenu približavanja, da uzme proizvoljnu vrednost. Stoga je korisno, prema predlogu F. Krohn-a, da se odredi veličina onog povijanja maxv pri kome izvijeni štap gubi svoju mogućnost nosivosti zbog sloma usled savijanja. To će sigurno da nastupi ako je na konkavnoj strani savijanja dostignuta granica tečenja (sl. 6). Povijanja za to rastu dalje a odgovarajući momenti savijanja ne mogu biti primenjeni.

Sl. 6

Ukupni napon na konkavnoj strani savijanja je prema sl. 6 za idealno plastični materijal

Odatle proizilazi najveće povijanje koje se još može podneti

maxQ₀ je odgovarajuća poprečna sila na kraju štapa.

Ako se upotrebi za σ_K Tetmajer-ov obrazac i stavi σ_F=3,1 t/cm² i s_K=e/2 ∙ λ_y što odgovara i_y≈e/2, onda se dobija Krohn-ova približna vrednost maxQ₀=F/28 (Q u t, F u cm²).

Za proizvoljne linije napona izvijanja dobija se

maxQ₀=μ_K∙S_K.

Koeficijent μ_K menja se sa vitkošću štapa, on zavisi sem toga od materijala. Kad se gornja jednačina podeli sa koeficijentom sigurnosti protiv izvijanja može da se napiše

_dozvQ=μ∙_dozvS.

 

Izvijanje linijskih sistema

Kod linijskih sistema je uobičajeno da se za poređenje utvrdi dužina izvijanja s_K=β∙h jednog štapa koji je na oba kraja zglobno oslonjen i čija je sila izvijanja P_K=π²EI/s²_K isto toliko velika. Uporedna „dužina izvijanja“ biće data za niže navedene primere.

a) Štap uklješten na oba kraja (EI=const.)

Sl. 7

Za slučaj sl. 7 izvijanja je P_K=4π²EI/h²=4,0∙P_E, uporedna „dužina izvijanja“ s_K=h/2 a elastična linija izvijanja v(z)=D(1-cos2πz/h).

 

b) Štap slobodan na jednom kraju (sl. 8)

Sl. 8

Pretpostavlja se da se pravac od P ne menja dok se štap izvija. Tada je (EI=const.)

P_K=π²EI/4h²=P_E/4,   s_K=2h

v(z)=D(1-cosπz/2h).

Konturni uslovi za slobodan kraj z=h ovde glase

M=0 ili v’’=0

Q=M’-Pv’=0 ili v’’’+a²∙v’=0.

 

c) Štap uklješten na jednom kraju (sl. 9)

Sl. 9

Sa konturnim uslovima

v=0 i v’=0 za z=0

v=0 i v’’=0 za z=h

dobija se za EI=const. uslov izvijanja

sinαh - αh∙cosαh=0,

ili što je ekvivalentno

tgαh=αh.   (4)

Koreni ove transcendetne jednačine nalaze se u tablicama K. Hayashi-ja. Najniža sila izvijanja je prema tablicama P_K1=4,4934²/h² ∙ EI = 2,046 π²EI/h².

Uporedna dužina izvijanja je s_K = h / √2,046 = 0,699h.

 

d) Štap uklješten na jednom kraju sa poremećajem (sl. 10)

Sl. 10

Posmatraćemo slučaj pomeranja vrha konstantne veličine. Konturni uslovi za to su

v=0 i v’=0 za z=0,

v=v₁ i v’’=0 za z=h.

U pitanju je ravnotežni problem sa elastičnom linijom

Imenilac člana ispred {}-zagrade biće nula i povijanja rastu iznad svih granica ako P→P_K (vidi uslov izvijanja jedn. (4)). Karakteristično je za ponašanje štapa da povijanja u srednjem i donjem kraju štapa u početku bivaju manja sa rastućim opterećenjem P i tek za veća opterećenja menjaju svoj znak. Sl. 10 prikazuje povijanja u polovini visine.

 

e) Kontinualni štap preko dva polja

Sl. 11

Za oba područja rešenja (sl. 11) primenićemo postavku

I. v(z₁) = A₁∙sinαz₁ + B₁∙cosαz₁ + C₁∙z₁ + D₁,

II. v(z₂) = A₂∙sinαz₂ + B₂∙cosαz₂ + C₂∙z₂ + D₂.

Zbog uprošćenja neka bude (EI)₁=(EI)₂=EI. Za iznalaženje osam konstanti A₁, ..., A₂, ... služe konturni uslovi

v=0 i v’=0 za z₁=0,

v=0 i v’’=0 za z₂=h,

kao i prelazni uslovi između područja I i II

v=0 za z₁=h i za z₂=0,

v’’(z₁=h)=v’(z₂=0),

v’’(z₁=h)=v’’(z₂=0).

Uslovne jednačine date su u donjoj tablici

Stavljajući da je determinanta koeficijenta jednaka nuli dobija se uslov izvijanja

Dužina izvijanja s_K=0,878h, dok je za sl. 35 bilo β=0,699. Sila izvijanja se smanjila u odnosu na 2,046 : 1,297 zbog dodavanja drugog polja koje je zglobno oslonjeno. Ako bi drugo polje bilo gore uklješteno, onda bi sila izvijanja opet porasla na vr. 2,04 P_E.